高中数学 暑期特献 重要知识点 函数极限的运算规则

函数极限的运算规则
前面已经学习了数列极限的运算规则,我们知道数列可作为一类特殊的函数,故函数极 限的运算规则与数列极限的运算规则相似。 ⑴、函数极限的运算规则 若已知 x→x0(或 x→∞)时, 则: .







在求函数的极限时,利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极 限。

例题:求

解答:

例题:求 此题如果像上题那样求解,则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式 的分子和分母都没有极限,像这种情况怎么办呢?下面我们把它解出来。

解答: 注:通过此例题我们可以发现:当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限 的运算规则了,应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形,然后运用规则求之。 函数极限的存在准则

学习函数极限的存在准则之前,我们先来学习一下左、右的概念。 我们先来看一个例子:

例:符号函数为 对于这个分段函数,x 从左趋于 0 和从右趋于 0 时函数极限是不相同的.为此我们定义了 左、右极限的概念。 定义: 如果 x 仅从左侧(x<x0)趋近 x0 时, 函数 当 时的左极限.记: 如果 x 仅从右侧(x>x0)趋近 x0 时,函数 时的右极限.记: 注:只有当 x→x0 时,函数 函数极限的存在准则 准则一:对于点 x0 的某一邻域内的一切 x,x0 点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的 一切 x)有 那末 ≤ ≤ ,且 , 的左、右极限存在且相等,方称 在 x→x0 时有极限 与常量 A 无限接近,则称 A 为函数 当 与常量 A 无限接近, 则称 A 为函数

存在,且等于 A

注:此准则也就是夹逼准则. 准则二:单调有界的函数必有极限. 注:有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限

一: 注:其中 e 为无理数,它的值为:e=2.718281828459045
...

二: 注:在此我们对这两个重要极限不加以证明. 注:我们要牢记这两个重要极限,在今后的解题中会经常用到它们.

例题:求

解答:令

,则 x=-2t,因为 x→∞,故 t→∞,

则 注:解此类型的题时,一定要注意代换后的变量的趋向情况,象 x→∞时,若用 t 代换 1/x,则 t→0. 无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个例子:

已知函数

,当 x→0 时,可知

,我们把这种情况称为

趋向无穷

大。为此我们可定义如下:设有函数 y=

,在 x=x0 的去心邻域内有定义,对于任意给定的

正数 N(一个任意大的数),总可找到正数 δ ,当 时, 记为: 成立,则称函数当 时为无穷大量。

(表示为无穷大量,实际它是没有极限的) 无限趋大的定义:设有函数 y= ,当 x 充分大 时,

同样我们可以给出当 x→∞时,

时有定义,对于任意给定的正数 N(一个任意大的数),总可以找到正数 M,当 成立,则称函数当 x→∞时是无穷大量,记为: 无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量。 定义:设有函数

,对于任意给定的正数 ε (不论它多么小),总存在正数 δ (或正数 (或 当 (或 )的一切 x,所对应的函数值满足不等式

M),使得对于适合不等式
,则称函数 记作:

(或 x→∞)时 为无穷小量. )

注意:无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量,不是常量,只有 0 可作为无穷小量 的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是:前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于 0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的. 关于无穷小量的两个定理 定理一:如果函数 在 ( 或 x→∞)时有极限 A ,则差 是当

(或 x→∞)时的无穷小量,反之亦成立。 定理二:无穷小量的有利运算定理 a):有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量; b):有限个无穷小量的积仍是无穷小量; c):常数与无穷小量的积也是无穷小量. 无穷小量的比较 通过前面的学习我们已经知道,两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无 穷小量的商会是怎样的呢?好!接下来我们就来解决这个问题,这就是我们要学的两个无穷 小量的比较。 定义:设 α ,β 都是 a):如果 b):如果 时的无穷小量,且 β 在 x0 的去心领域内不为零,

,则称 α 是 β 的高阶无穷小或 β 是 α 的低阶无穷小; ,则称 α 和 β 是同阶无穷小;

c):如果

,则称 α 和 β 是等价无穷小,记作:α ∽β (α 与 β 等价)

例:因为 因为 因为

,所以当 x→0 时,x 与 3x 是同阶无穷小; ,所以当 x→0 时,x 是 3x 的高阶无穷小; ,所以当 x→0 时,sinx 与 x 是等价无穷小。
2

等价无穷小的性质



,且

存在,则

.

注:这个性质表明:求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替, 因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。

例题:1.求

解答:当 x→0 时,sinax∽ax,tanbx∽bx,故:

例题: 2.求

解答:

注: 注:从这个例题中我们可以发现,作无穷小变换时,要代换式中的某一项,不能只代换 某个因子。 函数的一重要性质——连续性 在自然界中有许多现象,如气温的变化,植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在 函数关系上的反映,就是函数的连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量 设变量 x 从它的一个初值 x1 变到终值 x2,终值与初值的差 x2-x1 就叫做变量 x 的增量,记 为:△x 即:△x=x2-x1 增量△x 可正可负. 我们再来看一个例子:函数 变到 x0+△x 时,函数 y 相应地从 在点 x0 的邻域内有定义,当自变量 x 在领域内从 x0 变到 ,其对应的增量为:

这个关系式的几何解释如下图: 现在我们可对连续性的概念这样描述:如果当△x 趋向于零时,函数 y 对应的增量△y 也 趋向于零,即: 函数连续性的定义: ,那末就称函数 在点 x0 处连续。

设函数

在点 x0 的某个邻域内有定义, 如果有 的连续点.

称函数

在点 x0 处连续,且称 x0 为函数的

下面我们结合着函数左、 右极限的概念再来学习一下函数左、 右连续的概念: 设函数 在区间(a,b]内有定义,如果左极限 末我们就称函数 存在且等于 存在且等于 ,即: = ,那

在点 b 左连续 . 设函数 , 即: =

在区间 [a,b) 内有定义,如果右极限 , 那末我们就称函数 在点 a 右连续.

一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续,若又在 a 点右连续,b 点左连续, 则在闭区间[a,b]连续,如果在整个定义域内连续,则称为连续函数。 注:一个函数若在定义域内某一点左、右都连续,则称函数在此点连续,否则在此点不 连续. 注:连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。 通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了,同时我们可以想到若函数在某一点要是 不连续会出现什么情形呢?接着我们就来学习这个问题:函数的间断点 函数的间断点 定义:我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情 形: a): 在 x0 无定义;

b): c):

在 x→x0 时无极限; 在 x→x0 时有极限但不等于 ;

下面我们通过例题来学习一下间断点的类型:

例 1: 正切函数



处没有定义,所以点

是函数

的间断

点,因

,我们就称

为函数

的无穷间断点;

例 2:函数

在点 x=0 处没有定义;故当 x→0 时,函数值在-1 与+1 之间变动无

限多次,我们就称点 x=0 叫做函数

的振荡间断点;

例 3: 函数

当 x→0 时, 左极限

, 右极限



从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在,但不相等,故函数在点 x=0 是不存在极限。 我们还可以发现在点 x=0 时,函数值产生跳跃现象,为此我们把这种间断点称为跳跃间断点; 我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:

间断点的分类 我们通常把间断点分成两类:如果 x0 是函数 们把 x0 称为函数 可去间断点 若 x0 是函数 的间断点,但极限 存在,那末 x0 是函数 的第一类间断点。此 ≠ 。我们令 的间断点,且其左、右极限都存在,我

的第一类间断点; 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点.

时函数不连续原因是: ,则可使函数

不存在或者是存在但

在点 x0 处连续,故这种间断点 x0 称为可去间断点。


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