新人教版必修四高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件_图文


第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习导航 学习目标 掌握 实例 ― ― → 平面向量数量积的坐标表示 理解 用平面向量坐标形式求 ― ― → 数量积、模、夹角 重点难点 重点:用两个向量的坐标来解决与向量的 模、夹角、垂直有关的问题. 难点:掌握数量积、求模公式、距离公式、夹角公式、 向量垂直与平行的等价形式. 新知初探思维启动 1.向量数量积的坐标表示 已 知 两 个 非 零 向 量 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 a· b= x1x2+y1y2 , 即 两 个 向 量 的 数 量 积 等 于 _______________ 它们对应坐标的乘积的和. _________________________ 做一做 1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),则a·b=________. 解析:a·b=1×2+2×3=8. 答案:8 2.平面向量数量积坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标表示 x +y 若 a= (x, y),则 |a|2=________ ,或 |a|= (2)两向量平行、垂直的坐标表示 设 a= (x1, y1), b= (x2,y2),则 2 2 x2+ y2. x1y2-x2y1=0 a∥b?___________________ ; 1 2 1 2 a⊥b?____________________. x x +y y =0 (3)两向量夹角的余弦公式 设 a, b 是两个非零向量,a= (x1, y1), b= (x2,y2), θ x1x2+ y1y2 2 2 2 x2 + y x + y 1 1 2 2 是 a 与 b 的夹角,则 cos θ= _______________. 做一做 2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k),若a⊥b,则k=________. 答案:5 3.设向量 a=(0,2),b= ( 3,1),则 a 与 b 的夹角等 于 ________. π 答案: 3 典题例证技法归纳 题型探究 题型一 数量积的坐标运算 例1 已知向量a与b同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求向量a的坐标; (2)若c=(2,-1),求(b· c)· a. 【解】 (1)∵向量a与b同向,且b=(1,2), ∴设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ)(λ>0), 由a·b=10,得1·λ+2·2λ =10, 解得λ=2>0,符合a与b同向的条件, ∴λ=2,a=(2,4). (2)∵b=(1,2),c=(2,-1), ∴b·c=1×2+2×(-1)=0, ∴(b·c)·a=0. 【名师点评】 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则 和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示, 直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依 据已知计算. 跟踪训练 1.已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c). 解:(1)法一:∵a=(-1,2),b=(3,2), ∴a-b=(-4,0). ∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0) =(-1)×(-4)+2×0=4. 法二:a·(a-b)=a2-a·b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-

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