高一第7讲 含参不等式的解法与均值不等式(教师)

高一第 7 讲
一、复习与巩固 (一)绝对值不等式: 1、绝对值的意义

不等式(含参)的解法

意义: 在数轴上 a 表示 a 对应的点到原点的距离, a ? b 表示 a 与 b 之间的距离.

? a ( a ? 0) ? 代数表达式为: a ? ? 0( a ? 0) ? ? a ( a ? 0) ?
它的一个重要性质是: a ? b ? a ? b ? a ? b 2、基本绝对值不等式的解法 巧记方法为“小于取中间,大于取两边”. (5 个基本不等式的求解) (1) (3) (4)
x ? a ?a ? 0?

??a ? x ? a ;
? ?c ? ax ? b ? c ;

(2)

x ? a ?a ? 0?

? x ? a或x ? ?a ;

ax ? b ? c ?c ? 0?

ax ? b ? c ?c ? 0?

? ax ? b ? c或ax ? b ? ?c ;
?b ? d ? ? ax 再求二者交集) ax ? b ? c (分别求出每一个不等式的解集,

c ? ax ? b ? d ?c, d ? 0? (5)

3、含多个绝对值不等式的解法 方法 1:利用绝对值的几何意义. 方法 2:利用零点分段进行讨论. (二)一元二次不等式: 1、一元二次不等式的解集与一元二次函数的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0
有两个不等实根

??0
有两个相等实根

??0
无实根

方程 ax ? bx ? c ? 0
2

y
二次函数

y

y

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象

O x1

x2

x

O

x1 ? x2

x

O

x

不等式

ax ? bx ? c ? 0
2

(a ? 0)
的解集 不等式 ax ? bx ? c ? 0
2

?x | x ? x1 或 x ? x2 ?

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

(a ? 0) 的解集

?x | x1 ? x ? x2?

?

?

2 一元二次不等式的解题步骤 (1)先判断二次项系数的正负,若为负,化为正数; (2)判断方程的判别式大于 0 ,等于 0 ,或小于 0 ,解方程; (3)根据方程的根,结合变形后不等号的方向,写出不等式的解集, “大于(号)找两边, 小于(号)找中间”. (三)分式、指数、对数不等式 1.分式不等式 分式不等式的等价变形: 2.指数不等式
f( x ) gx () ;( ; a ? a ? ( 1 ) 当 a ? 1 时 , fx ( ) ? g ( x ) 20 ) 当 ? a ? 1 时 , fx ( ) ? g ( x )

? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) >0 ? f(x)·g(x)>0, ≥0 ? ? 。 g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0

3.对数不等式

log am bn ? a b ? N ? b ? log a N , (a ? 0,b ? 0,

n 1 log a b, log a b ? ) 等, m logb a

? ? g( x) ? 0 ( 1 )当 a? 时, ? ; ( 2 )当 0 时, 1 ? a ? 1 l o g( fx ) ? l o g( g x ) ? a a ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x) ? 0 ? 。 ? ? f ( x ) ? g ( x ) ?
(四)常见含参不等式恒成立的解法: 1、转换主元法 首先确定题目中的主元,化归成初等函数求解。此方法常适用于化为一次函数。 对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有:

? f (m) ? 0 ? f (m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0
2、化归二次函数法 根据题目要求,构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识,求出参数取值范围。

对于一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0, x ? R) 有: (1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 3 分离参数法 在题目中较容易分离出参数, 化成 a ? f ? x( 型恒成立问题, 再利用 m ? f ( x)max ? a ? f ? x ?) ( a ? f ? x ?min ) (转化为求最值问题) ,求出参数范围。有时可避免较复杂的分类讨论 (1) f ( x) ? m 对任意 x ? I 都成立 ? f ( x)min ? m( x ? I ) ; (2) f ( x) ? m 对任意 x ? I 都成立 ? m ? f ( x) max ( x ? I ) 。 4.数型结合法 二、典例分析 1、基本不等式的求解

?x 2 ? 1 ? 0 x?5 ?0 【例 1】 (1)不等式组 ? 2 (2) x ?8 ? x ? 3x ? 0

(3)

x2 ? x ? 6 ? 0; x ?1
2

2 (4) (08 四川) x ? x ? 2

(5) x ? 2 x ? 3 ? 0

(6) 2x ?1 ? x ? 1

答案: x 0 ? x ? 2

?

?

【例 2】已知不等式 ax2 ? x ? b ? 0 的解集是 {x | ?1 ? x ? 2} ,则求 a 、 b 的值

1 1 ?x? 2 3, 【变式 1】 已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解为 2 解不等式 2 x ? bx ? a ? 0 的解。
2

?

【变式 2】若不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 0 ? ? ? x ? ? } , 则 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为( A.{ x|
1 1 <x< ? ?

) B.{ x|-
1

}

?

<x<-

1 ?

}

C.{ x|-

1 1 <x<- } ? ?

D.{ x|

1

?

< x<

1 ?

}

【变式 3】已知 ? 1 ? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 3 ,求 3x ? y 的取值范围。
解: 3x ? y ? 1* ( x ? y) ? 2 * ( x ? y) 根据已知条件: ? 1 ? 1* 2 ? 3x ? y ? 1 ? 2 * 3,1 ? 3x ? y ? 7 所以 3x ? y 的取值范围是 ?1,7? 2、含参不等式的求解
2 2 3 【例 3】解关于 x 的不等式: x ? a ? a x ? a ? 0 。 2 2 解析:原不等式可变为: ? x ? a ? x ? a ? 0 ,所以需要比较 ? x ? a ? x ? a ? 0 的

?

?

?

?

?

?

两根 a 与 a 的大小,从而确定对 a 进行分类讨论的依据。 ① 当 a ? 0 时,解集为 x x ? a, x ? a ② ③
2

2

?; 当 0 ? a ? 1 时,解集为 ? x x ? a , x ? a? ; 当 a ? 1 时,解集为 ? x x ? a, x ? a ? ;
2 2

?

④ 当 a ? 0 时,有 x ? 0 解集为 x x ? ?, x ? 0 ; ⑤ 当 a ? 1 时,有 x ? 1 解集为 x x ? ?, x ? 1 ;

?

?

?

?

【例 4】解不等式: ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0
2

解:当 a ? 0 时,原不等式化为 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 ; 当 a ? 0 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得

2 a

2 ? x?2; a 2 ; a

当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x ? 2或x ?
2 当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2) ? 0 ,得 x ? 2 ;

2 a

当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x ?

2 a

2 或x ? 2 a

?? ? 综合上面各式,得原不等式的解集为: ?? ?? ?

【变式 4】解关于 x 的不等式: 3x ? mx ? m ? 0 。
2

解析: ? m2 ?12m ? m ? m ? 12? ; ①

??0

, 即

m?0



m ? ?12

时 , 原 不 等 式 的 解 集 为

? m ? m2 ? 12m m ? m2 ? 12m ? ? ? ,x ? ?x x ? ?; 6 6 ? ? ? ?
② ? ? 0 ,即 m ? 0 或 m ? ?12 时,原不等式的解集为 ? x x ??, x ? ? ③ ? ? 0 ,即 ?12 ? m ? 0 时,原不等式的解集为 ? ; 3、恒成立问题 【例 5】 当 a 取何值时, 关于 x 的不等式 (a2 ? 4a ? 5) x2 ? 4(a ?1) x ? 3 ? 0 的解为全体实数. 解:当 a ? 4a ? 5 ? 0 时, a ? 1 或 a ? ?5
2

? ?

m? ?; 6?

当 a ? 1 时,原不等式变为 3 ? 0 恒成立,此时解集为 x ? R ; 当 a ? ?5 时,不等式变为 24 x ? 3 ? 0 ,

1 x ? ? ,显然不符合题意,? a ? ?5 8
当 a ? 4a ? 5 ? 0 时,
2

?a 2 ? 4a ? 5 ? 0 由题意 ? ,解得: 1 ? a ? 19 ??0 ?
综上所述: 1 ? a ? 19 【例 6】已知不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1)
2

(1)若对于所有实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围. (2)若对于 m ? [?2, 2] 不等式恒成立,求实数 x 的取值范围.

2 解: (1)原不等式等价于: mx ? 2x ? (1 ?m) ? 0 对 x ? R 成立.

当且仅当 ?

?

m?0

?? ? 4 ? 4m(1 ? m) ? 0



解得 m ? ? .
2 (2)设 f (m) ? ( x ?1)m ? (2 x ?1) ,由于 m ? ? ?2, 2? 时, f (m) ? 0 恒成立.

当且仅当 ?

? f (2) ? 0 , ? f (?2) ? 0

即?

? 2 x2 ? 2 x ?1 ? 0
2 ??2 x ? 2 x ? 3 ? 0



解得:

?1 ? 7 1? 3 ?x? 2 2

即所求的范围为

? 1? 3 ? ? ?1 ? 7 ? ?x? ?x ?. 2 2 ? ? ? ?
【变式 5】已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ? 1? x ? a ,其中 a 为实常数.

(1)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 ; (2)若不等式 f ? x ? ? x ? 2 对任意 x ? 1 恒成立,求 a 的取值范围. 解: f ( x) ? ( x ? a)( x ?1) ? 0 即 ( x ? a)( x ?1) ? 0 ① a ? 1 时,不等式的解集为空集; ② a ? 1 时,不等式的解集为 {x |1 ? x ? a} ; ③ a ? 1 时,不等式的解集为 {x | a ? x ? 1} 。 ⑵
f ( x) ? x ? 2 对 x ? 1 恒成立,即 x2 ? 3x ? 2 ? a( x ?1)

Q x ? 1, x ? 1 ? 0 x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ?a ? ? ? ( x ? 2) x ?1 x ?1 ? a ? ?1
【变式 6】已知,命题甲:函数 f ( x) ? lg(ax2 ? ax ? 1) 的定义域为 (??, ??) ;命题乙:函 数 g ( x) ? lg( x2 ? ax ? 1) 的值域为 (??, ??) ,若甲乙都是正确的,则实数 a 的取值范围为 4、综合运用 1、设函数 f ( x) ? x ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? , f ?
2

?2 ?3

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒 m ? ?

成立,则实数 m 的取值范围是 【答案】D

.

【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。

3 x2 2 2 2 2 依据题意得 2 ? 1 ? 4m ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? 4(m ? 1) 在 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 m
1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2

当 x?

3 3 2 5 1 5 2 时 函 数 y ? ? 2 ? ? 1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 2 ? 4m ? ? , 即 2 x x 3 m 3

(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? 2 2

2 2、不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( )

A.(??, ?1] ?[4, ??)
答案:A

B. ( ? ? , ? 2 ]? [ 5? ,? C ) . [ 1, 2 ] D. ( ? ? , 1] ? [2 ?,? )

3、 (1)若不等式

x ? 1 ? x ?1 ? m

的解集为空集,求 m 的取值范围。

(2)若不等式解集为非空集合,求 m 的取值范围。
x ?1 ? x ? 2 ? m

(3)当实数 m 为何值时,不等式

恒成立?

4、已知 f ( x) ? 32 x ? (k ? 1)3x ? 2 ,当 x ? R 时, f ( x) 恒为正值,则 k 的取值范围是( )

A.(??, ?1)
答案:B

B. ( ??, 2 2 ? 1) C. ( ? 1, 2 ? 2 1) D. ( ?2 2 ? 1, 2 ? 2 1)

2 2 5、 已知 m ? R , 设 x1 和 x2 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两个实根, 不等式 m ? 5m ? 3 ? x1 ? x2

对任意实数 a ?? ?1,1? 恒成立,求 m 的取值范围
2 解:(Ⅰ)由题设 x1 和 x2 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两个实根,得

x1 + x2 = a 且 x1 x2 =-2,
所以, | x1 ? x 2 |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? a 2 ? 8
王新敞
奎屯 新疆

2 当 a ?[-1,1]时, a ? 8 的最大值为 9,即 | x1 ? x2 | ?3

由题意, 不等式 | m2 ? 5m ? 3|?| x1 ? x2 | 对任意实数 a ?[ 式 | m ? 5m ? 3|? 3 的解集 由此不等式得
2
王新敞
奎屯 新疆

1,1]恒成立的 m 的解集等于不等

m2 ? 5m ? 3 ? ?3


① ②

m2 ? 5m ? 3 ? 3

不等式①的解为 0 ? m ? 5 不等式②的解为 m ? 1 或 m ? 6 因为,对 m ? 1 或 0 ? m ? 5 或 m ? 6 时,P 是正确的
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆


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