抛物线的焦点弦性质_图文

二、抛物线的焦点弦性质
例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
y

抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则

A

(1)|AB|=x1+x2+p
(3)x1x2=p2/4;

(2)通径长为2 p
y1y2=-p2;
O B

θ F

(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.

(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。

1 1 2 (7) ? ? AF BF p

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线 相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)|AB|=x1+x2+p
y

(2)通径长为2p

y
A` A

A F B

o
B`

F B

x

O

x

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(5)以AB为直径的圆与准线相切.

证明:如图, M M1 ? A A1 ? B B1 2 ? AF ? BF 2 ? AB 2
l A1

y

A F M
X

故以AB为直径的圆与准线相切. M1 O

B1

B

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。

证明:如图, ?1=?2 ? ?3,?4=?5 ? ?6, 又?1 ? ?3 ? ?4 ? ?5 ? 180 ,
0

A1

y
2

A

??1 ? ?4 ? 900,即?AFB ? 900
O
B1
5 1 4 6 3

F

X

B

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(3)x1x2=p2/4;
0

y1y2=-p2;

y

证明:思路分析:韦达定理

A

p ? y1 y2 ? - p ,x1 x2 ? ; 4
2

p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2

1 当AB ? x轴时,

O B

F

x

20 AB斜率存在时设为k,(k ? 0)
2

y p 2 py 2 消元得y ? 2 ( p ? )即y ? ? p2 ? 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 ?y1 y2 ? - p ;x1 x2 ? 2 p ? 2 p ? 4

p 则直线AB方程为y=k(x- ) 代入抛物线方程y2 ? 2 px 2

法二:由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x ? my ? ,(m ? R) 2 ? y 2 ? 2 px p ? 2 ? p ? y ? 2 p (my ? ) 2 ? x ? my ? ? 2 y

即:y ? 2 pmy ? p ? 0
2 2

A

? y1 y2 ? ? p  (定值)
2

O

F B

x

2 y12 y2 p4 p2 ? x1x2 ? ? ? ? (定值) 2 2p 2p 4p 4

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;
解:过A,B点作准线的垂线,垂足 为P, Q
p p p ? P(? , y1 ), Q(? , y2 ), F ( ,0) 2 2 2
P
y

法3:利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90° 。
A

? PF ? QF

Q

O

?

F

x

? PF ? QF ? 0 即( p,? y1 ) ? ( p,? y2 ) ? 0
? p 2 ? y1 y2 ? 0
即y1 y2 ? ? p 2

B

p2 易得:x1 x2 ? 4

练习 (1).若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线 y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=2ps. 证明:设AB 的方程为x=my+s (m∈R) 代入抛物线得y2-2pmy-2ps=0, 2 2 y12 y2 (? 2 ps) 2 ? y1 ? y2 ? ?2ps ? x1 x2 ? ? ? ? s 2 (2). 若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2), 且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证:直线过定点 (s,0)(s>0) y1 ? y2 2p y 21 ? 2 px1 相减得k AB ? ? 证明: x1 ? x2 y1 ? y2 y 2 2 ? 2 px2 y 2p A ? 直线AB方程为y ? y1 ? (x ? x1) y1 ? y2
2p 2p 4p

令y ? 0得 ? y ? y1 y2 ? 2 px ? 2 px1
2 1

因为y21 ? 2 px1,y1y2 =-2ps代入上式得 x ? s ?直线AB必过点(s, 0)

B
l

M

y2=2 px

x

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ 证明: 思路分析 y x ? x ? p |AB|=|AF|+|BF|= 1 2

A

() 1 ? ? 900 时,k不存在, p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2p A B =2P= sin 2 900
0

O B

θ F

x

p (2)? ? 90 时,斜率k ? tan ?,直线方程为y ? tan ? (x ? ) 2 2p 然后联立方程组用韦达定理得 A B ? p ? x1 ? x2 ? sin 2?

思考:焦点弦何时最短? 过焦点的所有弦中,通径最短

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 1 ? 1 ? 2

p p 7) AF ? X 1 ?    BF ? X 2 ? 2 2

AF

BF

p

p? ? p? ? X1 ? ? ? ? X 2 ? ? ? 1 1 1 1 2? ? 2? ? ? ? ? ? ? p p p ?? p? AF BF ? X1 ? X2 ? X 1 ? ?? X 2 ? ? ? 2 2 2 ?? 2? ? x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p ? ? 2 2 p p p p2 p x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x1 ? x2y) A 2 4 4 4 2 x1 ? x2 ? p 2 ? ? p O F ( x1 ? x2 ? p ) p B 2

x

例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴. y 证明 : 设直线AB的方程 : A p x ? my ? , 代入y 2 ? 2 px, 得 2 O F y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0.
设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 ? ? p 2 . C
B

y1 py1 p p y= x,x=- 联立得C (- ,) x1 2 2 2x1

py1 py1 ? p y1 y2 yc ? ?- 2 ? ? ? y2 y1 2x1 y1 y1 2 2p
2

? BC || X 轴

例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),
(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点yO共线.
证明 : 设直线AB的方程 : p x ? my ? , 代入y 2 ? 2 px, 得 2 y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0.
O C
F
B A

设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 ? ? p 2 . 2 p p ?p B || X 轴 ? C (- ,y2), 即C (- , ) 2 2 y1 ? p2
y1 2 p y12 1 y1 k OC ? ? ? ? ? ? kOA p y1 x1 y1 x1 ? 2

?OC || OA且共点O, ?直线AC过点O

二、抛物线中的直角三角形问题 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的 两点,且OA⊥OB,

1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
2. 求证:直线AB过定点;

3. 求弦AB中点P的轨迹方程;
4. 求△AOB面积的最小值;

5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB,
(1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;

[解答] (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0),
kOA y1 y2 ? , kOB ? x1 x2

∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1,∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1,y22 = 2px2
y1 y2 ? ? ? y1 y2 ? 0 2p 2p
2 2

∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=?4p2 ∴ x1x2=4p2.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,

(2) 求证:直线AB过定点;
[解答](2)∵ y12=2px1,y22=2px2∴ (y1?y2)(y1+y2) = 2p(x1?x2)

y1 ? y2 2p ? ? x1 ? x2 y1 ? y2

? k AB ?

2p y1 ? y2

2p ? 直 线AB : y ? y1 ? ( x ? x1 ) y1 ? y2
2 px y1 ? 2 px1 ? y1 y2 2 px 2 px1 ?y? ? ?y? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2
2 2 px ? 4 p 2 ? ? y1 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p2 ? y ? y1 ? y2 y1 ? y2
2

?y?

2p ( x ? 2 p) y1 ? y2

∴ AB过定点T(2p, 0).

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (3) 求弦AB中点P的轨迹方程;
2p 2p ?A( 2 , ) (3)设OA∶y = kx,代入y2=2px 得: k ? 0, k k
1 ? 同理, k

以代k得B(2pk2, -2pk) .

1 ? 2 x ? p ( k ? ) ? ? 0 k2 ?? ? y ? p( 1 ? k ) 0 ? k ?

1 1 2 ? k ? 2 ? (k ? ) ? 2 ? k k
2

x0 y0 2 ?( ) ?2 p p

即 y02 = px0-2p2,

∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (4)求△AOB面积的最小值;

(4)

? S ?AOB ? S ?AOM ? S ?BOM 1 ? | OT | (| y1 | ? | y2 |) ? p(| y1 | ? | y2 |) 2

? 2 p | y1 y2 | ? 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一:设M(x3, y3), 则 kOM ? 3 x3 x

x3 ? AB : y ? y3 ? ? ( x ? x3 ) y3 y3 y3 即x ? ? ( y ? y3 ) ? x3代入y 2 ? 2 px得 x3 2 2 py3 2 py3 2, 2 由 (1) 知, y y =-4 p y ? y? ? 2 px3 ? 0, 1 2 x3 x3 2 2 py3 ? ? 2 px3 ? 4 p 2 整理得:x32+y32 -2px3=0, x3
? k AB ? ?
3

∴ 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)).

7. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.

法二:∵ AB过定点T(2p, 0). ∴ ∠OMT=90?, 又OT为定线段 ∴ M在以OT为直径的圆上 ∴ 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注:此类问题要充分利用(2)的结论.

小结:
在求轨迹方程问题中易于出错是对轨 迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此,在 求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法 分子”掺杂其中,应将其剔除;另一方面 又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”, 应将其找回。


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