向量法求二面角的大小_图文

向量法求二面角的大小

北京市房山区教师进修学校 卢寒芳

一、教学背景的分析 二、教学目标的确定

三、教学方法的选择
四、教学过程的设计与实施 五、教学效果评价与反思

一、教学背景的分析
1

教材分析

?本节课教学内容选自人教高中数学B版选修2—1第

三章第2.4节“二面角及其度量”的第2课时.
?二面角是立体几何的重要概念之一.它是学生在

学习异面直线所成的角,直线与平面所成的角之
后,又重点研究的一种空间角.

?课标要求:能用向量方法解决面面夹角的计算问
题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.

一、教学背景的分析
1

教材分析

?利用向量方法求解立体几何问题是将逻辑推理转化

为向量的代数运算.
三步曲:空间向量表示几何元素→利用向量运算研

究几何元素间的关系→把运算结果转化成相应的几
何结论.

?用到数形结合、类比转化等数学思想和方法,有助
于提高学生的思维能力.

一、教学背景的分析
2

学情分析

已学习:二面角及二面角的平面角的概念

会:建立空间直角坐标系 进行向量坐标运算 求平面的法向量 已掌握:用向量求解线线角、线面角的方法

二、教学目标的确定
1
通过类比异面直线

2
在探究用向量法求二 面角大小的过程中, 体会数形结合、类比 转化的数学思想,进 一步提高空间想象能 力、分析问题和解决

3
通过经历向量法求 二面角大小的推导 过程,培养大胆探 索精神,提高学习 立体几何的兴趣.

所成的角、直线与
平面所成角的解决 方法,得到用向量

求二面角大小的方
法,并能用之解决 有关问题,体会向 量方法在研究几何 问题中的作用.

问题的能力.

二、教学目标的确定
教学的重点和难点

重点:用法向量夹角求二面角的方 法的探究及应用

重点和难点
难点:二面角与两个半平面的法向

量夹角的关系

三、教学方法的选择
1

教学方法

教师启发引导 学生自主探究
2

教学手段

多媒体辅助

四、教学过程的设计与实施
1 温故知新

2

探究方法

3

实践操作

4

归纳总结

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

如何度量二面角α—l—β的大小
?
B O A

?

l

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

异面直线所成的角

?

v1

v2

|

v1

?

v2

? ?? v1, v2 ?

? ? ? ? ? v1, v2 ?

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

直线与平面所成的角
直线的方向向量为 a ,平面的法向量为

n

n

a
?

a
B?

?

?

??

?
2

? ? a, n ?

n

? ?? a, n ? ?

?
2

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

设计意图
通过复习二面角平面角的知识,类比线线角、线 面角的解决方法,自然引出用向量探究二面角的

大小.

四、教学过程的设计与实施
1 温故知新

2

探究方法

3

实践操作

4

归纳总结

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

问题1: 二面角的平面角?AOB 能否转化成向量的夹角?
?
B

?
O l A

?AOB ?? OA, OB ? 二面角? ?? OA, OB ?

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

二面角? ?? n1, n2 ?

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

设计意图
从平面角出发,引导学生发现二面角的求解可由 向量的夹角来确定,从而调动学生探究这一问题

的积极性.

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

问题2:
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与

平面的法向量的夹角,那么二面角的大小与两个半
平面的法向量有没有关系?
n
?

n1

a
?

n2
?

?

l

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

思考:法向量的夹角与二面角平面角的关系

四、教学过程的设计与实施

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

? ?? n1 , n2 ?

cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

根据教师引导,由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定,调动学生探究这一问题的主动性和积极性.

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

? ? ? ? ? n1, n2 ?

cos ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?

n1 ? n2 n1 n2

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

设计意图
通过教师引导和学生的交流讨论,培养学生的空 间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神; 通过实物教具、板书画图、课件演示,帮助学生 理解法向量夹角与二面角大小的关系.

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

问题3:

法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等,什么
时候互补?

再次演示课件

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

当法向量 n1 , n2 一个指向二面角内,另一个指向二面角外时, 二面角的大小 ? ?? n1 , n2 ? ; 当法向量 n1 , n2 同时指向二面角内或二面角外时, 二面角的大小 ? ? ? ? ? n1 , n2 ? .

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

设计意图
进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系, 结合规律加深学生对这一难点内容的理解.

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

2

探究方法

3

实践操作

4

归纳总结

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD ? SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, , 2

求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

设计意图
本题的特点是图中没有出现两个平面的交线,不

能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量
的夹角解决,利用法向量的夹角解决体现了向量 求解立体几何问题的优越性.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD ? SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, , 2

求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

解:由 SA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,SA,AB,AD 两两互相垂直. 以 A 为坐标原点,AD 所在的直线为 x 轴,AB 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系 A-xyz,则
1 1 S (0, 0,1) , S ( , 0, 0) , C (1,1, 0) , SD ? ( , 0, ?1) , SC ? (1,1, ?1) , 2 2 设平面 SCD 的法向量为 n ? (x, y, z),则 n?SD ?0, n?SC ?0,

转化为坐标运算,得
?1 ? x ? z ? 0, ?2 ? ? x ? y ? z ? 0.

取 z=1,则 n ? (2,?1,1) ,
1 ? 2 ? 0 ? (?1) ? 0 ? 1 n ? AD 6 2 cos ? n, AD ?? ? ? 1 3 . n ? AD ? 6 2

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

设计意图
通过对无棱二面角问题的解决,使学生经历从建立 坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程,较 好地掌握如何利用法向量的夹角求二面角大小的方 法.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤:

1)建立坐标系,写出点与向量的坐标;
2)求出平面的法向量,进行向量运算求出法向量的

夹角;
3)通过图形特征或已知要求,确定二面角是锐角或

钝角,得出问题的结果.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

设计意图
明确向量法的解题步骤,培养学生概括、总结的 能力和意识.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

巩固练习: 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点Q是BC 的中点,求二面角A—DQ—A1的余弦值.

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

2

探究方法

3

实践操作

4

归纳总结

四、教学过程的设计与实施
4

归纳总结
半平面内分别垂直于棱的向量的夹角

?两种方法
两个平面的法向量的夹角求解

?一个步骤

用法向量求二面角大小的步骤

数形结合

?两个思想
类比转化

四、教学过程的设计与实施
4

归纳总结

设计意图
引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结, 有利于学生对已有的知识结构加深理解。

四、教学过程的设计与实施
4

归纳总结

课后作业:
1、如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ,

试用多种方法求二面角A1-BD-C1的余弦值.

2、P111练习A第3题,练习B第2题

四、教学过程的设计与实施
板书设计
用向量法求二面角的大小 1、
3、例题 解: SA、 AB、 AD 两两垂直, 以 A 为坐标原点, 由 n ? SC ? 0 , n ? SD ? 0 ,得

? ?? n1 , n2 ? , cos? ?
2、

n1 ? n2 n1 n2

AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),S(0,0,1),D (

?1 ? x ? z ? 0, ?2 ? ? x ? y ? z ? 0.
取 z=1,得 n ? (2,?1,1) ,

1 ,0,0) , 2

C(1,1,0, SC ? (1,1,?1) , SD ? ( 1 ,0,?1) , 2

cos ? n, AD ??

n ? AD n ? AD

?

6 3

1 AD ? ( ,0,0) 为平面 SAB 的法向量, 2

?? n, AD ? 与二面角大小相等

? ?? n1 , n2 ?
cos? ? n1 ? n2 n1 n2

? ? ? ? ? n1 , n2 ?
cos? ? ? n1 ? n2 n1 n2

, y, z), 设平面 SCD 的法向量为 n ? (x

? 平面 SAB 与平面 SCD
二面角的余弦值

的所成

6 3

五、教学效果的评价与反思
学习效果评价设计 项目 旧知识掌握情况 课前预习情况 A(优秀) 牢固 自己主动完成 B(良好) 比较牢固 依照同学才完成 C(合格) 一般 不能完成 个人 评价 同学 评价 教师 评价

独立思考积极程度

积极

较积极

一般

交流讨论情况

有交流讨论

有交流

没有交流

参与学习的积极性

很高

比较高

一般

本节课的掌握情况



较好

不好

课后作业完成情况

独立完成

与同学合作完成

不能完成

五、教学效果的评价与反思
教学反思

1、以课标为中心,加强知识形成过程的教学。 2、几何画板演示、实物教具和传统板书教学有效结合。 3、在教师的引导下,学生的主体性得到了充分体现。 4、注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透。

五、教学效果分析
教学反思

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