汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试(6)(理数)

汕头市澄海凤翔中学 2015 届高考模拟考试(6) 数学(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1、设集合 ? ? x y ? lg ? x ? 1? , ? ? y y ? 2 , x ? R ,则 ?
x

?

?

?

?

??(

) D. ? 0, ???

A. ?

B. R

C. ?1, ?? ? )

2、若复数 z 与 2 ? 3i 互为共轭复数,则复数 z 的模 z ? ( A. 13 B. 5 ) C. 7

D. 13

3、下列函数为偶函数的是( A. f ? x ? ? x ?
2

1 x
?x

B. f ? x ? ? log2 x D. f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2

C. f ? x ? ? 4 ? 4
x

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 2 2 4、若 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值是( ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?
A.



2 3 5

B.

2 5 5

C.

4 5

D. 1

5、执行如右图的程序框图,若输出的 S ? 48 ,则输入 k 的值可以是 ( A. 4 6、二项式 ? 2 x ? A. 240 ) B. 6 C. 8 D. 10 ) D. 180

? ?

1? ? 的展开式中,常数项的值是( x2 ?
B. 60

6

C. 192

7、如图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何体的体 积是( A. ) B.

2 3

4 3

C. 2

D. 4

8 、已知集合 S ? ? ? ?? x1 , x2 , x3? , x ? 0,1 ? ,i ? 1, 2, 3,对于 i ?

?

?

? ? ? a1, a2 , a3 ? ,
1

? ? ?b1, b2 , b3 ? ? S ,定义 ? 与 ? 的差为 ? ? ? ? ? a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ? ,定义 ? 与 ?
之间的距离为 d ? ?, ? ? ? ( ) B. d ? ?,C? ? d ? ?,C? ? d ? ?, ?? D. d ? ? ? C, ? ? C? ? d ? ?, ??

? a ?b
i ?1 i

3

i

.对于 ?? , ? , C ? S ,则下列结论中一定成立的是

A. d ? ?,C? ? d ? ?,C? ? d ? ?, ?? C. d ? ? ? C, ? ? C? ? d ? ?, ??

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、不等式 2 x ?1 ? x 的解集是 . . .

10、三个学生、两位老师、三位家长站成一排,则老师站正中间的概率是 11、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且 a3 ? 5 , S3 ? 6 ,则 a7 ?
3

12、已知函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且满足 f ? x ? ? x ? x ? f ? ? 2? ,则函数 f ? x ? 在点

? 2, f ? 2?? 处的切线方程是

. .

13、已知平面向量 a 、 b 满足 2a ? 3b ? 1 ,则 a ? b 的最大值是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 ? 2 2, ? 则切线的极坐标方程是 . 15、 (几何证明选讲选做题)如图, ?? 为

? ?

??

? 作圆 ? ? 4cos ? 的切线, 4?

? 的直径, ? C 切

? 于点 ? ,且 ?C ? 2 2 ,过 C 的割线 C?? 交 ?? 的延长
线于点 D ,若 C? ? ?? ? ?D ,则 ? D 的长等于 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16、 (本小题满分 12 分)函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? , x?R . 3? ?1? 先完成下列表格,然后在给定坐标系中作出函数 f ? x ? 在 ?0, ? ? 上的图象;
2x ?

? ?

??

?
3

?

?
3

0

x
f ? x?

0

? 6

? 2

?
2? 3
?1

3? 2 11? 12

?

1 2

2

? 2? 若 f ? ?

?

?2

?

?? 3

? ?? ? ? ? , ? 2 ? ? ? 0 ,求 sin ? 2? ? ? 的值. 6? 5 4? ?

17、 (本小题满分 12 分) 某校高一年级 60 名学生参加数学竞赛,成绩全部在 40 分

至 100 分之间, 现将成绩分成以下 6 段: ?40,50? ,?50,60? ,?60,70? ,?70,80? ,?80,90? ,

?90,100? ,据此绘制了如图所示的频率分布直方图. ?1? 求成绩在区间 ?80,90? 的频率; ? 2 ? 从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 3 名学 生, 其中成绩在 ?90,100? 内的学生人数为 ? , 求?
的分布列与均值.

18、 (本小题满分 14 分)如图,四棱锥 ? ? ??CD 中,?? ? 底面 ?? CD ,底面 ?? CD 为 梯形, ?? //DC , ???C ? 90 ,且 ?? ? ?? ? ? C ?

?1? 求证: ?D// 平面 ??C ; ? 2 ? 求二面角 ? ? C? ? ? 的余弦值.

1 1 CD , ?? ? ?? . 2 2

19、 (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn , 且 Sn ?

1 an ? 1 ( n ? ? ? ) . 2 ?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;
, 求适合方程 ? 2 ? 设 bn ? log3 ?1? Sn?1 ?( n ? ?? )

1 1 1 25 ? ? ??? ? ? 的正整数 n b1b2 b2b3 bnbn ?1 51

的值.

3

2 20、 (本小题满分 14 分)已知抛物线 C1 : x 2 ? y ,圆 C2 : x ? ? y ? 4 ? ? 1 . 2

?1? 在抛物线 C1 上取点 ? , C2 的圆周上取一点 ? ,求 ?? 的最小值; ? 2 ? 设 ? ? x0 , y0 ? ( 2 ? x0 ? 4 )为抛物线 C1 上的动点,过 ? 作圆 C2 的两条切线,交抛物线
C1 于 ? 、 ? 两点,求 ?? 中点 D 的横坐标的取值范围.
21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x , g ? x ? ? ?

?1? 若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; ? 2 ? 设函数 h ? x? ? f ? x? ? g ? x? ,求函数 h ? x ? 的单调区间; ? 3? 若在 ?1, e?( e ? 2.718 ??? )上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求 a 的取值范围.

1? a (a?R ) . x

4

参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 A 7 B 8 C

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、 ? ??, ? 3

? ?

1? ?

?1, ?? ?

10、

1 28

11、 17

12、 6 x ? y ? 16 ? 0

13、

1 24

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分) 14、 ? sin ? ? ?2 16、解: ?1? 完成表格: π 2x- 3 x f(x) - 0 1 2 π 3 0 π 6 1 π 2 5 π 12 0 15、

4 7 7

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. )

π 2 π 3 -1

3 π 2 11 π 12 0

5 π 3 π 1 2

……………4 分(每列填完整各得 1 分)

图象如图:

……………6 分

? 2?
?

f(

?

?
2

? 3 ? ) ? cos ? ? ……………7 分 2 6 5

?? ? 0

4 ? sin ? ? ? ……………8 分 5 24 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? ……………9 分 25 7 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? ……………10 分 25 ? sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin ……………11 分 4 4 4
5

?

?

?

??

24 2 7 2 17 2 ……………12 分 ? ? (? ) ? ?? 25 2 25 2 50

17、解: ?1? 因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 ,

…………………3 分

? 2 ? 由已知和 ?1? 的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 60 ? 0.1 ? 6 人,
成绩在区间 [90,100] 内的学生有 60 ? 0.005 ? 10 ? 3 人,…………………4 分 依题意,ξ 可能取的值为 0,1,2,3 …………………5 分

则P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?

3 1 C6 C62C3 5 15 ? , P ( ? ? 1) ? ? , 3 3 C9 42 C9 28

1 2 3 C6 C3 C3 3 1 ? , P ( ? ? 3) ? ? ...................9分 3 3 C9 14 C9 84

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

5 42

15 28

3 14

1 84
…………………10 分

则均值 Eξ= 0 ?

5 15 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 42 28 14 84

…………………12 分

18、 ?1? 证明:连结 BD,交 AC 于点 M,连结 EM ∵AB∥DC, AB ? ∴

1 CD 2

BM AB 1 ? ? ……1 分 MD CD 2
BE 1 ? PE 2
…………2 分 ………………3 分 ……4 分

又∵ ∴

BM BE ? MD PE

∴ 在△BPD 中, PD // EM

PD ? 平面AEC , EM ? 平面AEC

∴ PD ∥平面 EAC …………………………5 分

? 2 ? 方法一:以 A 为原点, AB, AP 所在直线分别为 y
轴、 z 轴,如图建立空间直角坐标系… 6 分

6

设 PA ? AB ? BC ? a ,则 A ? 0, 0, 0 ? , B ? 0, a, 0 ? , C ? a, a, 0 ? , P ? 0, 0, a ? ,

? 2a a ? E ? 0, , ? . ? 3 3?


…………… 7 分

n1 ? ( x, y,1) 为平面 EAC 的一个法向量,

?ax ? ay ? 0, ? 则 n1 ? AC , n1 ? AE ,∴ ? 2ay a , ? ? 0. ? 3 ? 3
解得 x ? 设

1 1 1 1 , y ? ? ,∴ n1 ? ( ,? ,1) . 2 2 2 2

……………9 分

n2 ? ( x ' , y ' ,1) 为平面 PBC 的一个法向量,则 n2 ? BC , n2 ? BP ,
?ax ' ? 0,
' ??ay ? a ? 0,

又 BC ? ? a, 0, 0 ? , BP ? (0, ? a, a ) ,∴ ? 解得 x ' ? 0, y ' ? 1 ,∴ n 2 ? (0,1,1)



……………11 分 ……………13 分

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

?

3 . 6

∴二面角 A ? CE ? P 的余弦值为

3 . ……………14 分 6

方法二:在等腰 Rt ?PAB 中,取 PB 中点 N ,连结 AN , 则 AN ? PB …………6 分 ∵面 PAB ⊥面 PCB ,面 PAB ∴ AN ? 平面 PBC . 面 PCB = PB ,

……………7 分

在平面 PBC 内, 过 N 作 NH ? 直线 CE 于 H , 连结 AH , 由 AN ? CE 、 NH ? CE ,得 CE ? 平面 ANH ,故 AH ? CE . ∴ ?AHN 就是二面角 A ? CE ? P 的平面角. 在 Rt ?PBC 中,设 CB ? a , PB ? ……………9 分

1 2 PA2 ? AB 2 ? 2a , BE ? PB ? a, 3 3

NE ?

1 2 11 PB ? a , CE ? CB 2 ? BE 2 ? a ……………10 分 6 6 3

7

由 NH ? CE , EB ? CB 可知: ?NEH ∽ ?CEB , ∴

NH CB , ? NE CE

代入解得: NH ?

a . 22

……………12 分

在 Rt ?AHN 中, AN ? ∴ tan ?AHN ?

2 a, 2
……………13分

1 3 AN . ? ? 11 , cos ?AHN ? NH 11 ? 1 6

∴二面角 A ? CE ? P 的余弦值为

3 . 6

……………14分

19、解: ?1? 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? ∴ sn ? sn ?1 ? 即 an ? ∴ an ?

1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ? ……………………1 分 2 3

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , …………………2 分 2 2

1 ? an?1 ? an ? 2

1 ? an?1 ? an ? 2 1 a n ?1 (n ? 2) 3
…………………………………………5 分

∴ ?an ? 是以 故 an ?

2 1 为首项, 为公比的等比数列.…………………………………6 分 3 3
…………………………………………7 分

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) n (n ? N ? ) 3 3 3
n

1 1? ? 2 ? 1 ? Sn ? an ? ? ? ? 2 ?3?

?1? bn ? log 3 ?1 ? S n ?1 ? ? log 3 ? ? ?3?

n ?1

? ? n ? 1 ……………9 分

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 …………………………………………11 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 …13 分
解方程

1 1 25 ,得 n ? 100 ? ? 2 n ? 2 51

…………………………………………14 分

2 4) 20、解: ?1? 设 M ( x0 ,y0 ) ,则 x0 ? y0 , C2 (0 ,

8

则 | MC2 |?

2 2 2 x0 ? ( y0 ? 4) 2 ? x0 ? ( x0 ? 4) 2 ………………………………………1 分

7 15 15 14 7 4 2 2 ? x0 ? 7 x0 ? 16 ? ( x0 ? )2 ? ,当且仅当 M (? ? , ) 是取等号……3 分 2 4 2 2 2

? | MN | 的最小值为 | MC2 | 的最小值减,为

15 ? 1 ……………………5 分 2

? 2 ? 由题设知,切线与 x 轴不垂直,
2 2 P( x0 ,x0 ) (2 ? x0 ? 4) ,?设切线 l1, 2 : y ? k ( x ? x0 ) ? x0
2 设 A( x1 ,x12 ) ,B ( x2 ,x2 ) , AB 中点 D( x ,y ) ,则 x ?

x1 ? x2 2

2 2 将 l1, 2 与 C1 的方程联立消 y 得 x ? kx ? kx0 ? x0 ? 0

即 ( x ? x0 )[ x ? (k ? x0 )] ? 0 得 x ? x0 (舍)或 x ? k ? x0 设二切线的斜率为 k1 、k2 ,则 x1 ? k1 ? x0 , x2 ? k2 ? x0

? x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2 x0 ………………………………………8 分
又 C2 (0 , 4) 到 l1, 2 的距离为 1,有
2 | kx0 ? x0 ?4|

1? k 2

? 1,
“?” ………………9 分

2 2 2 两边平方得 ( x0 ? 1)k 2 ? 2 x0 (4 ? x0 )k ? ( x0 ? 4) 2 ? 1 ? 0

则 k1 、k2 是 的二根,则 k1 ? k2 ? ? “?”

2 2 x0 (4 ? x0 ) ………………………………10 分 2 x0 ? 1

则 x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2 x0 ?

2 2 x0 ( x0 ? 4) 6x ? 2 x0 ? ? 2 0 2 x0 ? 1 x0 ? 1

?x??

3 x0 3 ……………………………………………………11 分 ?? 2 1 x0 ? 1 x0 ? x0

x0 ? 3 2

1 4] 上为增函数 在 x0 ? [2 , x0 1 15 4 1 2 3 4 ? ,? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ………………13 分 1 x0 4 15 x ? 1 3 5 x0 ? 0 x0 x0

? ? x0 ?

9

? x 的范围是 [?2 , ? ] ……………………………………14 分
21、解: ?1? f ( x) ? x ? a ln x 的定义域为 (0, ??) …………………………1 分 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? 由 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增 所以当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极小值,极小值为 f (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ………………4 分

4 5

1 x ?1 …………………………2 分 ? x x

? 2 ? h( x ) ?

f ( x) ? g ( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,其定义域为 (0, ??) x

又 h '( x) ? 1 ?

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] …………………………5 分 ? 2 ? ? x x x2 x2

①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 x ? (0, ??) 上 h '( x) ? 0 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增…………………………6 分 ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 x ? (0,1 ? a ) 上 h '( x) ? 0 在 x ? (1 ? a, ??) 上 h '( x) ? 0 所以 h( x) 在 (0,1 ? a ) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增……………………7 分 综上所述:当 a ? ?1 时, h( x) 的递减区间为 (0,1 ? a ) ;递增区间为 (1 ? a, ??) 当 a ? ?1 时, h( x) 只有递增区间为 (0, ??) ……………………8 分

? 3? 若在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得
h( x0 ) ? 0 .
则函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在 [1, e] 上的最小值小于零……………………9 分 x

①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时,由 ? 2 ? 可知 h( x) 在 [1, e] 上单调递减 故 h( x) 在 [1, e] 上的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a ? a ? 0 ,可得 a ? e ?1 e

10

因为

e2 ? 1 e2 ? 1 ……………………10 分 ? e ? 1 .所以 a ? e ?1 e ?1

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时,由(2)可知 h( x) 在 [1, e] 上单调递增 故 h( x) 在 [1, e] 上最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 (满足 a ? 0 )……………………11 分 ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,由 ? 2 ? 可知可得 h( x) 在 [1, e] 上最小值为

h(1 ? a ) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a )
因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a ) ? a

? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 ,即 h(1 ? a) ? 2 不满足题意,舍去……………………13 分
综上所述得 a ? ?2 ,或 a ?

e2 ? 1 e ?1

e2 ? 1 ? 实数 a 的取值范围为 (??, ?2) ( , ??) ……………………14 分 e ?1

11


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