【小初高学习】高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课堂探究

小初高教育 一 圆周角定理 课堂探究 探究一求线段的长 求圆中线段长时, 常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形, 从而得到成比例线段, 再列方程求得线段长. 【典型例题 1】如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠BAC 的平分线与 BC 边和⊙O 分 别交于点 D,E. (1)指出图中相似的三角形,并说明理由; (2)若 EC=4,DE=2,求 AD 的长. 解:(1)∵AE 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠EAC. 又∵∠B=∠E, ∴△ABD∽△AEC. ∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE, ∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED. (2)∵△CED∽△AEC, ∴ CE ED = . AE EC 2 ∴CE =ED·AE, ∴16=2AE,∴AE=8. ∴AD=AE-DE=6. 点评 (1)本题证三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中角的条件由同弧所 对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,先由三角形相似得线段成比例,然后再求其长度. 探究二证明线段相等 有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证圆周角相等,可转化为证 明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的常见策略. 【典型例题 2】如图,BC 为圆 O 的直径,AD⊥BC, AF = AB ,BF 和 AD 相交于 E,求 K12 资源 小初高教育 证:AE=BE. 思路分析:要证 AE=BE,只需在△ABE 中证明∠ABE=∠EAB,而要证这两个角相等,只 需借助∠ACB 即可. 证明:∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BAC 为直角. 又 AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC. ∴∠BAD=∠ACB. ∵ AB = AF ,∴∠FBA=∠ACB. ∴∠BAD=∠FBA. ∴△ABE 为等腰三角形.∴AE=BE. 点评 题. 探究三易错辨析 易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等 【典型例题 3】如图所示,∠BAD=75°,则∠BCD=__________. 若已知条件中出现直径, 则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问 错解:∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是 BD,∴∠BAD=∠BCD. ∴∠BCD=75°. 错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧不相等,导致得到错误 的结论∠BAD=∠BCD. 正解:∠BAD 是 BCD 所对的圆周角,∠BCD 是 BAD 所对的圆周角,则 BCD 所对的圆 心角为 2×75°=150°.又 BCD 和 BAD 所对圆心角的和是周角 360°, ∴ BAD 所对圆心角是 360°-150°=210°, K12 资源 小初高教育 1 ∴ BAD 所对圆周角∠BCD= ×210°=105°. 2 K12 资源

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