《走向高考》2014高三数学二轮专题复习课件:9-2坐标系与参数方程

专题九

选考内容

专题九
第二讲 坐标系与参数方程

考向聚焦

3

高频考点

核心整合

4

课后强化作业

考向聚焦

考向分析 (1)考查极坐标与直角坐标的互化和特殊位置的直线、圆 的极坐标方程. (2)考查参数方程与普通方程的互化、直线的参数方程中 参数的几何意义,直线和圆锥曲线参数方程的应用. (3)考查伸缩变换.

命题规律 从数形结合、转化与化归角度命制有关极坐标方程和参 数方程的理解与应用的题目,难度较小,只要理解基本概 念,掌握基本关系和方法,就能顺利作答.

核心整合

知识方法整合 1.极坐标系 (1)极坐标与直角坐标相互转化的两组公式:
2 2 2 ρ = x + y , ? ? ?x=ρcosθ, ? ? ? y ? ?y=ρsinθ, ?tanθ= . x ?

(2)与极轴垂直且经过点(a,0)(其中a>0)的直线:ρcosθ= a; 与极轴平行且在极轴上方,与极轴距离为a的直线:ρsinθ =a; 与极点距离为p,且与过极点与极轴成α角的直线OH垂直 的直线:ρcos(θ-α)=p.

(3)圆心在极轴上且过极点,半径为r的圆:ρ=2rcosθ; π 圆心在过极点与极轴成 2 的射线上,且过极点,半径为r 的圆:ρ=2rsinθ; 圆心在(ρ0,θ0),经过极点的圆:ρ=2ρ0cos(θ-θ0).

2.参数方程 (1)参数方程的定义:如果曲线上任意一点的坐标x、y都
? ?x=f?t? 是某一个变数t的函数 ? ? ?y=g?t?

,并且对于t的每一个允许值,

由方程组所确定的点M都在曲线上,那么这个方程组就叫做 曲线的参数方程.t称为参数.

(2)常见曲线的参数方程 过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是
? ?x=x0+tcosα ? ? ?y=y0+tsinα

(t是参数),参数t的几何意义是P0到直线上任意

一点P(x,y)的有向线段P0P的数量.
? ?x=a+rcosα 圆心为A(a,b),半径为r的圆的参数方程为 ? ? ?y=b+rsinα

(α为参数),参数α的几何意义是以圆心A为顶点且与x轴正方向 同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径与原射线 所成的角.

? ?x=acosθ x2 y2 椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的参数方程: ? ,其中参 ? ?y=bsinθ

数θ通常称为离心角.
2 ? x = 2 pt ? 2 抛物线y =2px的参数方程表示为? ? ?y=2pt

(t为参数).

疑难误区警示 1.极坐标与直角坐标互化的前提是极点与直角坐标系的 原点重合,极轴与x轴正半轴重合.
? ?x=x0+at, 2.在参数方程 ? ? ?y=y0+bt,

(t为参数)中,设M(x0,y0),

N(x,y),则MN= a2+b2 · t,|MN|= a2+b2 |t|.(其中MN表示 → 有向线段MN的数量)

高频考点

参数方程与普通方程的互化
(2013· 玉溪一中月考)在平面直角坐标系xOy中,
? ?x=5cosφ, 椭圆C方程为? ? ?y=3sinφ,

(φ为参数).
? ?x=4-2t, ? ? ?y=3-t,

(1)求过椭圆的右焦点,且与直线m: 参数)平行的直线l的普通方程.

(t为

(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值.

[分析]

(1)由直线l与直线m平行可得l的斜率,将椭圆C

的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程 求)可得l方程. (2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解.

[解析]

(1)由C的参数方程可知,a=5,b=3,∴c=4,

∴右焦点F2(4,0),将直线m的参数方程化为普通方程:x-2y 1 +2=0,所以k=2,于是所求直线方程为x-2y-4=0. (2)由椭圆的对称性,取椭圆在第一象限部分(令 π π 0≤φ≤2 ),则S=4|xy|=60sinφcosφ=30sin2φ,∴当2φ=2时, Smax=30, 即矩形面积的最大值为30.

(文)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:
? ?x=4t+6 ? ? ?y=-3t-2

? ?x=5cosθ-1 ? ? ?y=5sinθ+2

(θ为参数)和直线l:

(t为参数),则直线l与圆C相

交所得的弦长等于________.
[答案] 4 6

[解析]

消去参数得,直线l:3x+4y-10=0,⊙C:(x

+1)2+(y-2)2=25, 则圆心C(-1,2)到直线l的距离为 |-3+8-10| d= =1, 5 ∴弦长l=2 52-12=4 6.

(理)(2013· 武汉联考)在平面直角坐标系下,曲线C1:
? ?x=2t+2a ? ? ?y=-t

(t为参数),曲线C2:

? ?x=2sinθ ? ? ?y=1+2cosθ

(θ为参数),

若曲线C1、C2有公共点,则实数a的取值范围为________.
[答案] [1- 5,1+ 5]

[解析] =4.

消去参数得C1:x+2y-2a=0,C2:x2+(y-1)2

|2-2a| ∵C1与C2有公共点,∴ ≤2, 5 ∴1- 5≤a≤1+ 5.

极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化

(文)(2012· 云南省宣威市二中模拟)已知圆O1和圆 π O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ -2 2ρcos(θ- )=2. 4
2

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

[分析]

? ?x=ρcosθ, 利用 ? ? ?y=ρsinθ,

可将两圆的极坐标方程化为直

角坐标方程,再将两圆的直角坐标方程联立可求出相交弦所 在直线方程,再将
? ?x=ρcosθ ? ? ?y=ρsinθ

代入即可求出经过两圆交点的

直线的极坐标方程.

[解析]

(1)ρ=2?ρ2=4,

∴圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4, π ∵ρ -2 2ρcos(θ-4)=2,
2

π π ∴ρ -2 2ρ(cosθcos +sinθsin )=2, 4 4
2

∴x2+y2-2x-2y=2, ∴圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=2.

(2)将两圆的直角坐标方程相减,得它们的公共弦即经过 两圆交点的直线方程为:x+y=1. 化为极坐标方程为:ρcosθ+ρsinθ=1, π 2 即ρsin(θ+ )= . 4 2

[点评]

也可以直接将两圆的极坐标方程联立,解出两圆

交点的极坐标,再求直线方程,一般情况下,化为直角坐标 方程求解更熟悉些,且本题中要先完成第(1)问,第(2)问就水 到渠成了.

(理)(2012· 乌鲁木齐地区诊断)在直角坐标系xOy中,直线l ? 3 ?x=3- 2 t, 的参数方程为 ? ?y=1t. ? 2

(t为参数),以O为极点,x轴的

正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy中相同)的极坐标系 中,曲线C的方程为ρ=2acosθ(a>0),l与C相切于点P. (1)求C的直角坐标方程; (2)求切点P的极坐标.

[解析]

(1)l表示过点(3,0)倾斜角为120° 的直线,曲线C表

示以C′(a,0)为圆心,a为半径的圆. 1 ∵l与C相切,∴a=2(3-a),?a=1. 于是曲线C的方程为ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,于是x2+y2 =2x, 故所求C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. (2)∵∠POC′=∠OPC′=30° ,∴OP= 3. π ∴切点P的极坐标为( 3,6).

(2013· 天津理,11)已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆 π 心为C,点P的极坐标为(4, ),则|CP|=________. 3
[答案] 2 3

[解析]

由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,

∴x2+y2-4x=0,∴(x-2)2+y2=4,∴C(2,0), π 点P(4,3)的直角坐标为P(2,2 3), ∴|CP|=2 3.

参数方程和极坐标方程的综合问题
(文)(2013· 新课标Ⅰ,23)已知曲线C1的参数方程 为
? ?x=4+5cost, ? ? ?y=5+5sint,

(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

[分析]

(1)直接由sin2t+cos2t=1消参可得;

(2)将圆的有极坐标方程化为直角坐标方程,先求出C1、 C2两交点的直角坐标,再化为极坐标.

[解析]

? ?x=4+5cost, (1)将 ? ? ?y=5+5sint,

消去参数t,化为普通方程

(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
? ?x=ρcosθ, 将? ? ?y=ρsinθ,

代入x2+y2-8x-10y+16=0得,

ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. 所以C1的极坐标方程为 ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.

(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
2 2 ? ?x +y -8x-10y+16=0, 由? 2 2 ? ?x +y -2y=0,

? ?x=1, 解得? ? ?y=1,

? ?x=0, 或? ? ?y=2.

π π 所以C1与C2交点的极坐标分别为( 2,4),(2,2).

(理)(2012· 河南商丘市二模)已知在平面直角坐标系xOy
? ?x=1+cosθ, 内,点M(x,y)在曲线C: ? ? ?y=sinθ

(θ为参数,θ∈R)上

运动.以Ox为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 π ρcos(θ+4)=0. (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,试求△ABM面积的 最大值.

[分析]

(1)利用sin2θ+cos2θ=1,消去参数θ可得C的普通

方程;将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入消去ρ,θ可得l的直角坐标方 程.(2)|AB|为定值,要使△ABM面积最大,需M到直线AB的 距离最大.

[解析] +y2=1.

(1)消去参数θ,得曲线C的标准方程为:(x-1)2

π 由ρcos(θ+4)=0得:ρcosθ-ρsinθ=0. ∴直线l的直角坐标方程为:x-y=0. 1 2 (2)圆心(1,0)到直线l的距离为d= =2, 1+1 ∴|AB|=2 22 1 -? 2 ? = 2.
2

2 ∵圆上的点M到直线l的最大距离为d+r= +1. 2 ∴△ABM面积的最大值为 2+1 1 2 (S△ABM)max=2× 2×( 2 +1)= 2 .

(文)(2012· 河北石家庄市模拟)在平面直角坐标系中,取原 点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极 坐标方程为ρ=2cosθ,直线C2的参数方程为: ? ?x=-1+ 2t, 2 ? ? 2 ? y=3+ 2 t, ? ?

(t为参数),

(1)求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程; (2)先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度,再把图 象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到曲线C3,P为曲

线C3上一动点,求点P到直线C2距离的最小值,并求出相应的 点P的坐标.

[解析]

(1)由ρ=2cosθ得,ρ2=2ρcosθ,

∴x2+y2=2x, 曲线C1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1. 曲线C2的普通方程为x-y+4=0. x2 2 (2)曲线C3的方程为 3 +y =1, 设点P( 3cosθ,sinθ),点P到直线C2的距离为 π | 3cosθ-sinθ+4| |2cos?θ+6?+4| d= = , 2 2

π 由三角函数的性质知,当θ+ =π时,d取得最小值 2, 6 5π 3 1 此时θ= 6 ,所以P点坐标为(-2,2).

(理)(2013· 河北冀州中学期中)在直角坐标系xOy中,直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为 为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单 位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐 π 标为(4,2),判断点P与直线l的位置关系; (2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的 最小值.
? ?x= 3cosα, ? ? ?y=sinα,



[解析] P(0,4),

π (1)把极坐标系下的点P(4, )化为直角坐标得 2

因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0, 所以点P在直线l上.

(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为( sinα), 从而点Q到直线l的距离为,

3 cosα,

π | 3cosα-sinα+4| 2cos?α+6?+4 π d= = = 2 cos(α+ 6 )+ 2 2 2 2, π 由此得,当cos(α+ )=-1时,d取得最小值,且最小值 6 为 2.

[方法规律总结] 1.在将参数方程化为普通方程时,为消去参数,常用的 方法是加、减消元、代入消元、平方相加等,要注意观察参 数方程特点,选择恰当的消元法.

? ?x=acosφ 2.在椭圆的参数方程? ? ?y=bsinφ
2 2

(φ为参数)中,可直接求

得c= a -b

? ?x=x0+rcosα, ;在圆的参数方程 ? ? ?y=y0+rsinα,

(α为参数)中

可直接由参数方程得圆心(x0,y0),半径r;在直线的参数方程
? ?x=x0+at ? ? ?y=y0+bt

b (t为参数)中,也可以直接得到直线的斜率k=a.

3.给出曲线的极坐标方程,讨论曲线的位置关系或求相 交弦等,一般先化为直角坐标方程再求解. 4.一般地给出极坐标方程,求两曲线交点的极坐标,可 先化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再化为极坐 标.

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