山东省临沂一中2013届高三上学期第二次(12月)阶段检测数学(文)试题

临沂一中 2013 届高三第二次阶段测试 文科数学试题 2012.12.20
一.选择题.(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设集合 A ? ?x | y ? log2 ( x ? 2)?, B ? x | x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ? A ? B

?

?

(

).

? 2, 4 ?

C

? ?2,1?

D

? 4, ?? ?
D 既不充分也不必要条件

2.“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件

3. 若 a ? 1, b ? 2, 且a ? a ? b ,则向量 a , b 的夹角为 A.45° B.60° C.120° D.135°

?? ?

?? ?

?

?

? ?

?

? ?

4.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 ,过点 A(3,5) 的直线被圆所截,则截得的最短弦的长度 为 ( ).

A.2 6

B. 3 6

C .4 6

D. 5 6


3 5.方程 x ? 3 x ? m ? 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是(

A.0

B.-2

C. ?

11 8

D. 1 ).

6.在 ?ABC 中, a, , 分别为角 A, , 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( b c B C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

7.已知 f ( x) ? a x (a ? 1), g( x) ? b x (b ? 1) ,当 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 时,有 x1 ? x2 ,则 a, b 的大小关 系是( A. a ? b ) B. a ? b C. a ? b D. a ? b

8.如图是一个几何体的三视图.若它的表面积为 7? , 则正(主)视图中 a ? A. 1 B. 2 ( C. 3 ). D. 2

9.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且4a1 ,2a2 , a3 成等差数列, 若 a1 ? 1 ,则 S 4 等于( A.7 B.8 C.15 )
第 7 题

D.16



10.已知 m, n 是两条直线, ? , ? 是两个平面,给出下列命题:①若 n ? ? , n ? ? ,则

? // ? ;

② 若 平 面 ? 上 有 不 共 线 的 三 点 到 平 面 ? 的 距 离 相 等 , 则 ? // ? ; ③ 若 n, m 为 异 面 直 线

n ? ? , n / / ? ,m? ? ,m / / ,则 ? // ? .其中正确命题的个数是 ( ?
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个

).

11. 已 知 函 数 f (x ) 是 定 义 在 (? ?, ? ?)上 的 奇 函 数 , 若 对 于 任 意 的 实 数 x ? 0 , 都 有

f ( x ? 2) ? f ( x) , 且 当 x ? ?0,2? 时 , f ( x) ? log2 ( x ? 1) , 则 f (?2 0 1 1 ? f (2 0 1 2 的 值 为 ) )
( ) A. -1 B. -2 C. 2 D. 1

12.如图, F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,以坐标原点 O 为圆心, a2 b2

OF1 为半径的圆与该双曲线左 支交于 A 、 B 两点,若△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心
率为 ( ). B.2 C. 3 ? 1 D. 1 ? 3

A. 3

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? ?2 ,则实数 a 的值为
2

14.已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) ? ______________. 5 4 4 4

15.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中

得分的方差为_________.

0 8 9 1 0 3 5

?y ?1 ? 16.若实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1,如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?2 ,则实数 m=_________. ?x ? y ? m ?

三.解答题.(共 74 分) 17.(本题满分 12 分) 已知向量 m=(sinωx+cosωx, 3cosωx), n=(cosωx-sinωx,2sinωx), 其中 ω>0, π 函数 f(x)=m· n,若 f(x)相邻两对称轴间的距离为 . 2 (1)求 ω 的值,并求 f(x)的最大值及相应 x 的集合; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 所对的边,△ABC 的面积 S=5 3,b=4,f(A)=1,求 边 a 的长.

18. (本题满分 12 分)某高级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 373 377 高二年级 高三年级

x
370

y
z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (3)已知 y ? 245, z ? 245,求高三年级中女生比男生多的概率.

19.(本题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4, AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求证:AD⊥PC; (2)求三棱锥 P-ADE 的体积; (3)在线段 AC 上是否存在一点 M,使得 PA//平面 EDM,若存在,求出 AM 的长;若不存在,请 说明理由.

20.(本题满分 12 分)已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点, 等比数列 {an } 的 前 n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足

1 3

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ( n ? 2 ).
(1) 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

1000 Tn ? 1 2012 的最小正整数 n 是多少? . (2) 若数列{ } 前 n 项和为 Tn ,问 bn bn ?1

21.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 1 x 2 ? a ln x(a ? R) . 2 (1)若 f (x ) 在 x ? 2 时取得极值,求 a 的值; (2)求 f (x ) 的单调区间; (3)求证:当 x ? 1 时,

1 2 2 x ? ln x ? x 3 2 3

22.( 本 题 满 分 13 分 ) 已 知 椭 圆 C 的 中 心 在 坐 标 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 , 离 心 率 e ?

3 .直线 2

l : x ? 2 y ? 2 ? 0 与椭圆 C 相交于 E、F 两点, 且 EF ? 5 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P(?2, 0) , A 、 B 为椭圆 C 上的动点,当 PA ? PB 时,求证:直线 AB 恒过一个定点.并求 出该定点的坐标.

临沂一中 2013 届高三第二次阶段考试(文数)参考答案
1-5 13. B C A C A 6-10
3 22

2012.20

D C D C B 6.8

11-12 16. 8

A D

1 8

14.

15.

17. (1) f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2 3sinωxcosωx π =cos2ωx+ 3sin2ωx=2sin?2ωx+6?....................2 分 ? ? 由题意可得 T=π,∴ ω=1.................................3 分 π ∴ f(x)=2sin?2x+6?..............................................4 分 ? ? π π π π 当 sin?2x+6?=1 时,f(x)有最大值 2,∴ 2x+ =2kπ+ ,∴ x=kπ+ (k∈ Z)..................5 分 ? ? 6 2 6 π ∴ 的集合为{x|x= +kπ,k∈ x Z}................................6 分 6 π π 1 π 5π (2)f(A)=2sin?2A+6?=1∴ ?2A+6?= 0<A<π,∴ sin? 2A+ = ......................8 分 ? ? ? 2 6 6 π 1 π ∴ A= ,S= bcsin =5 3,∴ c=5..........................10 分 3 2 3 π 由余弦定理得:a2=16+25-2× 5cos =21,∴ 4× a= 21.........................12 分 3 18. 解: (1)∵

x ? 0.19 2000

?

x ? 380 ..........2 分

(2)初三年级人数为 y+z=2000-373-377-380-370)=500..............4 分 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为: 名.............................................................6 分 (3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z) ; 由(2)知 y ? z ? 500 ,且

48 ? 500 ? 12 2000

y , z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有: (245,255)(246, 、

254)(247,253) 、 、??(255,245)共 11 个.............................8 分 事件 A 包含的基本事件有: (251,249)(252,248)(253,247) 、 、 、(254,246)、(255,245) 共

5 个 ............................................10 分

? P( A) ?

5 11 .......................................12 分

19(1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD. 所以 PD⊥AD. 又因为 ABCD 是矩形, 所以 AD⊥CD.??????????????2 分 因为 PD ? CD ? D, 所以 AD⊥平面 PCD. 又因为 PC ? 平面 PCD, 所以 AD⊥PC.????????????4 分 (2)解:因为 AD⊥平面 PCD, VP-ADE=VA-PDE,?????????????6 分 所以 AD 是三棱锥 A—PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 所以 S ?PDE ? 又 AD=2, 所以 V A? PDE ?

1 1 ?1 ? S ?PDC ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4. 2 2 ?2 ?

1 1 8 AD ? S ?PDE ? ? 2 ? 4 ? . ????????????8 分 3 3 3

(3)取 AC 中点 M,连结 EM、DM, 因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点, 所以 EM//PA, 又因为 EM ? 平面 EDM,PA ? 平面 EDM, 所以 PA//平面 EDM.??????????????????????10 分 所以 AM ?

1 AC ? 5. 2

即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA//平面 EDM,AM 的长为 5 .???12 分

1 ?1? 20.(1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3 ? ................1 分 1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2? ? c? ? ? f ?1? ? c? ? ? , ? ? ? ? 9 3 2 ..................2 分 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ...........3 分 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? a3 ? 2 3 3 27

x

又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*

..................4 分

Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1 ......................................5 分 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n

Sn ? 1? ? n ?1? ?1 ? n , Sn ? n2

当 n ? 2 , bn ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? ? n ?1? ? 2n ?1
2

又 b1 ? c ? 1满足 ?bn ? 2n ?1 ( n ? N )...............................6 分
*

(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? ? ? ?K ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ?1) ? ? 2n ? 1? 8 分
n 1000 1000 1000 ? n? Tn ? 2n ? 1 2012 得 12 ,满足 2012 的最小正整数为 84........12 分
a ? 0 ,?a ? 4 ...................2 分 2



Tn ?

21 解: ∵ f (x ) 在 x ? 2 时取得极值,? 2 ? 此时 f ?( x) ? x ?

4 x 2 ? 4 ( x ? 2)( x ? 2) ? ? . Q f ( x) 的定义域是 {x | x ? 0} , x x x

? 当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 . ? 当 a ? 4 时, x ? 2 是 f (x ) 的极小值点,?a ? 4 .........................4 分
(2) Q f ?( x) ? x ?

a 且 f ( x ) 的定义域是 {x | x ? 0} ................6 分 x

当 a ? 0 时, f (x ) 的单调递增区间为 (0, ?? ) ..................7 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? 令 f ?( x) ? 0 有 x ?

a x 2 ? a ( x ? a )( x ? a ) , ? ? x x x

a ,? 函数 f (x) 的单调递增区间为 ( a ,?? ) ;

令 f ?( x) ? 0 有 0 ? x ? a ,? 函数 f (x ) 的单调递减区间为 (0, a ) ...........8 分 (3)设 g ( x) ?

1 2 3 1 2 x ? x ? ln x , g ?( x) ? 2 x 2 ? x ? ,..............9 分 x 3 2
( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ? 0 ....................10 分 x

Q 当 x ? 1 时, g ?( x) ?

? g (x ) 在 (1,?? ) 上是增函数,? g ( x) ? g (1) ?

1 ? 0 ...................12 分 6

1 2 ? 当 x ? 1 时, x 2 ? ln x ? x3 .........13 分 2 3
22.解:(1)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0), E( x1, y1 ) F ( x2 , y2 ) a 2 b2

e?

c 3 ? a 2

令 a ? 2t , c ? 3t 则 b ? t

?

x2 y 2 ? ? 1 ????2分 4t 2 t 2

由?

? x 2 ? 4 y 2 ? 4t 2 得: 2 y2 ? 2 y ?1 ? t 2 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0
?t 2 ? 1 2

???????????? 4 分

? ? 4 ? 4 ? 2(1? t 2 ) ? 0
EF ? 1 ?

1 1? t2 y1 ? y2 ? 1 ? 4 1 ? 4 ? ? 5 k2 2

?t 2 ? 1

x2 ? y2 ? 1 椭圆 C 的方程是: 4

?????????????? 7 分

(2) 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 AB : y ? kx ? m

A( x1, y1 ) B( x2 , y2 )

? x 2 ? 4 y 2 ? 4t 2 得 (1? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ?1) ? 0 ? y ? kx ? m ? ??? ??? ? ? PA?PB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? (2 ? km)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 4
4(m2 ? 1) ?8km ? (2 ? km) ? m2 ? 4 ? 0 ? (1 ? k ) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

???????? 10 分

?12k 2 ? 5m2 ? 16km ? 0
当m ?



(6k ? 5m)(2k ? m) ? 0 ? m ?

6 k 或m ? 2k 5

6 6 6 k 时, AB : y ? kx ? k 恒过定点 ( ? , 0) 5 5 5

当 m ? 2k 时, AB : y ? kx ? 2k 恒过定点 ( ?2, 0) ,不符合题意舍去 ? 12 分 当直线 l 垂直于 x 轴时,若直线 AB: x ? ?

6 4 B( ? , ) 5 5

? ? ?? ? ? ?? 4 4 4 ? P A P ? , ? ?) ( ? B ( 5 5 5

6 5

则 AB 与椭圆C相交于 A(? , ? ) ,

6 5

4 5

4 4 4 , ? 2 ( ?) ? ( ) 5 5 5

4 )? ( 5

)

0

? PA ? PB ,满足题意
综上可知,直线 AB 恒过定点,且定点坐标为 ( ?

6 , 0) ?????? 13 分 5


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