2020高考数学大一轮复习第八章解析几何第三节直线与圆圆与圆的位置关系检测理新人教A版

第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A 级 基础夯实练 1.(2018·安徽江南十校联考)直线 l:x-y+m=0 与圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 恒有 公共点,则 m 的取值范围是( )

A.[- 2, 2]

B.[-2 2,2 2]

C.[- 2-1, 2-1]

D.[-2 2-1,2 2-1]

解析:选 D.圆 C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为 2,圆心到

直线的距离 d=|2-1+m|=|m+1|,若直线 l 与圆 C 恒有公共点,则|m+1|≤2,解得-2 2

2

2

2

-1≤m≤2 2-1,故选 D.

2.若直线 l:y=kx+1(k<0)与圆 C:x2+4x+y2-2y+3=0 相切,则直线 l 与圆 D:

(x-2)2+y2=3 的位置关系是( )

A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定

解析:选 A.因为圆 C 的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2,所以其圆心坐标为(-2,1),

半径为 2, 因为直线 l 与圆 C 相切. 所以|-2k-1+1|= 2,解得 k=±1, k2+1

因为 k<0,所以 k=-1,

所以直线 l 的方程为 x+y-1=0.圆心 D(2,0)到直线 l 的距离 d=|2+0-1|= 2

2 2<

3,

所以直线 l 与圆 D 相交. 3.已知圆 O1 的方程为 x2+y2=4,圆 O2 的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只
有一个公共点,那么 a 的所有取值构成的集合是( )

A.{1,-1}

B.{3,-3}

C.{1,-1,3,-3}

D.{5,-5,3,-3}

解析:选 C.因为两圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切,内切时,|a|=1,

外切时,|a|=3,所以实数 a 的取值集合是{1,-1,3,-3}.

4.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+4=0 的公切线有( )

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

解析:选 D.圆 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,

所以圆心 C1(-1,-1),半径长 r1=2; 圆 C2:(x-2)2+(y-1)2=1,

所以圆心 C2(2,1),半径长 r2=1.

所以 d= (-1-2)2+(-1-1)2= 13,r1+r2=3,

所以 d>r1+r2,所以两圆外离,所以两圆有 4 条公切线.

5.(2018·兰州市诊断考试)已知圆 C:(x- 3)2+(y-1)2=1 和两点 A(-t,0),B(t,

0),(t>0),若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则当 t 取得最大值时,点 P 的坐标是( )

A.???32,3 2 2???

B.???3 2 2,32???

C.???32,3 2 3???

D.???3 2 3,32???

→→ 解析:选 D.设 P(a,b)为圆上一点,由题意知,AP·BP=0,即(a+t)(a-t)+b2=0,

a2-t2+b2=0,所以 t2=a2+b2=|OP|2,|OP|max=2+1=3,即 t 的最大值为 3,此时 kOP= 33,

OP 所在直线的倾斜角为 30°,所以点 P 的纵坐标为32,横坐标为 3× 23=3 2 3,即 P???3 2 3,32???. 6.(2018·四川外国语学校月考)曲线 x2+(y-1)2=1(x≤0)上的点到直线 x-y-1=0
的距离的最大值为 a,最小值为 b,则 a-b 的值是( )

A. 2

B.2

2 C. 2 +1

D. 2-1

解析:选 C.因为圆心(0,1)到直线 x-y-1=0 的距离为 2 = 2>1,所以半圆 x2+(y 2

-1)2=1(x≤0)到直线 x-y-1=0 的距离的最大值为 2+1,最小值为点(0,0)到直线 x

-y-1=0 的距离为 1 ,所以 a-b= 2

2+1-

1= 2

22+1,故选

C.

7.已知直线 l:x+my-3=0 与圆 C:x2+y2=4 相切,则 m=________.

解析:因为圆 C:x2+y2=4 的圆心为(0,0),半径为 2,直线 l:x+my-3=0 与圆 C:

x2+y2=4 相切,

3 所以 2= 1+m2,

解得 m=± 25.

答案:±

5 2

8.已知 A 是射线 x+y=0(x≤0)上的动点,B 是 x 轴正半轴的动点,若直线 AB 与圆 x2

+y2=1 相切,则|AB|的最小值是________.

解析:设 A(-a,a),B(b,0)(a,b>0),则直线 AB 的方程是 ax+(a+b)y-ab=0.

因为直线 AB 与圆 x2+y2=1 相切,所以

d=

ab a2+(a+b)2=1,化简得

2a2+b2+2ab=a2b2,

利用基本不等式得 a2b2=2a2+b2+2ab≥2 2ab+2ab,即 ab≥2+2 2, 从而得|AB|= (a+b)2+a2=ab≥2+2 2,

当 b= 2a,即 a= 2+ 2,b= 4+2 2时,|AB|的最小值是 2+2 2.

答案:2+2 2 9.圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心坐标为(2,1). (1)若圆 O1 与圆 O2 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O1 与圆 O2 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程. 解:(1)因为圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4, 所以圆心 O1(0,-1),半径 r1=2. 设圆 O2 的半径为 r2,由两圆外切知|O1O2|=r1+r2. 又|O1O2|= (2-0)2+(1+1)2=2 2, 所以 r2=|O1O2|-r1=2 2-2. 所以圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=12-8 2. (2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r22,① 又圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,② ①-②得 AB 所在的直线方程为 4x+4y+r22-8=0. 设线段 AB 的中点为 H, 因为 r1=2,所以|O1H|= r12-|AH|2= 2. 又|O1H|=|4×0+4×(42-+14)2 +r22-8|=|r422-122|,所以|r422-122|= 2,解得 r22=4 或 r22=20. 所以圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20. 10.(2018·广东汕头模拟)已知圆 C 经过点(2,4),(1,3),圆心 C 在直线 x-y+1= 0 上,过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点. (1)求圆 C 的方程;

→→ (2)(ⅰ)请问AM·AN是否为定值,若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;

→→ (ⅱ)若OM·ON=12(O 为坐标原点),求直线 l 的方程.

解 : (1) 设 圆 C 的 方 程 为 (x - a)2 + (y - b)2 = r2 , 则 依 题 意 , 得

??(2-a)2+(4-b)2=r2,

??a=2,

?(1-a)2+(3-b)2=r2,解得?b=3,

??a-b+1=0,

??r=1,

∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.

→→ (2)(ⅰ)AM·AN为定值.

过点 A(0,1)作直线 AT 与圆 C 相切,切点为 T,易得|AT|2=7,

→→ → → ∴AM·AN=|AM|·|AN|cos 0°=|AT|2=7,

→→ ∴AM·AN为定值,且定值为 7.

(ⅱ)依题意可知,直线 l 的方程为 y=kx+1,设 M(x1,y1),N(x2,y2),将 y=kx+1 代入(x-2)2+(y-3)2=1 并整理,得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,∴x1+x2=4(11++kk2 ),

x1x2=1+7 k2,

∴O→M·O→N=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+1+k2k)+8=12

4k(1+k) ,即 1+k2

=4,解得 k=1,又当 k=1 时 Δ >0,∴直线 l 的方程为 y=x+1.

B 级 能力提升练

11.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C:(x-2)2+y2=5 上的任意一点,点 Q(2a,

a+2),其中 a∈R,则线段 PQ 长度的最小值为( )

5 A. 5

B. 5

35 C. 5

65 D. 5

解析:选 A.显然点 Q(2a,a+2)是直线 x-2y+4=0 上的点,圆心 C(2,0),半径为 5,

圆心 C 到直线 x-2y+4=0 的距离为 d=

|2-0+4| 6 12+(-2)2=

5

5,所以

PQ

长度的最小值为6

5

5

- 5= 55.

12.已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2,则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是( )

A.内切

B.相交

C.外切

D.相离

解析:选 B.圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+(y-a)2=a2,由题意,d= a , 2

所以有,a2=a22+2,解得 a=2.所以圆 M:x2+(y-2)2=22,圆心距为 2,半径和为 3,半

径差为 1,所以二者相交. 13.(2017·抚州一模)已知直线 ax+by+1=0 与圆 x2+y2=1 相切,则 a+b+ab 的最

大值为( )

A.1

B.-1

1 C. 2+2

D.1+ 2

解析:选 C.因为直线 ax+by+1=0 与圆 x2+y2=1 相切,所以

1 a2+b2=1,即

a2+b2

=1,

令 a=cos θ ,b=sin θ (θ 是参数),即 a+b+ab=cos θ +sin θ +cos θ sin θ ,令

cos θ +sin θ =t(- 2≤t≤ 2),则

cos

θ

sin

θ

t2-1 = 2 ,即

a+b+ab=t2+22t-1,由二次函数的性质可知,当

t=

2时,

a+b+ab 的最大值为 2+12.

14.过点 C(3,4)作圆 x2+y2=5 的两条切线,切点分别为 A,B,则点 C 到直线 AB 的距

离为________.

解析:以 OC 为直径的圆的方程为???x-32???2+(y-2)2=???52???2,AB 为圆 C 与圆 O:x2+y2=5 的公共弦,所以 AB 的方程为 x2+y2-??????x-32???2+(y-2)2???=5-245,化为 3x+4y-5=0,C 到 AB 的距离为 d=|3×3+324+×442-5|=4.

答案:4 15.过点 P(-1,1)作圆 C:(x-t)2+(y-t+2)2=1(t∈R)的切线,切点分别为 A,B,

→→ 则PA·PB的最小值为________.
解析:圆 C:(x-t)2+(y-t+2)2=1 的圆心坐标为(t,t-2),半径为 1,

所以 PC= (t+1)2+(t-3)2= 2(t-1)2+8≥ 8,

PA=PB= PC2-1,

cos∠APC=APPC,所以 cos∠APB=2???APPC???2-1=1-P2C2,

所以→PA·→PB=(PC2-1)???1-P2C2???=-3+PC2+P2C2≥-3+8+14=241,

所以→PA·→PB的最小值为241.

答案:241

C 级 素养加强练

16.已知△ABC 的三个顶点 A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为⊙H.

(1)若直线 l 过点 C,且被⊙H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程.

(2)对于线段 BH 上的任意一点 P,若在以点 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M,N,使

得点 M 是线段 PN 的中点,求⊙C 的半径 r 的取值范围.

解:(1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x=0,线段 BC 的垂直平分线方程为 x+y-3=0,

所以外接圆圆心为 H(0,3),半径为 (-1)2+32= 10, ⊙H 的方程为 x2+(y-3)2=10.

设圆心 H 到直线 l 的距离为 d,

因为直线 l 被⊙H 截得的弦长为 2,所以 d= 10-1=3.

当直线 l 垂直于 x 轴时,显然符合题意,即 x=3 为所求;当直线 l 不垂直于 x 轴时,

设直线

l

的方程为

y-2=k(x-3),则|3k+1|=3,解得 1+k2

k=43,直线

l

的方程为

4x-3y-6

=0.

综上,直线 l 的方程为 x=3 或 4x-3y-6=0.

(2)直线 BH 的方程为 3x+y-3=0,

设 P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),

因为点 M 是线段 PN 的中点,所以 M???m+2 x,n+2 y???, 又 M,N 都在半径为 r 的⊙C 上,
??(x-3)2+(y-2)2=r2, 所以??????m+2 x-3???2+???n+2 y-2???2=r2, 即?????((xx- +3m) -26+)(2+y(-2y) +2n=-r42),2=4r2
因为此方程组有解,

即以(3,2)为圆心,r 为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r 为半径的圆有公共点, 所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2,又 3m+n-3=0, 所以 r2≤10m2-12m+10≤9r2 对? m∈[0,1]成立. 而 f(m)=10m2-12m+10 在[0,1]上的值域为???352,10???, 故 r2≤352且 10≤9r2. 又线段 BH 与圆 C 无公共点, 所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2,对? m∈[0,1]成立,即 r2<352.
故⊙C 的半径 r 的取值范围为??? 310,4 510???.


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