最新雅礼中学理科实验班招生考试试题(数学)

长沙市雅礼中学理科实验班招生试题 数 学

考生注意:本卷满分 120 分,考试时间 150 分钟。 一、填空题(请将最后答案填写在横线上。每小题 3 分,本大题满分 60 分) 1.在一次数学活动中,黑板上画着如图所示的图形,活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等 式中的一个等式:①AB=DC;②∠ABE=∠DCE;③AE=DE;④∠A=∠D;小明同学闭上眼睛从四张纸片中随 机抽取一张,再从剩下的纸片中随机抽取另一张,则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件,使△BEC 不 能构成等腰三角形的概率是______________.

2.如图, “L”形纸片由六个边长为 1 的小正方形组成,过 A 点切一刀,刀痕是线段 EF.若阴影部分面积是 纸片面积的一半,则 EF 的长为________ ______. 3. 如图,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两个动点,且 CD∥AB,若半圆的半径为 1,则梯形 ABCD 周长 的最大值是 。 4. 已知
25 - x -
2

15 - x = 2

2

,则

25 - x +

2

15 - x

2

的值为



5. 一次函数 y=kx+b 的图象过点 P(1,4) ,且分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于点 A,B. 点 O 为坐标原点.当△AOB 面积最小时,k 和 b 的值分别为 。 6. 如图,直线 y 1 ? kx ? b 过点 A(0,2) ,且与直线 y 2 ? mx 交于点 P(1,m) ,则关于 x 的不等式组 mx>kx+b>mx-2 的解集是______________。

y
B

O

A

x


2 7. 已知实数 a 满足 2 0 0 8 ? a + a ? 2 0 0 9 = a ,那么 a -2008 值是

8. 如图,以 Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形 BCEF,设正方形的中心为 O,连结 AO,如 果 AB=4,AO= 6 2 ,那么 AC 的长等于 。

9. 设 x 1, x 2 , x 3 , , x 2007 为 实 数 , 且 满 足 x 1 x 2 x 3 ? x 2007 = x 1 ? x 2 x 3 ? x 2007 = x 1 x 2 ? x 3 ? x 2007 = ? ? = x 1 x 2 x 3 ? x 2006 ? x 2007 =1,则 x 2000 的值是 B A O F E C .

10. 在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,AC=3,BC=4.若以 C 点为圆心, r 为半径 所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点, 则 r 的取值范围是___________ . 11. 已 知 a 、 b 、 c 满 足 是 。
a + b+ + ( c
2

0

a 1 )( - )6 + ? b +

- 0 =2 b, 则 代 数 式 a + c 的 值 1 2

12.如果三位数 abc (表示百位数字为 a,十位数字为 b,个位数字为 c 的三位数),且满足 b<a 或 b<c,则称 这个三位数为“凹数” 。那么,从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是 13. 如图,已知在圆 O 中,直径 MN=10,正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM,OP 以及圆 O 上,并且∠ POM=45°,则 AB 的长为 . 14. 直 线 y ? ax ( a ? 0 ) 与 双 曲 线 y ? 是 .
2 2

3 x

交 于 A ( x1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 两 点 , 则 代 数 式 4 x1 y 2 ? 3 x 2 y 1 的 值

15. 设 a ? b ? 0 ,且 a ? b ? 3 ab ,

a ?b a ?b

那么的值为_________。

16. 如图,△ABC 中,BE,DC 是△ABC 的内角平分线,DE=3,A,D,F,E 四点共圆,则△DEF 的内接圆半径为 ______。

17. 如图, 正方形 ABCD 中, AB=AG,EF⊥AG, 若 EG=4, FG=6, BM= 3 2 , 则 MN=__ ____。 18. 设 i=1,2,3,...,n, 且 0< x i <1, x1 ? x 2 ? ... ? x i ? 19 ? x1 ? x 2 ? ... ? x i , 则 n 的最小整数解为______。 19. 抛物线 y ? ax ? bx ? c , 交 y 轴于一点 A(0,1),交 x 轴于 M( x 1 , 0 ),N ( x 2 , 0 ) , 且 0 ? x 1 ? x 2 ,过点 A 的直
2

线交 x 轴于点 C, 交抛物线于另一点 B,且 S △ BMN ? 式为______。 20. x ? xy ? 2 y ? 29 的整数解共有______组。
2 2

5 2

S △ AMN . 若△CAN 为等腰直角三角形,则抛物线的解析

二、解答题(请写出详细的解答或证明过程。本大题共 4 小题,满分 60 分) 21. 本小题满分 10 分) ( 已知关于 x 的方程 x ? cx ? a ? 0 的两整数根恰好比方程 x ? ax ? b ? 0 的两根都
2 2

大 1,求 a ? b ? c 的值。

22. 本小题满分 10 分) ( 如图(6),已知抛物线 C : y ? x ? 2 x ? 4 和
2

直线 l : y ? ? 2 x ? 8 .直线 y ? kx ( k ? 0 ) 与抛物线 C 交于两个不同 的点 A 、 B ,与直线 l 交于点 P ,分别过 A 、 B 、 P 作 x 轴的垂线, 设垂足分别为 A 1 , B 1 , P1 . (1)证明:
1 OA
1

?

1 OB
1

?

2 OP 1

;

(2)是否存在实数 k ,使 A 1 A ? B 1 B ? 8 ,如果存在,求出此时 k 的值, 如果不存在,请说明理由.

23.(本小题满分10分)已知 a、b、c 均为正数,且满足如下两个条件:
? a ? b ? c ? 32 ? ?b ? c ? a c? a ?b a ?b ?c 1 ? ? ? ? bc ac ab 4 ?

证明:以

a



b



c

为三边长可构成一个直角三角形.

24.(本小题满分 15 分)已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥ CO. 求证:CD=GF. C E

G A D O F B

25.(本小题满分 15 分)在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的 正半轴上, O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针针旋转, 点 旋转角为θ , A 点第一次落在直线 y=x 当 上时停止旋转.旋转过程中,AB 边交直线 y=x 于点 M,BC 边交轴于点 N(如图). (1)求边 AB 在旋转过程中所扫过的面积; (2)设△MBN 的周长为 p,在旋转正方形 OABC 的过程中,p 值是否有变化?请证明你的结论; (3)当旋转角θ 为多少度时,△OMN 的面积最小,并求出此时△BMN 内切圆的半径.


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