高中数学必修五:2.3《等差数列的前n项和(1)》ppt课件_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 数 列 第二章 2.3 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和 第1课时 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 拥有 8 万个正式座位, 1.1 万个临时座位的鸟巢堪称世界最大 的体育场馆之一,绕鸟巢一圈大约有 4 千米左右,普通人快走 一圈需要 40 分钟左右.为了方便初次 走进鸟巢的观众找到自己的看台座位, 体育场里的入场标志设计得非常醒目 清晰.鸟巢看台分 12 个区,分别以“A” 到“M”进行标志区分.观众手中的门票 还有一个小平面图, 来给观众指明安检口的大致位置和方向. 通 过观察鸟巢的某个区的最前排的座位数为 12 个, 后面每排比前 一排多一个,总共 23 排,则这个区能容纳多少观众? ? ? 1.请你快速算出1+3+5+7+?+99=________. 2 .二次函数 y = 2 x 2 + x 的图象开口 ________ ,最小值为 ________. ? 3.在等差数列{an}中,a11+a13=a9+________. [ 答案] 1 1.2 500 2.向上 -8 3.a15 1.数列的前 n 项和 一般地, 我们称 a1+a2+a3+?+an 为数列{an}的前 n 项和, 用 Sn 表示. (1)记法:Sn=a1+a2+a3+?+an. (2)an 与 Sn 的关系:若数列的前 n 项和为 Sn,则通项公式 ? ?S1?n=1?, an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2,则 a8 的值为( A.15 C.49 [ 答案] [ 解析] B.16 D.64 ) A 解法一:S8=82=64,S7=72=49, a8=S8-S7=64-49=15. 解法二:∵Sn=n2,∴a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. ∵a1=1 也适合 an=2n-1,∴an=2n-1. ∴a8=2×8-1=15. 2.等差数列前 n 项和公式及其推导 对于首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an},我们用两种方 法表示 Sn. Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+?+[ a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+(an-2d)+?+[ an-(n-1)d] . ①+②,得 2Sn= =n(a1+an), n?a1+an? ∴Sn= . 2 将 an=a1+(n-1)d 代入上式,可得 n[a1+a1+?n-1?d] 1 Sn = =na1+2n(n-1)D. 2 因此, 等差数列的前 n 项和公式有两种表达形式, 分别为: n?a1+an? 1 Sn = 或 Sn=na1+2n(n-1)D. 2 注意:(1)等差数列前 n 项和公式的推导方法“倒序相加 法”,是解决数列求和问题的一种重要方法.主要适用于具有 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?特征的数列求和. (2)若已知数列的首项 a1、末项 an 及项数 n,则用公式 Sn n?a1+an? a1+an = 来求和.这里 2 是 a1 与 an 的等差中项,应用时 2 要注意结合等差数列的性质. n?a1+an? (3)公式 Sn= 中涉及四个量:Sn、n、a1、an;公式 2 n?n-1? Sn=na1+ 2 d 中也涉及四个量:Sn、n、a1,d、结合等差 数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,对于等差数列中的五个量: Sn、n、a1、an、d,已知其中的三个可以求另外的两个量. (1)若 a1=25,a5=33,则 S5=________; (2)若 a1=4,d=-1,则 S8=________. [ 答案] [ 解析] (1)145 (2)4 5?a1+a5? 5×?25+33? (1)S5= = =145. 2 2 8×7×d 8×7×?-1? (2)S8=8a1+ 2 =8×4+ =4. 2 3.等差数列的前 n 项和 Sn 的性质 等差数列的前 n 项和 Sn 有以下五个常用的性质: (1)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n -S2n,?仍是等差数列,且公差为 n2D. (2)若等差数列的项数为 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+ 1),用 S 偶表示前 2n 项中的 a2+a4+?+a2n,用 S 奇表示前 2n S奇 an 项中的 a1+a3+?+a2n-1,则 S 偶-S 奇=nd, = . S偶 an+1 (3)若等差数列的项数为 2n-1,则 S2n-1=(2n-1)an,用 S 偶 表示前 2n-1 项中的 a2+a4+?+a2n-2,用 S 奇表示前 2n-1 S奇 n 项中的 a1+a3+?+a2n-1,则 S 奇-S 偶=an, = . S偶 n-1 (4)若数列{an},{bn}均为等差数列,且前 n 项和分别是 Sn, an S2n-1 Tn,则b = . T n 2 n -1 (5)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则当 p≠q(p,q∈N*) Sp+q Sp-Sq 时,有 = . p+q p-q 注意:利用性质(2)(3)时一定要分清项数为偶数还是奇数, 否则极易出错. (1)等差数列{an}的前 m 项的和为 30, 前 2m 项的和为 100, 则它的前 3m 项的和为( A.130 C.210 ) B.170 D.260 (2)已知{an},{bn}均为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn、 a5 Sn 2n+3 Tn,且T = ,则b =________. n + 3 n 5 5 [ 答案] (1)C (2)3 [ 解析] (1) ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列,

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