高中数学北师大版必修四课件:第1章 4.3+4.4 单位圆的对称性与诱导公式_图文

阶 段 一

阶 段 三

4.3

单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质. 2.会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式.(难点) 3.掌握诱导公式及其应用.(重点)

[基础· 初探] 教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质 阅读教材P18~P19“思考交流”以上部分,完成下列问题.

正弦函数、余弦函数的基本性质
函数 定义域 值域 基本 性质 最大 (小)值 y=sin x R [-1,1] y=cos x

π 当x=2kπ+2 (k∈Z)时,
函数取得最大值 1 ;

当x= 2kπ (k∈Z)时, 函数取得最大值 1 ; 当x= (2k+1)π (k∈Z)

π 2kπ-2 当x= (k∈Z)时, 时,函数取得最小值
函数取得最小值 -1

-1

周期性 周期是 2kπ 基本 性质 单调性

(k∈Z),最小正周期为 2π 在区间 [2kπ-π,2kπ]

在区间

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ? 2 2?(k ?

∈Z)上是增加的,在区间
? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z)上 2 2? ?

(k∈Z)上是增加的 ,
在区间 [2kπ,2kπ+π]

(k∈Z)上是减少的

是减少的

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)y=sin x在[-π,π]上是增加的.( (2)y=sin (3)y=cos
? π ? x在?-6,π?上的最大值为1.( ? ? ? π? x在?0,2?上的最小值为-1.( ? ?

) ) )

【解析】 (1)y=sin x在[-π,π]上不具有单调性,故(1)错误. (2)y=sin (2)正确. (3)y=cos
? π? x在?0,2?上是减少的,故y min=cos ? ? ? π π? ?π ? π x在 ?-6,2? 上是增加的,在 ?2,π? 上是减少的,y max=sin 2 =1,故 ? ? ? ?

π 2=0,故(3)错误.

【答案】 (1)× (2)√ (3)×

教材整理2 诱导公式(-α,π±α)的推导 阅读教材P19~P21,完成下列问题. 1.诱导公式(-α,π±α)的推导 (1)在直角坐标系中 α与-α角的终边关于 x轴 对称;

α与π+α的终边关于 原点 对称; α与π-α的终边关于

y轴 对称.

(2)公式 sin(-α)= -sin α ,cos(-α)= cosα ;

sin(π+α)= -sin α ,cos(π+α)= -cos α ; sin(π-α)= sin α ,cos(π-α)= -cos α .

?π ? α?的推导 2.诱导公式?2± ? ?

π (1)2-α的终边与α的终边关于直线 y=x 对称. (2)公式
?π ? ? sin?2-α? ?= ? ?

cos α

?π ? ? ,cos?2-α? ?= ? ?

sin α

用-α代替α↓并用前面公式
?π ? ? sin?2+α? ?= ? ?

cos α

?π ? ? ,cos?2+α? ?=-sin ? ?

α

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)cos(2π-α)=cos α.( (2)sin(2π-α)=sin α.( ) ) )

(3)诱导公式中的角α只能是锐角.(

【解析】 (1)正确.cos(2π-α)=cos(-α)=cos α. (2)错误.sin(2π-α)=sin(-α)=-sin α. (3)错误.诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任意角.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________

[小组合作型]

正弦、余弦函数的性质

求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值 的自变量x的值. (1)y=sin (1)y=cos
? π ? x,x∈?-6,π?; ? ? ? π? x,x∈?-π,3?. ? ?

【精彩点拨】 画出单位圆,借助图形求解.
【自主解答】 (1)由图①可知,y=sin
? π π? ?π ? x在 ?-6,2? 上是增加的,在 ?2,π? 上 ? ? ? ?

π π 1 是减少的.且当x=2时,y=sin x取最大值1,当x=-6时,y=sin x取最小值-2.



(2)由图②可知,y=cos

? π? x在[-π,0]上是增加的,在?0,3?上是减少的.且当x ? ?

=-π时取最小值-1,当x=0时,取最大值1.



利用单位圆研究三角函数性质的方法 第一步:在单位圆中画出角x的取值范围; 第二步:作出角的终边与单位圆的交点P(cos x,sin x); 第三步:研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律; 第四步:得出结论.

[再练一题] 1.求下列函数的单调区间和值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值. 【导学号:66470010】 (1)y=-sin
?π ? x,x∈?3,π?;(2)y=cos ? ?

x,x∈[-π,π].

【解】 (1)y=-sin
?π ? ? ,π?. ?2 ?

?π ? ?π π? x,x∈?3,π?的单调递减区间为?3,2?,单调递增区间为 ? ? ? ?

π 当x= 2 时,ymin=-1;当x=π时,ymax=0,故函数y=-sin
? ? ?

x的值域为

-1,0???.

(2)y=cos 0].

x,x∈[-π,π]的单调递减区间为[0,π],单调递增区间为[-π,

当x=0时,ymax=1;当x=-π或π时,ymin=-1,故函数y=cos x,x∈[-π, π]的值域为[-1,1].

给角求值
4π 25π 5π (1)sin 3 · cos 6 · sin 4 ;
? 2π? (2)sin??2n+1?π- 3 ?. ? ?

【精彩点拨】 利用诱导公式将所给的角化成锐角求解.

【自主解答】

4π 25π 5π (1)sin 3 · cos 6 · sin 4

? ? π? π? ? π? =sin?π+3?· cos?4π+6?· sin?π+4? ? ? ? ? ? ?

π? π π? ?-sin ? =-sin3· cos6· 4? ? 3 3 2 = 2 ·2 ·2 3 2 3 2 =4·2 = 8 .

? ? 2π? 2π? (2)sin??2n+1?π- 3 ?=sin?2nπ+π- 3 ? ? ? ? ? ? 2π? π ? ? =sin π- 3 =sin3= ? ?

3 2.

利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:

可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值.

[再练一题] 2.求下列各式的值. (1)sin 495° · cos(-675° );
? ? 2π? 4 ? (2)sin?2nπ+ 3 ?· cos?nπ+3π?(n∈Z). ? ? ? ?

【解】

(1)sin 495° · cos(-675° )

=sin(360° +135° )· cos(360° +315° ) =sin 135° · cos 315° =sin(180° -45° )cos(360° -45° ) 2 2 1 =sin 45° · cos 45° = 2 × 2 =2.

(2)当n为奇数时,
? 4 ? π? 2 ? 原式=sin 3π·?-cos 3π?=sin?π-3?· ? ? ? ? ? ? π?? ?-cos?π+ ?? 3? ? ? ?

π π 3 1 3 =sin 3· cos 3= 2 ×2= 4 ; 当n为偶数时,
? ? π? π? 2 4 原式=sin 3πcos 3π=sin?π-3?· cos?π+3? ? ? ? ?

π? π? 3 ? 1? 3 ? ? ? ? -cos 3 = × -2 =- . =sin 3· 2 ? 4 ? ? ?

给值求值
?π ? 1 ?5π ? ?2π ? 已知cos?6-α?=3,求cos? 6 +α?· sin? 3 -α?. ? ? ? ? ? ?

【精彩点拨】

?π ? ?5π ? ?π ? 2π 解答本题要注意到 ?6-α? + ? 6 +α? =π, 3 -α=π- ?3+α? , ? ? ? ? ? ?

?π ? ?π ? π ? +α?+? -α?= 等角之间的关系,恰当运用诱导公式求值. ?3 ? ?6 ? 2

【自主解答】

?π ? ?π ? π ∵?3+α?+?6-α?=2, ? ? ? ?

?π ?π ?? ?π ? ∴sin?3+α?=sin?2-?6-α?? ? ?? ? ? ? ?π ? 1 =cos?6-α?=3. ? ? ? ?2π ? ?π ?? ∴sin? 3 -α?=sin?π-?3+α?? ? ? ? ?? ? ?π ? 1 =sin?3+α?=3. ? ?

?π ? ?5π ? ∵?6-α?+? 6 +α?=π, ? ? ? ? ? ?5π ? ?π ?? ∴cos? 6 +α?=cos?π-?6-α?? ? ? ? ?? ? ?π ? 1 ? ? =-cos 6-α =-3, ? ? ?5π ? ?2π ? 1 1 1 ? ? ? ? ∴cos 6 +α sin 3 -α =-3×3=-9. ? ? ? ?

1.观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同 名的函数,将不同的角化为相同的角,是解决问题的关键. 2.对于有条件的三角函数求值题,求解的一般基本方法是从角的关系上寻 求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到 已知式而完成求值.

[再练一题]
?π ? 3.已知sin?6+α?= ? ? ?10π ? 3 ? -α?的值. 3 ,求cos? 3 ?

【解】

?π ? 10 ∵ 3 π-α=3π+?3-α?, ? ?

? ?10π ? ?π ?? ∴cos? 3 -α?=cos?3π+?3-α?? ? ? ? ?? ? ?π ? =-cos?3-α?. ? ? ?π ? ?π ? π 又∵?6+α?+?3-α?=2, ? ? ? ? ?π ?π ?? ?10π ? ∴cos? 3 -α?=-cos?2-?6+α?? ? ?? ? ? ? ?π ? =-sin?6+α?=- ? ?

3 3.

[探究共研型]

三角函数式的化简
探究1 三角函数式本着怎样的思路化简?
【提示】总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数.

探究2 怎样处理含有kπ±α的角?
【提示】 含有kπ±α形式的角的三角函数化简时,需对k分是奇数还是偶数 讨论确认选用的公式.

化简下列各式.
?3π ? cos?2π-α?sin?3π+α?cos? 2 -α? ? ? (1) ? π ; ? cos?-2+α?cos?α-3π?sin?-π-α? ? ? ?4n+1 ? ?4n-1 ? ? ? ? ? (2)cos? + cos π + x π - x ? ? 4 ?(n∈Z). 4 ? ? ? ?

【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简. (2)对n是奇数或偶数进行讨论.

【自主解答】

cos α· ?-sin α?· ?-sin α? (1)原式= =-1. sin α· ?-cos α?sin α

?4n+1 ? ?4n-1 ? ? ? ? ? (2)∵? + π + x π - x ? ? 4 ?=2nπ, 4 ? ? ? ? ? ?4n+1 ?? ?4n+1 ? ? ? ?? ? ? 2 n π - ∴原式=cos? + cos π + x π + x ? ? 4 ?? ? ? ? ?? ? 4 ? ?4n+1 ? ? π ? ? ? =2cos? =2cos?nπ+4+x?. π + x ? ? ? ? 4 ?

①当n为奇数时,即n=2k+1(k∈Z)时,原式
? ?π ? π ? =2cos?2kπ+π+4+x?=-2cos?4+x?; ? ? ? ?

②当n为偶数时,即n=2k(k∈Z)时, 原式=2 =2
? π ? cos?2kπ+4+x? ? ?

?π ? cos?4+x?. ? ?

?π ? ? ?,n为奇数, + x ?-2 cos? ?4 ? 故原式=? ? ? ?2 cos?π+x?,n为偶数. ? ?4 ?

三角函数的化简,尽量化为2kπ±α的形式,否则: (1)形如kπ±α时,应对k进行奇数和偶数两种情形讨论; k (2)形如3π±α时,应分k=3n,k=3n+1,k=3n+2(n∈Z)三种情形讨论.

[再练一题]
?3k+1 ? ?3k-1 ? ? ? ? ? 4.化简:cos? + cos π + α π - α ? ? 3 ?,其中k∈Z. 3 ? ? ? ?

【解】

?3k+1 ? ?3k-1 ? ? ? ? ? π π ? ? ? ? cos? +cos? =cos?kπ+3+α?+cos?kπ-3-α?. π + α π - α ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ?

①当k=2n+1,n∈Z时,
? ? ? ? π π 原式=cos??2n+1?π+3+α?+cos??2n+1?π-3-α? ? ? ? ? ? ? ? ? π π =cos?π+3+α?+cos?π-3-α? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =-cos?3+α?-cos?3+α? ? ? ? ? ?π ? =-2cos?3+α?; ? ?

②当k=2n,n∈Z时,
? ? ? ? π π 原式=cos?2nπ+3+α?+cos?2nπ-3-α? ? ? ? ? ?π ? ? π ? =cos?3+α?+cos?-3-α? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =cos?3+α?+cos?3+α? ? ? ? ? ?π ? =2cos?3+α?. ? ?

?π ? ? ?,k为偶数, + α ?2cos? ?3 ? 综上可知,原式=? ? ? ?-2cos?π+α?,k为奇数. ? ?3 ?

[构建· 体系]

1.当α∈R时,下列各式恒成立的是(
?π ? A.sin?2+α?=-cos ? ?

)

α

B.sin(π-α)=-sin α C.cos(π+α)=cos α D.cos(-α)=cos α

【解析】 由诱导公式知D正确. 【答案】 D

2π 2.cos 3 的值是(

) 【导学号:66470011】

3 A.- 2 1 C.2

3 B. 2 1 D.-2

? π? 2π π 1 ? ? 【解析】 cos 3 =-cos π-3 =-cos3=-2. ? ?

【答案】 D

3.y=sin

? π? x,x∈?-π,6?的单调增区间为________,单调减区间为_______. ? ?

π 【解析】 在单位圆中,当x由-π到 6 时,sin x由0减小到-1,再由-1增大
? π π? ? π? 1 到2.所以它的单调增区间为?-2,6?,单调减区间为?-π,-2?. ? ? ? ?

【答案】

? π π? ?- , ? ? 2 6?

? π? ?-π,- ? 2? ?

?π ? 1 4.已知cos(π+α)=-2,则sin?2-α?=________. ? ?

1 1 【解析】 cos(π+α)=-cos α=-2,∴cos α=2.
?π ? 又sin?2-α?=cos ? ?

1 α=2.

1 【答案】 2

π 19π 21π 5.计算:sin4· cos 6 · sin 4 . ? π? ? 5 ? π 【解】 原式=sin4· cos?3π+6?· sin?4π+4π? ? ? ? ?
? π? ? π? π =sin4· cos?π+6?· sin?π+4? ? ? ? ?

π? ? π? π? ?-cos ?· ?-sin ? =sin4· 6? ? 4? ?
? 2? 3? 2? ? ?? ? =2· · - - ? ? 2? 2? ? ?? ?

3 =4.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________


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