新人教版必修四高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课件_图文

2 .4 .2 平面向量数量积的 坐 标表 示﹑模﹑夹角 北 A 45° 东 B 复习引入 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运 算,那么怎样用 a和b 的坐标表示a ? b呢? 新课学习 1、平面向量数量积的坐标表示 j 如图,是 i x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量, y 因为 a ? b ? a ? b cos ? 所以 j ? j ?1 . j 1. i ?i ? o i ? j ? j ?i ?0 . i x 下面研究怎样用 设两个非零向量 则 a和b 的坐标表示a ? b. a = (x1 , y1 ), b = (x2 , y2 ) a ? x1 i ? y1 j 2 b ? x2 i ? y2 j , B(x2,y2) b y A(x1,y1) a i a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? y1 y2 j 2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? x1 x2 ? y1 y2 j o x 故两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和。即 y A(x ,y ) 1 1 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 根据平面向量数量积的 B(x2,y2) b j a i o 坐标表示,向量的数量积的运算可 转化为向量的坐标运算。 x 2、向量的模和两点间的距离公式 (1) a ? a ? a 2 或a ? a ? a; (1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a 2 ? x ? y ,或 a ? 2 2 x ? y ; 2 2 (2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y 2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y 2 ) 2 2 3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ?b ? 0 设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (2)平行 4、两向量夹角公式的坐标运算 则 cos ? ? a ?b a b 设a与b 的夹角为?( 0 ? ? ? ? 180 ), ? 设a ? (x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ? ? ? 2 1 2 1 2 2 x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? 2 1 2 1 2 2 x ?y 2 2 2 2 . 其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0. 三、基本技能的形成与巩固 例1 (1)已知a ? ( ?1,2 ? 3 ), b ? (1,1), 求a ? b , a ? b, a与b 的夹角? . 解: a ? b ? 1 ? 3,  a ? b ? 2 4 ? 2 3 ? 2(1 ? 3) 1     cos ? ? ? ,   0 ? ? ? 180 ,   ?? ? 60 . a?b 2 a ?b (2)已知a ? (2,3), b ? ( ?2,4), 则(a ? b ) ( ? a?b ) ? . 法一: a ? b ? (0,7), a ? b ? ( 4,?1) ? (a ? b )

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