【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第7讲_图文

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第7讲 正弦定理和余弦定理

第三章 第7讲

第1页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

不同寻常的一本书,不可不读哟!

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度 量问题.

第三章 第7讲

第2页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

1个必记关键解三角形时,充分结合图形,根据条件,恰 当选用正弦定理或余弦定理是关键.
2条重要途径 1. 通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得 出三角形内角之间的关系进行判断. 2. 利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过因式分解、 配方等变换,求出三条边之间的关系进行判断.

第三章 第7讲

第3页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

3种必会方法 1. 已知两角和一边(如A、B、c),由A+B+C=π求C,由正 弦定理求a、b. 2. 已知两边和夹角(如a、b、C),应用余弦定理求c边;再 应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求 另一角. 3. 已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理 求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要 注意解可能有多种情况.

第三章 第7讲

第4页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

课前自主导学

第三章 第7讲

第5页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

1. 正弦定理

分类 定理
变形公式

内容 sianA=________=________=2R(R是△ABC外接圆
的半径) ① a=________,b=________,c=________, ② sinA∶sinB∶sinC=________, ③sinA=2aR,sinB=________,sinC=________

解决的问题 ①已知两角和任一边,求其他两边和另一角. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.

第三章 第7讲

第6页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(1)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若 b=2asinB,则角A的大小为________.
(2)[2012·北京高考]在△ABC中,若a=3,b= 3 ,∠A =π3,则∠C的大小为________.

第三章 第7讲

第7页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

在△ABC中,sinA>sinB是A>B的什么条件?

第三章 第7讲

第8页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

2.余弦定理

分类

内容

定理

在△ABC中,有a2=__________;b2= ________;c2=________;

变形公式

cosA=________;cosB=________;cosC =________.

解决的问题

①已知三边,求各角.②已知两边和它们 的夹角,求第三边和其他两个角.

第三章 第7讲

第9页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(1)[2012·陕西高考]在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的 长分别为 a,b,c.若 a=2,B=6π,c=2 3,则 b=________.
(2)已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=1∶1∶ 3,则此 三角形的最大内角的度数是________.

第三章 第7讲

第10页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

3.三角形中常用的面积公式 (1)S=12ah(h 表示边 a 上的高); (2)S=12bcsinA=________=________; (3)S=12r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径).

第三章 第7讲

第11页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(1)在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cosC=13,则△ABC 的面积为________.
(2)[2011·安徽高考]已知△ABC 的一个内角为 120°,并且 三边长构成等差数列,其公差为 4,则△ABC 的面积为 ________.

第三章 第7讲

第12页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

b 1. sinB

c sinC

2RsinA

2RsinB

2RsinC

a∶b∶c

bc 2R 2R

填一填:π6 提示:由正弦定理得 sinB=2sinAsinB,∴

sinA=12,A=π6.

第三章 第7讲

第13页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

π (2)2

提示:sianA=sibnB?sinB=12?B=π6,∴∠C 的大

小为π2.

想一想:提示:充要条件,因为 sinA>sinB?2aR>2bR?a>b

?A>B.

2 . b2 + c2 - 2bccosA a2 + c2 - 2accosB a2 + b2 -

b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2

2abcosC

2bc

2ac

2ab

第三章 第7讲

第14页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

填一填:(1)2 提示:b2=a2+c2-2accosB=4,b=2.

(2)120° 提示:a∶b∶c=1∶1∶ 3,cosC=a2+2ba2b-c2

=-12,C=120°.

1

1

3.2acsinB 2absinC

填一填:(1)4 3 提示:cosC=13,∴sinC=232,S△=12

absinC=4 3.

第三章 第7讲

第15页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(2)15 3 提示:法 1:设三条边中间边长为 x,则另两

边长为 x-4,x+4,则

(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120°,

解得 x=10,∴S△ABC=12×10×6×sin120°=15 3.

法 2:求得 x=10,同法 1,套用 p=12(a+b+c)

=32x=15,∴S△ABC= p?p-a??p-b??p-c?

= 15?15-6??15-10??15-14?=15 3.

第三章 第7讲

第16页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

核心要点研究

第三章 第7讲

第17页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

例 1 [2012·浙江高考]在△ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3acosB.
(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

第三章 第7讲

第18页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

[审题视点] (1)应用正弦定理转化为角求解.(2)应用余弦 定理转化为边求解.
[解] (1)由 bsinA= 3acosB 及正弦定理sianA=sibnB, 得 sinB= 3cosB,所以 tanB= 3,所以 B=π3. (2)由 sinC=2sinA 及sianA=sincC,得 c=2a. 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 9=a2+c2-ac.所以 a= 3,c=2 3.

第三章 第7讲

第19页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

奇思妙想:本例第(2)问改为“若b=3,试求△ABC面积的 最大值.”已知条件不变,该如何解答?
解:由 b=3,B=3π及余弦定理可得 9=b2=a2+c2-2accosπ3=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,∴

ac≤9,当

a=c=3

时,取“=”,∴S△ABC=12acsinB=

3 4

ac≤ 43×9=943,

∴S△ABC 的最大值为94 3,当 a=b=c=3 时取得.

第三章 第7讲

第20页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

1. 充分结合图形,根据条件,恰当选择用正弦定理或余弦定 理是关键. 2. 已知两边与其中一边的对角解三角形时,注意解的情况, 如已知a,b,A,比较a与bsinA大小.结合大边对大角可判断 解的个数.

第三章 第7讲

第21页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

[变式探究] 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a=1,c= 3.
(1)若角 C=3π,则角 A=________; (2)若角 A=π6,则 b=________.
答案:(1)π6 (2)2 或 1

第三章 第7讲

第22页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

解析:(1)由正弦定理sianA=sincC,得 sinA=asicnC=12, 又 a<c,∴A<C,∴A=6π.
(2)由sianA=sincC,得 sinC=csianA= 23,得 C=3π或23π. 当 C=π3时,B=2π,可得 b=2; 当 C=23π时,B=6π,此时得 b=1.

第三章 第7讲

第23页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

例2 [2013·温州模拟]在△ABC中,角A、B、C所对的边 分别为a、b、c,若∠B=60°,2b=a+c,判断△ABC的形 状.
[审题视点] 判断三角形的形状,可从角或边的两个角度 思考,于是可通过正弦定理将边转化为角,或通过余弦定理转 化为边,这样可有两种基本解法.

第三章 第7讲

第24页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

[解] 法一:2b=a+c,2sinB=sinA+sinC,∠B=60°, ∠A+∠C=120°,代入,得
2sin60°=sin(120°-C)+sinC,展开整理得, 23sinC+12 cosC=1,sin(C+30°)=1,
∠C=60°,所以∠A=60°,故△ABC 为正三角形.

第三章 第7讲

第25页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

法二:由余弦定理可得,b2=a2+c2-2accosB,∠B= 60°,b=a+2 c,
(a+2 c)2=a2+c2-2accos60°,(a-c)2=0,a=c=b,故 △ABC 为正三角形.

第三章 第7讲

第26页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系利用 正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系,再用 三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解, 注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则 会有漏掉一种形状的可能.

第三章 第7讲

第27页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

[变式探究] (1)[2012·上海高考]在△ABC中,若sin2A+

sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( )

A. 钝角三角形

B. 直角三角形

C. 锐角三角形

D. 不能确定

第三章 第7讲

第28页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(2)[2013·天津模拟]在△ABC 中,cos2B2=a+ 2cc(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案:(1)A (2)B

第三章 第7讲

第29页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

解析:(1)由 sin2A+sin2B<sin2C,得 a2+b2<c2 所以 cosC =a2+2ba2b-c2<0,所以∠C 为钝角,即△ABC 为钝角三角形, 选 A.

第三章 第7讲

第30页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(2)∵cos2B2=a2+cc, ∴2cos2B2-1=a+c c-1,∴cosB=ac, ∴a2+2ca2c-b2=ac,∴c2=a2+b2. ∴△ABC 为直角三角形.

第三章 第7讲

第31页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

例3 [2012·山东高考]在△ABC中,内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.
(1)求证:a,b,c成等比数列; (2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S. [审题视点] (1)根据正弦定理即证明sin2B=sinAsinC,切 化弦变换已知条件即可.(2)根据(1)可得b=2,三角形三边已 知,由余弦定理求角的余弦,再求正弦,最后利用面积公式.

第三章 第7讲

第32页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

[解] (1)在△ABC 中,由于 sinB(tanA+tanC)=tanAtanC, 所以 sinB(csoinsAA+csoinsCC)=csoinsAA·csoinsCC, 因此 sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC, 所以 sinBsin(A+C)=sinAsinC. 又 A+B+C=π, 所以 sin(A+C)=sinB, 因此 sin2B=sinAsinC.

第三章 第7讲

第33页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

由正弦定理得 b2=ac,

即 a,b,c 成等比数列.

(2)因为 a=1,c=2,所以 b= 2, 由余弦定理得 cosB=a2+2ca2c-b2=122+ ×212×-22=34,

因为 0<B<π,所以 sinB= 1-cos2B= 47,

故△ABC

的面积

S=12acsinB=12×1×2×

47=

7 4.

第三章 第7讲

第34页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(1)对于面积公式 S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,一般
是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与三角形有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理, 实施边角转化.

第三章 第7讲

第35页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

[变式探究] [2012·江西高考]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2,求 b,c.

第三章 第7讲

第36页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

解:(1)由 3cos(B-C)-1=6cosBcosC, 得 3(cosBcosC-sinBsinC)=-1, 即 cos(B+C)=-13, 从而 cosA=-cos(B+C)=13.

第三章 第7讲

第37页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(2)由于 0<A<π,cosA=13,

所以

sinA=2

3

2 .

又 S△ABC=2 2,即12bcsinA=2 2,解得 bc=6.

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2=13.

解方程组?????bbc2+=c62,=13, 得?????bc==32, 或?????bc==23., ∴b=2,c=3 或 b=3,c=2.

第三章 第7讲

第38页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

课课精彩无限

第三章 第7讲

第39页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

【选题·热考秀】 [2012·课标全国高考]已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内 角 A,B,C 的对边 acosC+ 3asinC-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

第三章 第7讲

第40页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

[规范解答] (1)由 acosC+ 3asinC-b-c=0 和正弦定

理,得 sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC=0,因为 B=π

-A-C,所以 sinAcosC+ 3sinAsinC-sin(π-A-C)-sinC

=0,也即 sinAcosC+ 3sinAsinC-sin(A+C)-sinC= 3

sinAsinC



cosAsinC



sinC



2sinCsin(A



π 6

)



sinC



0.



sinC≠0,得 sin(A-6π)=12,又因为 0<A<π,所以 A=π3;

第三章 第7讲

第41页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

(2)△ABC 的面积 S=12bcsinA= 3,故 bc=4,而 a2=b2+c2 -2bccosA,故 b2+c2=8,解得 b=c=2.

第三章 第7讲

第42页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

【备考·角度说】

No.1 角度关键词:易错分析

(1)在边角进行互化时将角化为边,使问题复杂化,无法

进行解答.

(2)应用正弦定理,将边化为角后,忽视 A+B+C=π 这

个隐含条件,而使后面求解陷入困境.

(3)由 sin(A-π6)=12求角 A 时,忽视了判断 A 的范围而产

生错解.

第三章 第7讲

第43页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

No.2 角度关键词:备考建议 在解三角形时,经常会出现以下几点错误: (1)不熟悉三角形的类型,无法确定解题中应用哪个定理; (2)忘记或不会应用三角形中的隐含条件; (3)求边、角时,忽略范围的讨论; (4)应用正、余弦定理时计算失误. 另外,要熟练掌握正余弦定理的几种变形和三角恒等变 换,才能快速正确地解决三角形问题.

第三章 第7讲

第44页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

经典演练提能

第三章 第7讲

第45页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

1. [2012·广东高考]在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,

BC=3 2,则 AC=( )

A. 4 3 C. 3

B. 2 3 3
D. 2

答案:B

解析:sBinCA=sAinCB,∴si3n620°=siAn4C5°,可得 AC=2 3, 选 B 项.

第三章 第7讲

第46页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

2. [2013·改编题]在△ABC 中,A=60°,a=4 3,b=4 2,

则 B=( ) A. 45°或 135°

B. 135°

C. 45°

D. 60°

答案:C

解析:∵sianA=sibnB,∴sinB= 22,∵a>b,∴A>B,∴ B=45°,选 C 项.

第三章 第7讲

第47页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

3. [2012·湖北高考]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C=________.
答案:120°
解析:∵(a+b)2-c2=ab,∴a2+b2-c2=-ab,∴cosC =a2+2ba2b-c2=-12,∴C=120°.

第三章 第7讲

第48页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

4. [2012·北京高考]在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB =-14,则 b=________.
答案:4 解析:∵cosB=a2+2ca2c-b2=4+c42c-b2=-14, ∴c2-b2=-c-4,∵c+b=7, ∴7(c-b)=-c-4,∴8c-7b=-4,又∵b+c=7,∴ c=3,b=4.

第三章 第7讲

第49页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

5. [2012·高考课标全国卷]△ABC中,∠B=120°,AC= 7,AB=5,则△ABC的面积为________.
答案:154 3

解析:由余弦定理知 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°,

即 49=25+BC2+5BC,解得 BC=3.



S△ABC=12AB·BCsin120°=12×5×3×

23=154

3 .

第三章 第7讲

第50页

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

限时规范特训

第三章 第7讲

第51页


相关文档

【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第8章 第7讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第6讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第6章 第7讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第5讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第7章 第7讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第1讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第8章 第5讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第8章 第8讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第8章 第1讲
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第8章 第4讲
电脑版