人教A版高中数学必修四课件:2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算4_图文

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 [读教材·填要点] 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个 互相垂直 的向量,叫做把向量正 交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示: 在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量 i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基 本定理知,有且只有一对实数x,y使得a= xi+yj ,则把有序 数对 (x,y) 叫做向量a的坐标.记作 a=(x,y) ,此式叫做向 量的坐标表示. (2)在直角坐标平面中,i= (1,0) ,j= (0,1) ,0= (0,0) . 3.平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 实数与向 量的积 向量的 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (x1+x2, y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2) .即两个向量和 (差)的坐标分别等于这两个向量 相应坐标 的和(差) ) 若a=(x,y),λ∈R,则λa= (λx,λy ,即实数与 向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 已知向量 AB 的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则 AB = (x2-x1,y2-y1) ,即向量的坐标等于表示此 坐标 向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 [小问题·大思维] 1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 提示:与x轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0);与y 轴平行的向量的横坐标为0,即b=(0,y). 2.已知向量 OM =(-1,-2),M点的坐标与 OM 的 坐标有什么关系? 提示:坐标相同但写法不同;OM =(-1,-2),而 M(-1,-2). 3.在基底确定的条件下,给定一个向量.它的坐标是 唯一的一对实数,给定一对实数,它表示的向量是否唯一? 提示:不唯一,以这对实数为坐标的向量有无穷多个, 这些向量都是相等向量. 4.向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化吗? 提示:不发生变化.向量确定以后,它的坐标就被唯一 确定,所以向量在平移前后,其坐标不变. [例 1] [研一题] 已知边长为 1 的正方形 ABCD 中, AB 与 x 轴正半轴成 30° 角.求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标. [自主解答] 圆的交点. 由题知 B, D 分别是 30° ,120° 角的终边与单位 设 B(x1,y1),D(x2,y2). 由三角函数的定义,得 3 1 x1=cos 30° = ,y1=sin 30° = , 2 2 ? ∴B? ? ? 3 1? ? , ?. 2 2? 1 x2=cos 120° =- , 2 3 y2=sin 120° = , 2 ? 1 ∴D? ?-2, ? ? ∴ AB =? ? ? 3? ? . 2? ? ? 1 3 1? 3? ? ? ? , ?, AD =?- , ?. 2 2? 2? ? 2 [悟一法] 向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的 具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.因此,求向量 a的坐标,关键是正确求出其起点和终点的坐标. [通一类] 1.已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,|OA |=4 3, ∠xOA=60° , (1)求向量 OA 的坐标; (2)若 B( 3,-1),求 BA 的坐标. 解:(1)设点 A(x,y),则 x=4 3cos 60° =2 3, y=4 3sin 60° =6,即 A(2 3,6), OA =(2 3,6). (2) BA =(2 3,6)-( 3,-1)=( 3,7). [研一题] [例 2] 如图所示,已知△ABC,A(7,8), B(3,5),C(4,3),M,N,D 分别是 AB,AC, BC 的中点,且 MN 与 AD 交于点 F,求 DF 的坐标. [自主解答] ∵A(7,8),B(3,5),C(4,3), ∴ AB =(3-7,5-8)=(-4,-3), AC =(4-7,3-8)=(-3,-5). 又∵D 是 BC 的中点, 1 1 ∴ AD = ( AB + AC )= (-4-3,-3-5) 2 2 1 7 = (-7,-8)=(- ,-4). 2 2 ∵M, N 分别为 AB,AC 的中点,∴F 为 AD 的中点. 1 1 7 7 ∴ DF =- FD =- AD =- (- ,-4)=( ,2). 2 2 2 4 [悟一法] 1.向量的几种运算体系: (1)向量有三种运算体系,即几何表示下的图形上的几 何运算,字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算. (2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四 边形法则;字母表示时,注意运算律的应用;坐标运算时 要牢记公式,细心计算. 2.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则 进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的 坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算 法则. [通一类] 2.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 ( 1 3 A.- a+ b 2 2 3 1 B. a- b 2 2 ) 3 1 1 3 D.- a+ b C. a- b 2 2 2 2 解析:由题意,设 c=xa+yb,∴(-1,2)=x(1,1)+y(1,- 1) =(x+y,x-y), ? 1 x= , ? ? - 1 = x + y , 2 ? ∴? ∴? ? ?2=x-y, ?y=-3, 2 ? 1 3 ∴c= a- b. 2 2 答案:B [研一题] [例 3] 象限? (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗?若能,求出 t 值;若不 能,说明理由. 已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 OP = OA +t AB . (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?

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