18-19学年高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与_图文

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质

第1课时 余弦函数的图象与性质

1.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出余弦函数y=cos x和 y=Acos(ωx+φ)的图象,并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系.
2.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值, 并能利用余弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题.

12

1.余弦函数的图象

(1)把正弦函数y=sin

x的图象向左平移

π 2

个单位长度就得到余弦

函数y=cos x的图象,该图象叫做余弦曲线.

(2)余弦曲线.

除了上述的平移法得到余弦曲线,还可以用:

①描点法:按照列表、描点、连线顺序作出余弦函数图象的方法.

②五点法:观察余弦函数的图象可以看出,(0,1),

π 2

,0

,(π,-1),

3π 2

,0

,(2π,1)

这五点描出后,余弦函数y=cos

x,x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了.

12

【做一做1】 画出函数y=-cos x,x∈[0,2π]的简图.

分析运用五点作图法,首先要找出起关键作用的五个点,然后描

点连线.

解:按五个关键点列表:

x

0

cos x

1

2π 0 -1

3 2π 2

0

1

-cos x

-1 0 1 0

-1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得y=-cos x,x∈[0,2π]的 简图,如图所示.

12

2.余弦函数的性质

函数

y=cos x

定义域 R

值域

[-1,1]

奇偶性 偶函数

周期性 以 2kπ 为周期(k∈Z,k≠0),2π 为最小正周期

单调性

当 x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,递增; 当 x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时,递减

最大值与 当 x=2kπ(k∈Z)时,最大值为 1; 最小值 当 x=2kπ+π(k∈Z)时,最小值为-1

12

【做一做 2-1】 已知函数 f(x)=sin

-

π 2

(x∈R),下面结论错误的

是( )

A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

B.函数

f(x)在区间

0,

π 2

上是增函数

C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称

D.函数 f(x)是奇函数

解析:∵f(x)=sin

-

π 2

=-cos x(x∈R),f(-x)=f(x),∴函数 f(x)是偶函

数.

答案:D

12

【做一做2-2】 函数y=3cos x+1的最大值是



.

解析:∵-1≤cos x≤1,

∴y=3cos x+1的最大值是4,最小值是-2.

答案:4 -2

,最小值

12

【做一做 2-3】 cos32,sin110,-cos74的大小关系是

.

解析:∵sin110=cos

π 2

-

1 10

≈cos 1.47,-cos74=cos

π-

7 4

≈cos

1.39,cos32=cos 1.5,而 y=cos x 在[0,π]上是减函数,

故由 0<1.39<1.47<1.5<π,可得 cos 1.5<cos 1.47<cos 1.39,∴

cos32<sin110<-cos74.

答案:cos32<sin110<-cos74

1.关于余弦曲线的对称性问题

剖析(1)余弦曲线既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴

为x=kπ(k∈Z),对称中心为

π

+

π 2

,0

(k∈Z).

(2)余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点,即此时

的余弦值为最大值或最小值,余弦曲线的对称中心为余弦曲线与x

轴的交点,其纵坐标y=0.

名师点拨关于对称性问题,对一般的函数有如下结论:

(1)若对函数f(x)而言,对任意x∈R,均有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)

成立,则x=a为f(x)图象的对称轴.

(2)若对函数f(x)而言,对任意x∈R,均有f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2a-

x)成立,则点(a,0)为f(x)图象的对称中心.

显然上述结论对余弦函数是成立的.

2.余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 剖析函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质可由余弦函数y=cos x 的性质类比得到. (1)定义域:x∈R; (2)值域:[-A,A](若A的正负不确定,则值域应为[-|A|,|A|]); (3)单调区间:求形如y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的函数的单调区间可以 通过解不等式的方法解答,即把ωx+φ视为一个“整体”,与余弦函数 y=cos x的单调递增(减)区间对应,解出x的区间,即为所求.若ω<0,则 先用诱导公式化为ω>0; (4)奇偶性:余弦型函数y=Acos(ωx+φ)不一定具备奇偶性,“定义域 关于原点对称”是函数具有奇偶性的前提.在满足这π一前提条件下, 当φ=kπ(k∈Z)时,y=Acos(ωx+φ)为偶函数;当φ=kπ+ 2 (k∈Z) 时,y=Acos(ωx+φ)为奇函数;

(5)周期:函数 y=Acos(ωx+φ)的周期只与解析式中自变量 x 的系 数有关,其周期为 T=2π .若 ω<0,则函数的最小正周期为 T=2|π|(求函数
的周期,除非有特别说明,否则都是求最小正周期);
(6)对称性:函数 y=Acos(ωx+φ)的对称轴由 ωx+φ=kπ(k∈Z)解出, 其对称中心的横坐标由 ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)解出,即对称轴为 x=π-(k∈Z),对称中心为 π+π2-,0 (k∈Z).若定义域不是 R,则函 数 y=Acos(ωx+φ)不一定有对称轴和对称中心.

题型一 题型二 题型三
题型一 有关余弦函数的图象
【例1】 用“五点法”画出函数y=2cos 2x的简图. 分析先找出此函数图象上的五个关键点,画出其在一个周期上的 函数图象,再进行拓展得到在整个定义域内的简图.

题型一 题型二 题型三

解因为 y=2cos 2x 的周期 T=2π=π,所以先在区间[0,π]上按五个
2
关键点列表、描点,并用光滑的曲线将它们连接起来.

x 2x cos 2x

042
0 2π

3 π
4 3
2π 2

1 0 -1 0 1

2cos 2x 2 0 -2 0 2

题型一 题型二 题型三
然后把y=2cos 2x在[0,π]上的图象向左、右平移,每次平移π个单 位长度,得y=2cos 2x在R上的图象如图所示.
反思在用“五点法”画出函数y=Acos(ωx+φ)的图象时,所取的五点 应由 ωx+φ=0,π2,π,32π,2π 来确定,而不是令 x=0,π2,π,32π,2π.

题型一 题型二 题型三

【变式训练 1】 作出函数 y=12cos x+12|cos x|的图象.

解 y=12cos x+12|cos x|=

cos,∈

2π-

π 2

,2π

+

π 2

0,∈



+

π 2

,2π

+

3π 2

(∈Z), (∈Z).

作出图象如下:

题型一 题型二 题型三

题型二 三角函数的图象变换

【例 2】

函数 y=sin 2x 的图象可由 y=cos

2-

π 4

的图象平移得

到,则应( )

A.向左平移π8个单位长度

B.向右平移78π个单位长度 C.向左平移π4个单位长度 D.向右平移π8个单位长度

题型一 题型二 题型三

解析:y=cos

2-

π 4

=sin

π 2

-

2-

π 4

=sin

3π 4

-2

=-sin

2-

3π 4

=sin

2-

3π 4

+

π

=sin

2

+

π 4

=sin 2



+

π 8

,

故要得到 y=sin 2x 的图象,可由 y=cos

2-

π 4

的图象向右平移π
8

个单位长度.故选 D.

答案:D 反思一定要注意看清变换的顺序,即是由哪个函数图象作为基 准,本题容易错选A或C.还要注意涉及左右平移反映在代数式中是 看在x的基础上的变化情况.

题型一 题型二 题型三

【变式训练 2】

为得到函数 y=cos



+

π 3

的图象,只需将函数

y=sin x 的图象( )

A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度

C.向左平移56π个单位长度

D.向右平移56π个单位长度

解析:∵y=sin x=cos

-

π 2

,x-π2

+

5π 6

=

π3+x,

∴只需将 y=sin x 的图象向左平移56π个单位长度,便可得到

y=cos



+

π 3

的图象.

答案:C

题型一 题型二 题型三
题型三 有关余弦函数的性质
【例 3】 求函数 y= 36-2+lg cos x 的定义域. 分析首先根据函数的解析式列出使函数有意义的条件不等式组, 然后分别求解,最后求交集即可.

题型一 题型二 题型三

解要使函数有意义,只需

36-2 ≥ 0, cos > 0,

-6 ≤ ≤ 6,



2π-

π 2

<



<



+

π 2

(∈Z).

利用数轴求解,如图所示:

所以函数的定义域为

-6,-

3π 2



-

π 2

,

π 2



3π 2

,6

.

反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰,

但要注意区间的开闭情况.

题型一 题型二 题型三

【变式训练 3】 (1)函数 f(x)= cos + 4-2的定义域



.

(2)函数

y=-2cos

x+3



x∈

-

π 2



上的值域为

.

题型一 题型二 题型三

解析:(1)依题意有

cos 4-2

≥ ≥

0, 0,

所以

2π-

π 2









+

π 2

,∈Z,

-2 ≤ ≤ 2,

因此-π2≤x≤π2,即所求定义域为

-

π 2

,

π 2

.

(2)由于

x∈

-

π 2



,所以-1≤cos

x≤1,

因此-2cos x∈[-2,2],从而 y∈[1,5].

答案:(1)

-

π 2

,

π 2

(2)[1,5]

题型一 题型二 题型三

【例4】 函数y=|cos x|的单调递增区间为

,单调递减区

间为

,最小正周期为

.

解析:将y=cos x的图象在x轴上方的部分不动,下方部分对称地翻

到x轴上方,即得函数y=|cos x|的图象,如图所示.

由图可知函数y=|cos x|的最小正周期为π.

题型一 题型二 题型三

又在一个周期

-

π 2

,

π 2

上,函数

y=|cos

x|的单调递增区间是

-

π 2

,0

,

单调递减区间是

0,

π 2

,

而函数的周期是 kπ(k∈Z),因此函数 y=|cos x|的单调递增区间



π-

π 2



(k∈Z),单调递减区间是

π,π

+

π 2

(k∈Z).

答案:

π-

π 2



(k∈Z)

π,π

+

π 2

(k∈Z)

π

反思1.三角式中带绝对值号,通常通过观察图象得到周期和单调

区间.

2.正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x取绝对值后,周期缩为原来

的一半,即

(1)y=|sin x|的周期为π;

(2)y=|cos x|的周期为π.

题型一 题型二 题型三

【变式训练 4】

已知 f(x)=4cos

2

+

π 6

+a.

(1)求 f(x)的单调递增区间;

(2)若

f(x)在

-

π 2

,0

上的最小值为

3,求 a 的值.

解(1)令 2kπ-π≤2x+π6≤2kπ,k∈Z,

解得 kπ-71π2≤x≤kπ-1π2,k∈Z,

所以

f(x)的单调递增区间是

π-

7π 12

,π-

π 12

(k∈Z).

(2)当

x∈

-

π 2

,0

时,2x+π6



-

5π 6

,

π 6

,

因此当 2x+π6=-56π,即 x=-π2时,f(x)取最小值,最小值为

4cos

-

5π 6

+a=-2

3+a,

因此-2 3+a= 3,解得 a=3 3.

题型一 题型二 题型三

【例 5】 判断下列函数的奇偶性,并求它们的周期.

(1)y=3cos 2x,x∈R;

(2)y=cos

3 4



+

3π 2

.

解(1)y=3cos 2x 的周期 T=22π=π.

判断奇偶性,记 f(x)=3cos 2x.

∵x∈R,且有 f(-x)=3cos[2(-x)]=3cos 2x=f(x),

∴y=3cos 2x,x∈R 为偶函数.

题型一 题型二 题型三

(2)函数 y=cos

3 4



+

3π 2

的周期

T=


3

= 83π.

4

判断奇偶性,记 f(x)=cos

3 4



+

3π 2

.

∵x∈R,且 f(x)=cos

3 4



+

3π 2

=sin34x,

∴f(-x)=sin

-

3 4



=-sin34x=-f(x).

∴y=cos

3 4



+

3π 2

为奇函数.

题型一 题型二 题型三
反思1.(1)求函数的最小正周期的基本方法是:若能直接用某些结 论,则用其结论即可;若不能直接用,可对其解析式化简,使之能用结 论求解.要注意化简过程必须等价,定义域不能发生变化.
(2)图象法也是求周期的一种方法. 2.判断函数的奇偶性,要根据函数奇偶性的定义,定义域关于原点 对称是正确判断函数奇偶性的前提,另外还要注意诱导公式在判断 f(x)与f(-x)之间的关系时的应用.

题型一 题型二 题型三

【变式训练 5】

已知函数 f(x)=13cos



+

π 6

+



(ω>0).

(1)若 f(x)的周期为π2,求 ω 的值;

(2)若 f(x)为奇函数,求 φ 的值.

解(1)由已知,得2π = π2,解得 ω=4. (2)依题意有π6+φ=kπ+π2(k∈Z),解得 φ=kπ+π3(k∈Z).

1 2 3 4 567

1.下列说法不正确的是( ) A.正弦函数、余弦函数的定义域是R,值域是[-1,1] B.对于余弦函数,当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取得最大值1,当且仅当 x=(2k+1)π(k∈Z)时取得最小值-1

C.正弦函数在区间

π 2

+

2π,

3π 2

+



(k∈Z)上是减函数

D.余弦函数在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是减函数 答案:D

1 2 3 4 567

2.下列函数中,周期为 π,且在

π 4

,

π 2

上为减函数的是

(

)

A.y=sin

2

+

π 2

B.y=cos

2

+

π 2

C.y=sin



+

π 2

D.y=cos



+

π 2

答案:A

1 2 3 4 567

3.函数 f(x)=2sin

-

3π 2

是(

)

A.奇函数

B.偶函数

C.增函数

D.减函数

解析:∵f(x)=2sin

-

3π 2

=2cos x,∴f(x)是偶函数.

答案:B

1 2 3 4 567

4.先将函数 y=cos

-

π 3

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍

(纵坐标不变),再将所得的函数图象向左平移π3个单位长度,最后所得

到的图象对应的解析式是 ( )

A.y=cos12x

C.y=cos

1 2

-

π 6

B.y=cos

1 2

-

π 2

D.y=cos

2-

π 6

解析:y=cos

-

π 3

y=cos

1 2

-

π 3

y=cos

1 2



+

π 3

-

π 3

=cos

1 2

-

π 6

.

答案:C

1 2 3 4 567

5.若函数 y=3cos



+

π 6

(a>0)的最小正周期是 π,则其对称轴方程



.

解析:由已知得2π =π,所以 a=2,此时 y=3cos

2

+

π 6

.

令 2x+π6=kπ,得 x=2π ? 1π2(k∈Z),此即为所求对称轴方程.

答案:x=2π ? 1π2(k∈Z)

1 2 3 4 567

6.若函数 y=acos x+b 的最小值为-12,最大值为32,则

a=

,b=

.

解析:由于 ymax=32,ymin=-12,且-1≤cos x≤1,

则当 a>0 时,有



+



=

3 2

,

-

+



=

-

1 2

,

解得

= 1,



=

1 2

.

当 a<0 时,有

-

+



=

3 2

,



+



=

-

1 2

,

解得

= -1,



=

1 2

.

综上,a=±1,b=12.

答案:±1

1 2

1 2 3 4 567

7.已知f(x)=3cos

π + 3

(ω∈Z,ω>0)的最小正周期为T,且满足

T∈(2,4).

(1)求ω的所有取值;

(2)当ω取最小值时,求f(x)的单调递减区间.

解(1)依题意 T=2π . 因为 T∈(2,4),所以 2<2π <4,解得π2<ω<π. 又 ω∈Z,所以 ω=2 或 ω=3.

(2)当 ω 取最小值时,ω=2,

此 令 解时 得2kπfk(≤πx-2)π6=x≤+3xcπ3≤o≤ks2πk+2ππ3+(+kπ∈(kπ3∈Z.)Z, ),

所以

f(x)的单调递减区间是

π-

π 6



+

π 3

(k∈Z).


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