高考针对艺术生——综合测试卷及答案(八份)


惠州市艺术类考生数学综合测试卷(一)
第一部分
有一项是符合题目要求的. 1.定义 A ? B ? ?x | x ? A, 且x ? B? ,若 A ? ?1,3,5,7,9? , B ? ?2,3,5? ,则 A ? B = A. A 2.复数 B. B C. ?1,2,7,9? D. ?1,7,9?

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

2 的值为 1? i

A.

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2

C. 1 ? i

D. 1 ? i

3.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 A.40 B.42 C.43 D.45

4.给出下列四个函数:① f ( x) ? x ? 1 ,② f ( x) ? 中在 (0, ??) 是增函数的有 A.0 个 B.1 个 C.2 个

1 ,③ f ( x) ? x2 ,④ f ( x) ? sin x ,其 x

D.3 个

? y ≥ x, ? 5.设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值 ? x ≥ ?2. ?
A. ?2 B. ? 4 C. ?6 D. ? 8

x ?1 ? ?2e , x<2, 则f ( f (2))的值为 6. f ( x) ? ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.

A.0

B.1

C.2

D .3

7.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面 的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学 生 A.30 人,30 人,30 人 C.20 人,30 人,40 人 B.30 人,45 人,15 人 D.30 人,50 人,10 人

8.已知 a、b为直线, ?,?,? 为平面,有下列四个命 题:
1

① a // ?,b // ?,则a // b ③ a // ?,a // ?,则? // ? 其中正确命题的个数是 A.0 B.1

② ? ? ?,? ? ?,则? // ? ④ a // b,b ? ?,则a // ?

C.2

D.3

9.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于 A.1 B. ?

1 3

C. ?

2 3

D. ? 2

10.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1的右焦点重合,则 p 的值为 3
D.

A.4

B.2

C. 2

2 2

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分, 满分 20 分. 11.函数 f ( x) ?

x?4 的定义域为_________ _. x ?5

n ? 5, s ? t ? 1

否 12.据右流程图可得 s=

,t=



n ? 2?


t ? 2n

输出 s , t

13.已知向量 c ? (2 x ? 1, 4), d ? (2 ? x,3) , 若 c ∥ d ,则实数 x 的值为
?

s ? s ?t
n ? n ?1

?



▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第 14 题的得分.
F

14.如右图 AB是圆O的直径, EF切圆O于C, AD ? EF于D,
D

C

AD ? 2, AB ? 6, 则 AC长为___________.
15.在极坐标系中,若 A(3,?

E A O B

?

2 ), B(1, ? ) ,则 A,B 两点的距离为 3 3



2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 将一枚骰子(六个面上分别标以数字 1, 2,3, 4,5,6). 先后抛掷两次,记第一次出现的点 数为x,第二次出现的点数为y, (1)求事件“x+y≤3”的概率; (2)求事件“∣x-y∣=2”的概率。

17.(本小题满分 l4 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? sin 2 x ? 1, x ? R. (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并求出此时 x 的集合

3

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得 极值 ? 2 , (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 的极值。

19. (本小题满分 14 分) 如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱侧棱 长为 1,底面边长为 2,E 是棱 BC 的中点。 (1)求证: BD1 // 平面 C1 DE ; (2)求三棱锥 D ? D1 BC 的体积.

D1 A1 D B1

C1

C E B

A

4

20. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a3 ? 5, S15 ? 225 (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)设 bn ? 2 n ? 2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
a

21. (本小题满分 14 分) 已知,圆 C: x 2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 . (1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程.

5

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(二)
第一部分
有一项是符合题目要求的.

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

1.设集合 M ? ?x | x( x ? 1) ? 0? ,N= x | x 2 ? 4 ,则. A、 M ? N ? ? B、 M ? N ? M C、 M ? N ? M D、 M ? N ? R

?

?

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 2.设 P 是双曲线 4 9 | PF1 |? 3 ,则 | PF2 |? A 、1 或 5 B .6 C.7 D.9 i ?1 3.在复平面内,复数 对应的点位于 i A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ? 4. "tan ? ? 1" 是 "? ? " 的。 4 A. 充分而不必要条件 B. 必要不而充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ? x 2 ? 1 ( x ? 0) ? 5..已知函数 f ( x) = ? ,则 f ( f (?1)) ? . ( x ? 0) ?? 2 x ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
4 12 7.在△ABC 中,sinA= ,cosB= ? ,则 cosC 等于 5 13 56 16 56 16 A. B. ? C. 或 ? 65 65 65 65

D. ?

33 65

8.已知下列命题(其中 a , b 为直线, ? 为平面): ① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线, 则这条直线与这个平面垂直; ② 若一条直线平行于一个平面, 则垂直于这条直线的直线必垂直于这个面; ③ 若 a // ? , b ? ? ,则 a ? b ; ④ 若 a ? b ,则过 b 有唯一一个平面 ? 与 a 垂直. 上述四个命题中,真命题是. A.①,② B.②,③
6

C.②,④

D.③,④

9.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的 径叶图如图,则以下说法正确的是 A.甲总体得分比乙好,且甲比乙稳定; B.甲总体得分比乙好,但乙比甲稳定; C.乙总体得分比甲好,且乙比甲稳定; D.乙总体得分比甲好,但甲比乙稳定。 10.曲线 f ( x) ? x ln x 在点 x ? 1 处的切线方程为 A. y ? 2 x ? 2 C. y ? x ? 1 第二部分 B. y ? 2 x ? 2 D. y ? x ? 1 非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组频数和频率分别 为 36 和 0.25,则 n =__________.
2, ? 1) 关于面 xOy 的对称 12.在空间直角坐标系 O---xyz 中,点 A(1,

开始

k=10 , s=1
是 否

点 B 的坐标为



13.若右图框图所给程序运行的结果为 S=90,那么 判断框中应填入的关于 k 的判断条件是 K 小于 数) (填自然

s=s× k k=k-1

输出 s 结束

▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第 14 题的得分.

?? ? 14.极坐标方程 ? cos ? ? ? ? ? 1 的直角坐标方程是 6? ?

.

15. 已 知 ⊙ O 的 割 线 PAB 交 ⊙ O 于 A,B 两 点 , 割 线 PCD 经 过 圆 心 , 若 PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O 的半径为_______________

7

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=1+ 3 sinxcosx+cos2x,x ? R.(I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R) 的图象经过怎样的变换得到?

17.已知函数是定义在 R 上的偶函数, 已知 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x (1)画出函数的图象; (2)写出函数 f ( x) 的单调区间、值域。

18.把一颗骰子抛掷两次,第一次出现的点数记为 a ,第二次出现的点数记为 b .

?ax ? by ? 3 (1)求 a,b 分别为何值时,方程组 ? 有无解; ?x ? 2 y ? 2

8

?ax ? by ? 3 (2)求方程组 ? 只有一组解的概率。 ?x ? 2 y ? 2

19. (本小题满分 14 分) 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, E 、 F、 O 分别是

AA1 , CC1 , BD 的中点,
(1)求证: BD ? 平面A1OF ; (2)求证:平面 BDF∥平面 B1D1E .

9

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上, 长轴长为 4, 离心率为 (1)求椭圆 E 的标准方程;

3 . 2

(2)已知点 A(0,1) 和直线 l : y ? x ? m ,线段 AB 是椭圆 E 的一条弦且直线 l 垂直 平分弦 AB,求实数 m 的值.

21. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? pn2 ? 2n ? q( p, q ? R) ,n∈N, (Ⅰ)求 a1, an ,q 的值; (Ⅱ)若 a1 与 a5 的等差中项为 18,bn 满足 an ? 2log 2 bn ,求数 列的{bn}前 n 项和.

10

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(三)
第一部分
有一项是符合题目要求的. 1、 (1 ? i )(1 ? 2i ) ? 1? i A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i 2、 集合 M= {x| | x ? 3 |? 4 } , N= {y| y ? A.{0} B.{2} ( ) D. 2 ? i ( )

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

C. 2 ? i

x ? 2 ? 2 ? x }, 则 M ? N =
C. ?

D.{ x | 2 ? x ? 7} ( ) D.4 ( )

3、已知 a 、 b 均为单位何量,它们的夹角为 60°,那么| a + 3 b | = A. 7
2

B. 10

C. 13

4、函数 y ? x ? 2 x 的定义域为 ?0,1,2,3? ,那么其值域为 A.?? 1,0,3? B.?0,1,2,3? C. y ? 1 ? y ? 3

?

?

D. y 0 ? y ? 3

?

?

5、已知下列命题(其中 a , b 为直线, ? 为平面): ① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线, 则这条直线与这个平面垂直; ② 若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平 面; ③ 若 a // ? , b ? ? ,则 a ? b ; ④ 若 a ? b ,则过 b 有唯一一个平面 ? 与 a 垂直. 上述四个命题中,真命题是( A.①,②
3 2

). C.②,④ D.③,④
)

B.②,③

6、函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = ( A.2 B.3 C.4 D.5
4

7、已知一个几何体的三视图如图所示, 则这个几 何体的体积为 ( )
2

2

8 A. 3

B .4

C .8

D .16
主 视 图 4 2 2 左 视 图

俯 视 图

11

8、采用系统抽样的方法,从个体数为 1003 的总体中抽取一个容量为 50 的样本,在整个抽 样过程中每个个体被抽到的概率是 ( ) A. 1
1000
2

B. 1
1003

C. 50
1003

D. 1
20

9、不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?

1 1 , ) ,则 a+b 的值是 2 3

(

) ( )

A.10 B.-10 C.14 D.-14 10、已知函数 f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 f(2)=4,则 f( ? 1)= A. ? 2 B. 1 C. 0.5 D. 2

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分, 满分 20 分. 11、等差数列 {an} 的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为 。 2 2 12、设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x -2y =1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该 椭圆的方程是 。
开始

13、运行右面算法流程,若 x 输入 2 时,输出 y 的值为 _________________ 。
输入 x



x ? ?1



y ? 3? x



x?3



y ? x2

y ? x ?1

输出

y

选做题:考生请注意:以下二个小题为选做题,在 以下给出的二道题中选择其中一道作答,二题都选 只计算第一题得分.

? 2? 14、极坐标系中,两点 A (3, ) 与 B (4, ) 间的距离为____________ ; 6 3
15、已知:如图,PT 切⊙O 于点 T,PA 交⊙O 于 A、B 两点且与 直径 CT 交于点 D,CD=3,AD=4, BD=6, DT ? _________; PB=_____________.
A C D O· B P

结束

T

12

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16、 (本题满分 12 分)
b ? (  cos x ? sin x,?2 sin x)   , 且f ( x) ? a ? b   . 已知 a ? (cos x ? sin x, sin x),  
?? ?? ?? ??

(1)求 f ( x) 的解析式,并用 f ( x) ? A sin(wx ? ? ) 的形式表示; (6 分) (2)求方程 f ( x) =1 的解. (6 分)

17、 (本题满分 12 分)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目, 其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙两人依次各抽一题。 ① 甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?(6 分) ② 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?(6 分)

13

18、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数的单调区间(7 分). (2)求函数 f ( x) 的极值(7 分).

1 3 x ? x 2 ? 3x . 3

19、 (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AB、BC 的 中点。 (Ⅰ)试判截面 MNC1A1 的形状,并说明理由; (Ⅱ)证明:平面 MNB1⊥平面 BDD1B1。

14

20、 (本小题满分 14 分)已知实数 a, b, c 满足条件 3(a2 ? b2 ) ? 4c2 (a ? b ? c ? 0) . (1)求证:直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1交于不同的两点 P, Q ; (2) 求弦 PQ 的长.

21、 (本小题满分 14 分)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S4=44,S7=35 (1)求数列{a n }的通项公式与前 n 项和公式; (2)求数列 {| a n |} 的前 n 项和 Tn。

15

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(四)
第一部分
有一项是符合题目要求的. 1. 集合 {a, b} 的子集的个数有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

2.复数 (1 ? i)2 的虚部为

A . -2

B .2

C . ? 2i

D . 2i

3.下列函数中,定义域为[0,∞]的函数是 A. y ?

x

B. y ? ?2 x 2 D. y ? ( x ? 1)2

C. y ? 3 x ? 1

4.在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a5 ? 8 ,则 S 8 ? A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 5. 若向量a ? (2,1), b ? (3, x), 若(2a ? b) ? b, 则x的值为 A. 3 B. ?1或3 C. -1 D. 3或 ? 1 6. 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图 如右图所示,时速在 [50, 60) 的汽车大约有
0.04 频 率 组 距

A . 30 辆

B . 40 辆

C . 60 辆

D .80 辆

0.03 0.02 0.01

3 ?? ? 7.已知 ? ? ? , ? ? ,sin ? ? , 则 tan ? = 5 ?2 ?
(A) ?

3 4

(B) ?

4 3
2

3 (C) 4
2

4 (D) 3

40 50 60 70 80

时 速

8.直线 3x ? 4 y ? 14 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 的位置关系是 (A)相交且直线过圆心 (C)相交但直线不过圆心 (B)相切 (D)相离

9.设EF是两条异面线段AB、CD的公垂线,当线段AB绕着直线EF在空间旋转并与EF保持垂直 时,下列三个命题正确的个数是 ①直线AB与直线CD所成角的大小不变. ②直线AB与直线CD的距离不变. ③以A、B、C、D为顶点的四面体的体积不变. A.0 B.1 C.2 D.3

16

10.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是

? ) 6 ? C. y ? cos(4 x ? ) 3
A. y ? sin( x ? 第二部分

B. y ? sin(2 x ?

?
6

)

D. y ? cos(2 x ?

?
6

)

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分, 满分 20 分. 11. 不等式 lg( x ? 1) ? 0 的解集是_____________. 12.在边长为 1 的等边△ ABC 中, 设 BC ? a, CA ? b, AB ? c ,则a ? b ? b ? c ? c ? a ? _____________ 13.下面是一个算法的流程图,回答下面的问题: 当输入的值为 3 时,输出的结果为

开始

输入 x

N

x<5 Y y=x2-1

y=2x2+2

输出 S

第 13 题

结束

▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第 14 题的得分. 14.把参数方程 ?

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数)化为普通方程是 ? y ? sin 2?
D E A

.
F C

15. AB是圆O的直径, EF切圆O于C, AD ? EF于D,

AD ? 2, AB ? 6, 则 AC长为___________.

O

B

17

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA =

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

17. (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a3 ? 5, S3 ? 9 . (Ⅰ)求首项 a1 和公差 d 的值; (Ⅱ)若 Sn ? 100 ,求 n 的值.

18

18. (本小题满分 14 分) 同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的正方体), 两颗骰子向上的点数之和记为 ? . (Ⅰ)求 ? ? 5 的概率 P ?? ? 5? ; (Ⅱ)求 ? ? 5 的概率 P ?? ? 5? .

P

19.(本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,

F

PA ? 平面 ABCD , 点 F 为 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: PA // 平面 BDF ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC .
B

A D

C

19

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的图象与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点(1,-11) .学 (Ⅰ)求 a,b 的值;学科网 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值.

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 (?2 2, 0) 、 F2 (2 2, 0) ,长轴长为 6, 设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点。 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 求 ?OAB 的面积。

20

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(五)
一、选择题:(本大题 10 题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目条件的.) 1. 已知 i 是虚数单位, 复数 ?1 ? i ? ?
2

A. 2i

B. - 2i

C. 2 ? 2i

D. 2 ? 2i

2. 已知 m ?R, 向量 a ? ? m,1? ,若 a ? 2 ,则 m ? A. 1 B.

3

C. ?1

D. ? 3

3. 函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?R? 的最小正周期是 A.

? 2

B.

?

C. 2?

D. 3?

、 B 是 U 的子集,则阴影 4. 如图 1 所示, U 是全集, A 部分所表示的集合是
A. A C. A

B B

B. B D. A

?? A?
U

?? B ?
U

5. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A.

5 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

6. 如图 2 所示的算法流程图中(注:“ A ? 1 ”也可写成“ A :? 1 ”或“ A ? 1 ” ,均表示赋值 语句),第 3 个输出的数是 A.1 C. 2 B.

3 2 5 D. 2

7. 某市 A 、 B 、 C 三个区共有高中学生 20000 人, 其中 A 区高中学生 7000 人,现采用分层抽样的 方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为 600 人的样本进行学习兴趣调查,则 A 区应抽取 A. 200 人 B. 205 人 C. 210 人 D. 215 人 8. 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 上单调递增的是 A. y ? x C. y ?
3

图2

B. y ? cos x D. y ? ln x

1 x2

21

9. 如果一个几何体的三视图如图 3 所示(单位长度:cm) , 则此几何体的表面积是 A.

?80 ? 16 2 ? cm
2

2

B.

?96 ? 16 2 ? cm
2

2

C. 96 cm

D. 112 cm

图3

10. 如图 4 所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai ?i ? 1,2,3,4? ,此四边 形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若 则

a1 a2 a3 a4 ? ? ? ?k, 1 2 3 4

? ? ih ? ?
i ?1 i

4

2S .类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 k

Si ?i ? 1,2,3,4? , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记
为 Hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若 A.
4 S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K , 则 ? ? iH i ? ? 1 2 3 4 i ?1

4V K

B.

3V K

C.

2V K

D.

V K

图4

二、填空题:本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题,14~15 题是选做题.每小题 5 分, 满分 20 分. 11.命题“若 m ? 0, 则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆命题是
2



12. 双曲线的中心在坐标原点,离心率等于 2, 一个焦点的坐标为 ?2,0? ,则此双曲线的方 程是 .

? x ? y ? 2 ? 0, ? 13.不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所确定的平面区域记为 D .若点 ? x, y ? 是区域 D 上的点, ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
则 2 x ? y 的最大值是 ; 若圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 上的所有点都在区域 D

上,则圆 O 的面积的最大值是 ▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两道都选的只计算第 14 题的得分. 14. 如图 5 所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,

CD ? 4, BD ? 8 ,则圆 O 的半径等于



15. 在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是 .
22

?

?

图5

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16.(本小题满分 12 分) 已知点 A(2,0)、B(0,2)、C (cos? , sin ? ) , O 为坐标原点,且 0 ? ? ? ? . (1)若 | OA ? OC |? 7 ,求 OB 与 OC 的夹角; (2)若 AC ? BC ,求 tan ? 的值.

17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? 4 ( x ? 0) 。 x

(Ⅰ)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [3,??) 上恒大于 0,求 a 的取值范围

23

18.(本小题满分 14 分) 如图 6 所示,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

AB ? BC ? 1, BB1 ? 2 ,连结 A1C 、 BD .
(Ⅰ)求证: AC ? BD ; 1 (Ⅱ)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 某 物 流 公 司 购 买 了 一 块 长 AM ? 30 米 , 宽 AN ? 20 米 的 矩 形 地 块 N AMPN , 规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库, 其余地方为道路和停车场, 要求顶点 C 在地块对角线 MN 上,B 、D 分别在边 AM 、 AN 上, 假设 AB 长 D 度为 x 米. (1)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米, AB 长度应在什么范围 A 内? (2)若规划建设的仓库是高度与 AB 长度相同的长方体形建筑,问 AB 长度 为多少时仓库的库容最大?(墙体及楼板所占空间忽略不计)

P C

B 第 19 题图

M

24

20.(本小题满分 14 分) 已知方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0(m ? R) 。 (1) 若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2) 若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M , N 两点,且 OM ? ON (O 为坐标原点) , 求 m 的值; (3) 在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程。

21.(本小题满分 14 分) 已知在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? ?1 ,且 an?1 ? 2an ? 3(n ? N*) . (Ⅰ)求证:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 cn ? an ? 2n(n ? N*) ,求和: Sn ? c1 ? c2 ? c3 ????? cn (n ? N*) .

25

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(六)
一、选择题:(本大题 10 题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目条件的.) 1.设集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 10} , B ? {x ? R | x2 ? x ? 6 ? 0} ,则 A A. { 2 } B. { 3 } C. {?3, 2}

B?(
D. {?2,3}

)

2 2 2.原命题:“设 a, b, c ? R ,若 a ? b ,则 ac ? bc ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,

真命题的个数是( A. 0 3.若复数 z ? A. ?

) B. 1 C. 2 D.4

4 3

2?i y ? x ? yi ,x,y ? R ,则 ? ( ) 2?i x 3 3 B. C. ? 4 4

D.

4 3
( )

4.已知双曲线

4 x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 2 3 a 16
B.

A.

3 2

4 3

C.

5 4

D.

5 3
( )

5.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3 , a ? b ? 13 ,则 b 等于 A.5
2

B.4

C.3

D.1 ( )

6. 命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

D. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

7.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A, B 两变量的线性相 关性作试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与 残差平方和,则试验具有更强的线性相关性的同学是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁



乙 0.78 115

丙 0.69 124

丁 0.85 103

r

0.82 106

m

8. 在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的面积 介于 25cm2 与 49 cm2 之间的概率为 ( A. ) C.
2

2 5

B.
2

4 5

1 5
(

D. )

3 10

9.过坐标原点且与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 相切的直线方程为

26

A. y ?

3 x 4

B. y ? ?

3 x 4

C. y ?

3 x或x ?0 4

D. y ? ?

3 x或 x ? 0 4

10. 对于函数 f ( x) ? lg x 定义域中任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 有如下结论: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ (

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) )< .上述结论中正确结论的序号是 ? 0; ④f ( 1 2 2 x1 ? x2
) A.② B. ② ③ C. ② ③ ④ D. ① ② ③ ④

二、填空题: (本大题 5 题,其中第 11、12、13 为必做题,第 14、15 题为选做题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 11.等差数列 {an } 中, S10 ? 120 ,那么 a3 ? a8 ? __________ 12.已知 tan ? ? 2 ,则

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

13.设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时,

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是
选做题:考生请注意:以下二个小题为选做题,在以下给出的二道题中选择其中一道作答, 二题都选只计算第一题得分.

t ? ? x?2? 2 14.设直线参数方程为 ? ( t 为参数) ,则它的斜截式方程为 __ _________ 3 ?y ? 3 ? t 2 ? 15.如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作 D 圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD ,垂足为 D ,则 ?DAC ?

C
B

A

O
14 题 (2)

l

27

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16. (本题满分 12 分) a 是常数), y ? m ? n . (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ,并化成 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的形式; (2)若 f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值,并求 f ( x) 取得最大值时对应 x 的取值集合. 已知 m ? (1 ? cos 2 x,1) , n ? (1, 3sin 2x ? a) ( x ? R, a ? R ,

E 为棱 CC1 的中点. 17.(本题满分 12 分)正方体 ABCD - A1B1C1D1 , AA 1 ?2,
(1) 求证: B1D1 ? AE ; (2) 求三棱锥 A - BDE 的体积.
D1
C1

A1

B1
D

E

C
B

A

28

18.(本题满分 14 分)已知 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b(a ? 0) 在区间 ? ?2,1? 上最大值是 5,最小 值是 ?11 ,求 f ( x ) 的解析式.

19.(本题满分 14 分) 某单位要在甲、乙、丙、丁 4 人中安排 2 人分别担任周六、周日的值 班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排一人) . (1)共有多少种安排方法? (2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少? (3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少?

29

20. (本题满分 14 分) 已知数列{ an }满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2 n (n ? 2, 且n ? N * ) (1)求证:数列{

an }是等差数列; 2n

(2)求数列{ an }的通项公式;

(3)设数列{ an }的前 n 项之和 S n ,求证:

Sn ? 2n ? 3 . 2n

x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 ) 的 两 个 焦 点 是 F1 (?c , 0) 和 2 a 2 F2 (c , 0) ( c ? 0 ),且椭圆 C 与圆 x ? y 2 ? c 2 有公共点. (1)求 a 的取值范围;
21 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 椭 圆 C : (2)设 a 取最小值,直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 )与椭圆 C 交于不同的两点 M 、N ,线段 MN 的垂直平分线恒过点 A(0 , ?1) ,求实数 m 的取值范围.

30

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(七)
一、选择题:(本大题 10 题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目条件的.) 1.设集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 10} , B ? {x ? R | x2 ? x ? 6 ? 0} ,则 A A. { 2 } B. { 3 } C. {?3, 2}

B?(
D. {?2,3}

)

2 2 2.原命题:“设 a, b, c ? R ,若 a ? b ,则 ac ? bc ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,

真命题的个数是( A. 0 3.若复数 z ? A. ?

) B. 1 C. 2 D.4

4 3

2?i y ? x ? yi ,x,y ? R ,则 ? ( ) 2?i x 3 3 B. C. ? 4 4

D.

4 3
( )

4.已知双曲线

4 x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 2 3 a 16
B.

A.

3 2

4 3

C.

5 4

D.

5 3
( )

5.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3 , a ? b ? 13 ,则 b 等于 A.5
2

B.4

C.3

D.1 ( )

6. 命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

D. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

7.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A, B 两变量的线性相 关性作试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与 残差平方和,则试验具有更强的线性相关性的同学是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁



乙 0.78 115

丙 0.69 124

丁 0.85 103

r

0.82 106

m

8. 在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的面积 介于 25cm2 与 49 cm2 之间的概率为 ( A. ) C.
2

2 5

B.
2

4 5

1 5
(

D. )

3 10

9.过坐标原点且与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 相切的直线方程为

31

A. y ?

3 x 4

B. y ? ?

3 x 4

C. y ?

3 x或x ?0 4

D. y ? ?

3 x或 x ? 0 4

10. 对于函数 f ( x) ? lg x 定义域中任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 有如下结论: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ (

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) )< .上述结论中正确结论的序号是 ? 0; ④f ( 1 2 2 x1 ? x2
) A.② B. ② ③ C. ② ③ ④ D. ① ② ③ ④

二、填空题: (本大题 5 题,其中第 11、12、13 为必做题,第 14、15 题为选做题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 11.等差数列 {an } 中, S10 ? 120 ,那么 a3 ? a8 ? __________ 12.已知 tan ? ? 2 ,则

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

13.设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时,

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是
选做题:考生请注意:以下二个小题为选做题,在以下给出的二道题中选择其中一道作答, 二题都选只计算第一题得分.

t ? ? x?2? 2 14.设直线参数方程为 ? ( t 为参数) ,则它的斜截式方程为 __ _________ 3 ?y ? 3 ? t 2 ? 15.如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作 D 圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD ,垂足为 D ,则 ?DAC ?

C
B

A

O
14 题 (2)

l

32

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16. (本题满分 12 分) a 是常数), y ? m ? n . (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ,并化成 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的形式; (2)若 f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值,并求 f ( x) 取得最大值时对应 x 的取值集合. 已知 m ? (1 ? cos 2 x,1) , n ? (1, 3sin 2x ? a) ( x ? R, a ? R ,

E 为棱 CC1 的中点. 17.(本题满分 12 分)正方体 ABCD - A1B1C1D1 , AA 1 ?2,
(1) 求证: B1D1 ? AE ; (2) 求三棱锥 A - BDE 的体积.
D1
C1

A1

B1
D

E

C
B

A

33

18.(本题满分 14 分)已知 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b(a ? 0) 在区间 ? ?2,1? 上最大值是 5,最小 值是 ?11 ,求 f ( x ) 的解析式.

19.(本题满分 14 分) 某单位要在甲、乙、丙、丁 4 人中安排 2 人分别担任周六、周日的值 班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排一人) . (1)共有多少种安排方法? (2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少? (3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少?

34

20. (本题满分 14 分) 已知数列{ an }满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2 n (n ? 2, 且n ? N * ) (1)求证:数列{

an }是等差数列; 2n

(2)求数列{ an }的通项公式;

(3)设数列{ an }的前 n 项之和 S n ,求证:

Sn ? 2n ? 3 . 2n

x2 2 21 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 椭 圆 C : 2 ? y ? 1 ( a ? 0 ) 的 两 个 焦 点 是 F1 (?c , 0) 和 a 2 F2 (c , 0) ( c ? 0 ),且椭圆 C 与圆 x ? y 2 ? c 2 有公共点. (1)求 a 的取值范围;
(2)设 a 取最小值,直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 )与椭圆 C 交于不同的两点 M 、N ,线段 MN 的垂直平分线恒过点 A(0 , ?1) ,求实数 m 的取值范围.

35

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(八)
第一部分 选择题(共 50 分)
1 2
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请将所选答案的序号填在答题卡指定位置上,填在别处不给分。 1.已知集合 A={ y | y ? log2 x, x ? 1 }, B={ y | y ? ( ) , x ? 1 },则 A∩B=(
x

) D. ?

A. { y | 0 ? y ? 1 }

B. { y | 0 ? y ?

1 } 2

C.{ y | ) C. 24

1 ? y ? 1} 2

2.在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a5 ? 8 ,则 S 8 ? ( A. 8 B. 16

D. 32

? x ? R,使 tan x ? 1,命题 q: 3.已知命题 p: x2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集是 {x |1 ? x ? 2} ,下
列结论: ①命题“ p ? q ”是真命题; ②命题“ p ? ?q ”是假命题; ③命题“ ? p ? q ”是真命题; ④命题“ ? p ? ? q ”是假命题 其中正确的是( A.②③ 4.若 ) B.①②④ C.①③④ D.①②③④ ( )

cos 2? sin(? ?

?
4

?? )

2 , 则 cos? ? sin ? 的值为 2

A. ?

7 2
3

B. ?

1 2

C.

1 2


D.

7 2

, 3) 处的切线的倾斜角为( 5.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1
A.30° B.45° C.60°

D.120°

6.先后投掷两枚骰子,则向上的点数之和为 5 的概率 P 1 与向上的点数之和为 6 的概率 P 2的 大小关系为( A. P 1 ? P 2 ) B. P 1 ? P 2 C. P 1 ? P 2 D.无法确定

2 2 7.圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 5 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 9 ? 0 的最大距离与最小距离的差为

( A.



3

B. 2 3

C. 3 3

D.6

8.为确保信息安全,信息在传送需加密,发送方由明文 ?密文加密,接收方由密文 ? 明文 (解密) ,已知加密规则为明文 a,b,c,d,对应密文 a ? 2b,2b ? 3c,3c ? 4d ,5d 。当 接收方收到密文 7,24,38,25 时,到解密接收到的明文为(
36



A.3,1,5,6

B.1,3,6,5

C.6,5,1,3

D.5,3,1,6

9.定义 A ? B, B ? C , C ? D, D ? A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么 下图中的(A) 、 (B)所对应的运算结果可能是

(1)

(2)

(3)

(4) B. B ? D, A ? C

(A)

(B) C. B ? C , A ? D

A. B ? D, A ? D D. C ? D, A ? D

10..若函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考 数据如下:

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

f (1.375) ? ?0.260
3 2

f (1.4375 ) ? 0.162

f (1.40625 ) ? ?0.054
) D.1.5

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1 )为( A.1.2 B.1.3 C.1.4

第二部分
1 i ? 的值是 1? i 2
2

非选择题(共 100 分)
15 题是选做题,考生

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分。 11.复数 ;

12. 圆 x ? y ? 2x ? 3 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的距离
2



13 . 点 函 数 y ? loga ?x ? 3? ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

; ;

14. 在极坐标系中, 点 ?1,0 ? 到直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 2 的距离为

E
A

D

C
B

15.如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的 切线 l ,则点 A 到直线 l 的距离 AD 为 .

O

l

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应在指定的区域内写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题 12 分)己知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ? x ?
2

? ?

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? .求: 8? 8? 8? ? ?

37

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)函数 f ( x ) 的单调增区间. 17.(本小题 12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? 2(n ? N*, n ? 2) (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 (n ? N ) , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Sn 。 an an ?1

18. (本小题 14 分)如图是一个几何体的三视图,其中正视图与左视图都是全等的腰为 3 的等腰三角形,俯视图是边长为 2 的正方形, (1)画出该几何体; (2)求此几何体的表面积 与体积.

正视图

左视图

俯视图

38

19.(本小题满分 14 分) 惠州丽日购物广场拟在五一节举行抽奖活动,规则是:从装有编为 0,1,2,3 四个小 球的抽奖箱中同时抽出两个小球, 两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖, 等于 4 中二等奖, 等于 3 中三等奖。 (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率。

20.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? x 2 ?

a x

( x ? 0 ,常数 a ? R ) .

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由;
? ? ) 上为增函数,求 a 的取值范围. (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? [ 2,

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 (?2 2, 0) 、 F2 (2 2, 0) ,长轴长为 6, 设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点。 (3) 求椭圆的标准方程; (4) 求 ?OAB 的面积。

39

数学综合测试卷(一)
参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题,共 50 分) 1、 简解:由定义, A ? B ? {1,7,9} ,故选 D

2、 简解:

2 2(1 ? i ) 2(1 ? i) ? ? ? 1 ? i ,故选 D 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 1 ? i 2
∴公差 d ? 3 .

3、 简解:∵等差数列 ?an ? 中 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13

∴ a4 ? a5 ? a6 ? 3a1 ? 3d ? 4d ? 5d = 3a1 ? 12d =42.故选 B。 4、 简解;增函数的有①③两个,故选 C.
x=-2 (-2,2) 1 y=x 1 y= x 3 2 (-2,-2) 1 1 y= x- z 3 3 x+2y=2

5、 简解:画出可行域与目标函数如上图可知,目标函数在点(-2,2)取最小值-8。故 选 D. 6、 简解:

f (2) ? log3 (22 ? 1) ? log3 3 ? 1 ,? f ( f (2)) ? f (1) ? 2e1?1 ? 2e0 ? 2 ?1 ? 2 ,

故选 C 7、 简解:分层抽样就是按比例抽样,比例为 2:3:1,样本容量为 90,抽取学生样本分别 为 30 人,45 人,15 人,故选 B. 8、 简解:①直线 a , b 还有可能异面或相交; ②平面 ? , ? 还有可能相交; ③平面 ? , ? 还有可能相交; ④要注意直线 a 可能在平面 ? 内. 故选 A

a ?1 ? 2 ?1 ? 0 ? a ? ?2 ,故选 D。 9、 简解:两直线垂直 ? A 1A 2 ?B 1B2 ? 0 ,即
10、简解:双曲线的右焦点为(2,0) ,所以

P =2,所以P=4,故选 A 2

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分) 11.简解:由 ?

?x ? 4 ? 0 x?4 解得 x ? 4且x ? 5 ,所以函数 f ( x) ? 的定义域 x ?5 ?x ? 5 ? 0

为{x| x ? 4且x ? 5 }
40

t ? 25 ? 32, 12、简解: n ? 5时, s ? 1 ? 32 ? 33, n ? 5 ? 1 ? 4;

t ? 24 ? 1 6 , t ? 23 ? 8 , n ? 4时, s ? 3 3? 1 ? 6 4 9 , n ? 3时, s ? 4 9? 8 ? 57, n ? 4 ? 1? 3 ; n ? 3 ? 1? 2 ;

n ? 2时,条件不成立,执行输出指令。 可得s= 57 ,t=8 。
13、简解:由 c ∥ d 可得 (2 x ? 1) ? 3 ? 4 ? (2 ? x) ? 0 ? 10 x ? 5 ? x ? 14、简解:连结 AC、BC,
D C
?

?

1 2

F

AB是圆O的直径, EF切圆O于C, AD ? EF于D,
∴?ABC ? ?ACD, ?ADC ? ?ACB ? 900 ∴△ADC∽△ACB,∴

E A O B

AD AC ? ? AC 2 ? 12 ? AC ? 2 3 AC AB

15、简解:A,B两点的平面直角坐标为(

3 1 3 3 3 ,- ), ( - , ) ,由平面两 2 2 2 2

点的距离公式得 d =

3 1 3 3 3 2 ( -( - ))2 ? ((? )? ) =4 2 2 2 2

三、解答题(共 6 小题,共 80 分 16.(本小题满分 l2 分) 解:设(x,y)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子包括: (1,1) , (1,2) , (1, 3) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , ?, (6,4) , (6,5) , (6,6) ,共36个事件。 (1)设 A 表示事件“x+y≤3”则A的结果有(1,1) , (1,2) , (2,1) 3种, ∴P(A)=

3 1 = 36 12 1 。 12

答:事件“x+y≤3”的概率为

(2)设 B 表示事件“∣x-y∣=2” , 则B的结果有(1,3) , (2,4) , (3, 1) , (3,5) , (4,2) , (4,6) , (5,3) , (6,4) ,共8个事件 ∴P(B)=

8 2 ? 36 9 2 。 9

答:事件“∣x-y∣=2”的概 率为 17.(本小题满分 l4 分)

解: (1) f ( x) ? 2sin 2 x ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? (1 ? 2sin 2 x) ? sin 2 x ? cos2 x

41

= 2 sin(2 x ?

?
4

)

∴ f ( x) 的最小正周期是 ? . (2)当 2 x ?

3? (k ? Z ) 时, f ( x) 的最大值为 2 . 4 2 8 3? 即 f ( x) 取得最大值 2 时 x 的集合为 {x | x ? k? ? , k ? Z} 8 ? 2k? ? , 即x ? k? ?

?

?

18.(本小题满分 l2 分) 解:(1)∵ f ( x) 为 R 上的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) , 即 ? ax ? cx ? d ? ?ax ? cx ? d ,∴d=0.
3 3

∴ f ( x) ? ax ? cx , f ' ( x) ? 3ax ? c .
3 2

∵当 x=1 时, f ( x) 取得极值 ? 2 .

∴?

? f ' (1) ? 0 ? f (1) ? ?2
3

∴?

?3a ? c ? 0 ?a ? c ? ?2
2

解得: ?

?a ? 1 . ?c ? ?3

∴ f ( x) ? x ? 3x , f ' ( x) ? 3x ? 3 , 令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,则 ? 1 ? x ? 1 . ∴ f ( x) 的单调递增区间为 (??,?1) 和 (1,??) ,单调递减区间为 (?1,1) . (2)由(1)知, f ( x) ? x ? 3x
3

当x变化时, f ( x) 的变化情况如下表: x f(x)

(??, ?1)


-1

(?1,1)


1

(1, ??)


2

?2

∴ f ( x) 在 R 上的极大值 M ? f (?1) ? 2 ,

f ( x) 在 R 上的极小值 m ? f (1) ? ?2 。
19.(本小题满分 l4 分) (1)证明:连接 D1C 交 DC1 于 F,连结 EF ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱 ∴四边形 DCC1D1 为矩形 ∴F 为 D1C 中点. 在△CD1B 中, ∵E 为 BC 中点, ∴EF//BD1 又∵BD1 ? 面 C1DE,
42

D1 A1 D B1

C1

C E B

A

EF ? 面 C1DE, ∴ BD1 // 平面 C1 DE . (2)解:连结 BD, VD?D1BC ? VD1 ?DBC , ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱, ∴D1D⊥面 DBC. ∵DC=BC=2,

1 ? 2? 2 ? 2. 2 1 1 2 VD1 ? DBC ? ? S ?BCD ? D1 D ? ? 2 ? 1 ? . 3 3 3 2 ∴三棱锥 D ? D1 BC 的体积为 . 3
∴ S ?BCD ? 20.(本小题满分 l4 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 首项为 a1 ,公差为 d,由题意,得

?a1 ? 2d ? 5 ? ? 15 ?14 15a1 ? d ? 225 ? ? 2
解得 ?

? a1 ? 1 ?d ? 2

∴ an ? 2n ? 1 (Ⅱ) bn ? 2
an

? 2n ?

1 n ? 4 ? 2n , 2

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

?
=

1 (4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) 2

4 n ?1 ? 4 ? n2 ? n 6
2 n 2 ? 4 ? n2 ? n ? 3 3
2 2 2 2

?

21.(本小题满分 l4 分) 解:将圆 C 的方程 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,所以 圆的圆心为(0 , 4) ,半径为 2.

43

(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 d ? r ? 化简得 16a ? 12 ? 0 解得 a ? ?

| 4 ? 2a | a ?1
2

? 2 ? (4 ? 2a)2 ? 4(a 2 ? 1)

3 . 4

(2)根据题意,圆心 C(0 , 4)到直线 l 的距离 d ?

| 4 ? 2a | a2 ? 1

又由弦长和圆的性质可知; d 2 ? (

AB 2 4 ? 2a 2 2 2 2 ) ? r2 ? ( ) ?( ) ? 22 2 2 2 a ?1

化简得 (4 ? 2a)2 ? 2(a2 ? 1) ? 2(a2 ? 8a ? 7) ? 0 解得 a ? ?7, a ? ?1 . ∴ 直线 l 的方程是 7 x ? y ? 14 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 .

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(二) 参考答案
1.B 解:1 、由 x( x ? 1) ? 0 得   0 ? x ? 1;   由x 2 ? 4 得 ? 2 ? x ? 2 ∴ M ? N ? M ,   选B 2.C 解:双曲线
x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,故 a ? 2 9 a2

又 P 是双曲线上一点,故 || PF1 | ? | PF2 ||? 4 ,而 | PF1 |? 3 ,则 | PF2 |? 7 3.A 解:
i ?1 i ?1 ? 1 ? i 所以 在第一象限故选 A i i

4.B 解: 若 "tan ? ? 1" , 则 ? ? k? ? ∴ "tan ? ? 1" 是 "? ? 5.D 解: 6. D

?

?
4

4

, α 不一定等于

? ? ; 而若 "? ? " 则 tanα=1, 4 4

" 的必要不而充分条件,选 B.

f (?1) ? ?2 ? (?1) ? 2,? f ( f (?1)) ? f (2) ? 22 ? 1 ? 5 ,选 D
7(a1 ? a7 ) ? 35 ,由等差数列的性质可知 2a4 ? a1 ? a7 所以 2

解:因为 s7 ?

a4 ? 5

44

12 ,∴B 是钝角,∴C 就是锐角,即 cosC>0,故选 A 13 8. D 提示:① 应将“无数”改为“所有”才对; ② 结果有三种情况:平行,垂直,斜交;故选 D 9. B 从径叶图可知乙的数据比甲集中 ,所以乙比甲稳定, 乙的平均数比甲的平 均数大,所以乙总体得分比甲好

7. .A

[解析]:∵ cosB= ?

10.C 解:

y ' ? ( x ln x) ' ? x 'ln x ? x(ln x) ' ? ln x ? 1,?切线的斜率为 y ' |x?1 ? 1

而切点为(1,0) ,由直线的点斜式得 y ? x ? 1 故选 C 11. 144 [解析]: n ? 12. (1,2,1) 13.
k ? 9或者k ? 8 都可以
36 ? 144 0.25

14. 3x ? y ? 2 ? 0

?? 3 1 3 1 ? 因为 ? cos ?? ? ? ? ? cos? ? ? sin? ? x ? y ? 1, 6? 2 2 2 2 ?

整理即得 3x ? y ? 2 ? 0 . 15. R=2 解得 R=2 16.解:解: (I)f(x)=1+ 3 sinxcosx+cos2x,
3 1 3 s i n x? 2 c x? o s 2 2 2 2 ? 3 ? s i nx ( ?2 ? ) . 6 2 ?
? f ( x) 的最小正周期 T ?

解: 设圆的半径为 R,由 PA ? PB ? PC ? PD 得 3 ? (3 ? 4) ? (5 ? R)(5 ? R)

由题意得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? ? ?. 2 ? 2 k? ?

?
2

6

,k ? Z, 即

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
? 个单位长度,得到 12 ? 3 y ? sin(2 x ? ) 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度,就得 6 2
(II)方法一: 先把 y ? sin 2x 图象上所有点向左平移
45

? 3 到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 6 2
方 法二:把 y ? sin 2 x 图象上所有的点按向 量 a ? (?
y ? sin(2 x?

3 ) ? 的图象。 6 2 17.(1)略(2)由图得函数 f ( x) 的递减区间是 (??, ?1), (0,1) ;值域是 [?1, ??) a 1 18、解: (1) 当且仅当 ? 时方程组有无解; b 2 a 1 ? 的情况有三种: a ? 1, b ? 2 ; a ? 2, b ? 4 ; a ? 3, b ? 6 . b 2 a 1 (2) 当且仅当 ? 时方程组只有一组解;由(1)可知: b 2 a 1 ? 的情况有三种: a ? 1, b ? 2 ; a ? 2, b ? 4 ; a ? 3, b ? 6 . b 2 而投掷两次的所有情况有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2)…, (5,6) , (6,6)共 36 种. 3 11 ? . 所以方程组只有一组解的概率 P ? 1 ? 36 12

?

, ) 平移,就得到 12 2

? 3

19.解:(1)如图 1 , 连结 A1B, A1D, OF ,

?A1 AD ? ?A1 AB,? A1D ? A1B ??A1BD是等腰三角形, 又 O是BD的中点,? AO ? BD 1
同理得 OF ? BD, 而AO OF ? O 1 所以 BD ? 平面A1OF (2) 取 DD1 的中点 P,连结 EP, PC1 , 则 EP // A1D1 // B1C1 且 EP ? A1D1 ? B1C1 所以四边形 EPC1B1 为平行四边形, 所以 EB1 // PC1
46

图1

而 PD // C1F , PD ? C1F ? 1 ,所以四边形 C1PDF 平行四边形,所以 PC1 // DF 所以 EB1 // DF ,又因为 EB1 ? 平面BDF , DF ? 平面BDF ,所以 EB1 // 平面BDF 因为 B1D1 // BD, B1D1 ? 平面BDF , BD ? 平面BDF , 所以B1D1 // 平面BDF 而 B1D1

EB1 ? B1 ,所以平面 BDF∥平面 B1D1E ;
x2 ? y2 ? 1 ; 4

20.解: (1)

(2)由条件可得直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 1 .于是,有
? y ? ?x ?1 8 3 ? 2 ? 5 x 2 ? 8 x ? 0 ? xB ? , yB ? ? xB ? 1 ? ? . ?x 2 5 5 ? ? y ?1 ?4

设弦 AB 的中点为 M ,则由中点坐标公式得 xM ? , yM ? ,由此及点 M 在 直线 l 得
1 4 3 ? ?m?m?? . 5 5 5

4 5

1 5

21.(Ⅰ)解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pn ? p ? 2 .

?an ? 是等差数列,
? p ?2? q ? 2p ? p ? 2 , ?q ? 0

(Ⅱ)解:? a3 ?

a1 ? a5 2

? a3 ? 18 .
又 a3 ? 6 p ? p ? 2 ,
? 6 p ? p ? 2 ? 18 ,

?p ?4

47

?an ? 8n ? 6 又 an ? 2log2 b n 得 bn ? 24n?3 .
?b1 ? 2 ,

bn?1 24( n?1)?1 ? 4n?3 ? 24 ? 16 ,即 ?bn ? 是等比数列. bn 2
2(1 ? 16n ) 2 ? (16n ? 1) 1 ? 16 15

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(三) 答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1、 解: (1 ? i)(1 ? 2i) ? (1 ? i) (1 ? 2i) ? 2 ? i 1? i (1 ? i)(1 ? i) 答案:C 2、 解:M={x| | x ? 3 |? 4 }= {x | ?1 ? x ? 7} , 对于 N={ y | y ? 所以 N= {0} 答案:A 3、解:已知 a 、 b 均为单位何量,它们的夹角为 60°,那么 a ? b = ∴| a + 3 b |2= a ? 6a ? b ? 9b ? 13 答案:C 4、 解:只需把 x=0,1,2,3 代入计算 y 就可以了 答案:A 5、解:① 应将“无数”改为“所有”才对;② 结果有三种情况:平行,垂直,斜交。 答案:D 6、解:∵ f ( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ,又 f ( x)在x ? ?3 时取得极值
/ 2

?x ? 2 ? 0 故 x=2, x ? 2 ? 2 ? x }必须有 ? ?2 ? x ? 0
1 2

2

2

∴ f (?3) ? 30 ? 6a ? 0
/

则 a =5 答案:D 7、解:该几何体是如图所示的三棱柱,因此体 积 V=SH=

1 ×2×2×4=8 2

48

2 2 4 8、解:抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的,为 50
1003

答案:C 9、解:不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

1 1 , ) 2 3 1 1 或 2 3

2 即方程 ax ? bx ? 2 ? 0 的解为 x ? ?

b ? 1 1 ? ? ?? ? ? 2 3 a 故? ?? 1 ? 1 ? 2 ? ? 2 3 a
答案:D

a ? ?12 b ? ?2 ∴a+b=-14

10、解:因为函数 f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),所以 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) 即

f (0) ? 0 又 f (1) ? f (1) ? f (1 ? 1) ? f (2) ? 4 ? f (1) ? 2

? f (?1) ? f (1) ? f (?1 ? 1) ? f (0) ? 0 ? f (?1) ? ?2
答案:A 二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题, 14~15 题是选做题.每小题 5 分,满分 20 分. 11、解:∵{an}等差数列 , ∴ Sm,S2m-Sm , S3m-S2m 也成等差数列 即 2(S2m-Sm)= Sm + (S3m-S2m) ∴S3m=3(S2m-Sm)=210 答案:210 12、解:双曲线 2 x2-2y2=1 的焦点为( ? 1,0) ,离心率为 2 故椭圆的焦点为( ? 1,0) ,离心率为

2 ,则 c ? 1, a ? 2, b ? 1 , 2

x2 ? y2 ? 1 因此该椭圆的方程是 2
13、答案:4 14、解:如图,由已知得 OA=3,OB=4, ?AOB ?

?
2

49

所以 AB ? OA2 ? OB2 ? 5

15、解:CD·DT=AD·DB ? DT ?

8

; PB=

14



2 2 2 2 2 2 ? ? ?PT +DT =PD ?PT +8 =(PB+6) ?? 2 ? 2 ? ? ? PT ? PB PA ? PT ? PB ( PB ? AB ) 2 2 2 ? ?PT +8 =(PB+6) ?? 2 ? (PB+6)2 - 82 = PB ( PB ? 10) ? PB=14 ? ? PT ? PB ( PB ? 10)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、解: (1) f ( x) ? a ? b
?? ??

= (cosx ? sin x, sin x) ? (cosx ? sin x, ? 2 sin x) = (cosx ? sin x) 2 ? 2 sin 2 x = cos x ? 2 sin x cos x ? sin x = cos 2 x ? sin 2 x
2 2

??????4 分

= 2 sin( 2 x ? (2)由 f ( x) ? 1 得

?

4

)

??????8 分

2 sin( 2 x ?

?
4

) =1

∴ 或 所以

? 2 ??????9 分 sin(2 x ? ) ? 4 2 ? ? 2 x ? ? ? 2k?   (K ? Z) ???10 分 4 4 ? 3? 2x ? ? ? 2k?   (K ? Z) ??????11 分 4 4 ? x ? k?   或   x ? +k? (K ? Z)为方程的解. ?12 分 4

17、解: (1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件 A, ????2 分 甲抽到选择题有 6 种抽法,乙抽到判断题有 4 种抽法,所以事件 A 的基本事件数为 6 ? 4 ? 24 ????4 分 ∴ P ( A) ?

6? 4 4 ? 10 ? 9 15 12 2 ? 10 ? 9 15 2 13 ? 15 15

???6 分

(2)记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B, “至少一人抽到选择题”为事件 C,则 B 含基本事件数为 4 ? 3 ? 12 ????8 分 由古典概率公式得 P ( B ) ? ????10 分 ???12 分

由对立事件的性质可得 P (C ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ? 18、解:(1)由 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 得 3 f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 3)(x ? 1)

?????2 分

当 f ( x) ? 0 得 ( x ? 3)(x ? 1) ? 0
'

∴ x ? 3 或 x ? ?1 ??5 分 ,即函数 f ( x) 的单调增区间为(- ?, ?1 )和( 3, ? ?)
50

当 f’ ( x) ? 0得 ? 1 ? x ? 3 ∴函数 f ( x)的单调减区间为(- 1,3 ) (2)令 f ( x) ? 0 得 x ? 3 或 x ? ?1


??7 分 ??9 分

由(1)知,函数 f ( x)在(??,?1) 内单调递增,在(-1,3)内单调递减, ??10 分

5 3 ∵函数 f ( x)在 (?1,3) 内单调递减,在(3,??) 内单调递增 ∴当 x ? 3时,f ( x) 有极小值, f ( x)极小 ? f (3) ? ?9
∴当 x ? ?1时, f ( x)有极大值, f ( x) 极大 =f (?1) ?

??12 分

??14 分

19、解: (Ⅰ)截面 MNC1A1 是等腰梯形,????????????????1 分 连接 AC,因为 M、N 分别为棱 AB、BC 的中点, 所以 MN//AC,MN≠AC 又 AC // A1C1 ,? MN // A1C1 , 且MN ? A1C1 ,
?

? MNC1 A1 是梯形,??????????????4 分
易证 Rt?AMA 1 ? Rt?CNC1 ,? A 1 M ? C1 N

? MNC1 A1 是等腰梯形????????????6 分
(Ⅱ)正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,

AC ? BD, BB1 ? 平面ABCD, MN ? 平面ABCD, ? BB1 ? MN, 又MN // AC, ??????????????????8 分 ? MN ? BD, BD ? BB1 ? B ,
? MN ? 平面BDD1 B1 , MN ? 平面B1 MN , ??????????10 分
∴平面 MNB 1 ⊥平面 BDD 1 B 1 ??????????????12 分 20、 (1) 圆心到直线的距离 d ?

c a 2 ? b2

?

3 ?1, 2

?直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 1交于不同的两点 P, Q ,
(2)由勾股定理得 PQ ? 1 。 21、解: (1)设数列的公差为 d,由已知 S4=44,S7=35 可得 a1=17,d=-4 ∴ a n =-4n+21 (n∈ N),S n =-2n +19 (n∈ N). (2)由 a n =-4n+21≥0 得 n≤
21 , 故当 n≤5 时,a n ≥0, 当 n≥6 时, a n ? 0 4
2

51

当 n≤5 时,T n =S n =-2n +19n 当 n≥6 时,T n =2S5-S n =2n -19n+90.

2

2

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(四) 参考答案
1.C、四个集合分别是:{a},{b},{a,b}, ? 。 2.A、 (1 ? i)2 =1-2i+ i =-2i
2

3.A 4.D、 S 8 ? (a4 ? a5 ) ? 4 ? 8 ? 4 ? 32 5.B、 (2a ? b) ? (4, 2) ? (3, x) ? (1, 2 ? x) ,

(2a ? b) ? b ,

?(1, 2 ? x) ? (3, x) ? 3 ? 2x ? x2 ? 0, 则x ? ?1或3
6.C、[50,60]的频率为 0.03 ? 10=0.3,得 0.3 ? 200=60 7.A、

3 3 4 ?? ? ? ? ? , ? ? ,sin ? ? ,? cos? ? ? 1 ? ( )2 ? ? ?2 ? 5 5 5
sin ? 3 ?? cos ? 4

? tan ? ?

8.D、圆心到直线的距离为 d ?

3 ?1 ? 4 ? (?1) ? 14 3 ?4
2 2

?

15 ? 3 ,而圆的半径为 2,所以直线 5

与圆相离。 9.B、不管 AB 如何变化,AB 与 CD 的公垂线还是 EF,所以只有(2)是正确的。 10.D、用图上标出的点作出验证。
?1?0 ??1 11. 由 {x {x x ?1?1 , 解得 x?0 , ?1 ? x ? 0

12. ?

3 , BC ? a, CA ? b, AB ? c ,则a ? b ? b ? c ? c ? a ? 2 3 ab cos1200 ? ac cos1200 ? bc cos1200 ? ? 2

13.8 14.

? x ? sin ? ? cos ? , ? ? y ? sin 2?

x2 ? sin2 ? ? 2sin ? cos? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2? ? 1 ? y,? y ? 1 ? x2 ( x ?[? 2, 2]
15. 2 3 16.(本题满分 12 分)
52

在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ;

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C ? ?3 7 解: (1) tan C ? 3 7, cos C 1 2 2 又 sin C ? cos C ? 1 解得 cos C ? ? . 8 1 tan C ? 0 ,? C 是锐角. ? cos C ? . 8 5 5 ? ab cos C ? , ? ab ? 20 . (2) CB CA ? , 2 2
(2)若 CB ? CA = 又

a?b ?9

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 .

? a 2 ? b2 ? 41.

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 . ? c ? 6 .
17. (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a3 ? 5, S3 ? 9 . (Ⅰ)求首项 a1 和公差 d 的值; (Ⅱ)若 Sn ? 100 ,求 n 的值. 解: (Ⅰ)

? a1 ? 2d ? 5, a3 ? 5, S3 ? 9 ,? ? ?3a1 ? 3d ? 9.

解得 ?

?a1 ? 1, ?d ? 2.

(Ⅱ)由 Sn ? 100 ,得 n ?

n ? n ? 1? ? 2 ? 100 , 2

解得 n ? 10 或 n ? ?10 (舍去). ? n ? 10 .

18. (本小题满分 14 分) 同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的正方体), 两颗骰子向上的点数之和记为 ? . (Ⅰ)求 ? ? 5 的概率 P ?? ? 5? ; (Ⅱ)求 ? ? 5 的概率 P ?? ? 5? . 解: (Ⅰ) 掷两颗质地均匀的骰子,两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示: 1点 1点 2点 3点 4点 2 3 4 5 2点 3 4 5 6 3点 4 5 6 7
53

4点 5 6 7 8

5点 6 7 8 9

6点 7 8 9 10

5点 6点

6 7

7 8

8 9

9 10

10 11

11 12

显然,点数和为 5 出现 4 次,

? P ?? ? 5 ? ?

4 1 ? . 36 9 1 答: ? ? 5 的概率是 . 9
点数和为 2 出现 1 次, 点数和为 3 出现 2 次, 点数和为 4 出现 3 次,

(Ⅱ)

? P ?? ? 5 ? ? P ? ? ? 2 ? ? P ? ? ? 3 ? ? P ? ? ? 4 ? ?
答: ? ? 5 的概率是 19..(本题满分 14 分)

1 2 3 1 ? ? ? . 36 36 36 6

1 . 6
P

如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,

PA ? 平面 ABCD , 点 F 为 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: PA // 平面 BDF ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC . 证明: (Ⅰ) 连结 AC , BD 与 AC 交于点 O ,连结 OF .
A D F

ABCD 是菱形,

? O 是 AC 的中点.

点 F 为 PC 的中点, ? OF // PA .

OF ? 平面 BDF , PA ? 平面 BDF ,

B

C

? PA // 平面 BDF .
(Ⅱ)

PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , ? PA ? BD . ?? 10 分 ABCD 是菱形, ? AC ? BD . ? BD ? 平面 PAC . PA AC ? A ,
3 2

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的图象与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点(1,-11) .学 (Ⅰ)求 a,b 的值;学科网 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值. 解(Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 由条件得

? f ?(1) ? ?12 ?3 ? 2a ? b ? ?12 ,即 ? , ? ? 1 ? a ? b ? ?11 ? f (1) ? ?11
(6 分)

解得 a=3,b=-9. (Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ,所以
54

f ?( x ) =3x2-6x-9,

令 f ?( x ) =0 得 3(x-3) (x+1)=0,解得 x1=-1,x2=3. 列表如下:

x

(-∞,-1) +

-1 0 极大值

(-1,3) -

3 0 极小值

(3,+∞) +

f ?( x )

f ( x)



f ( ?1)



f (3)



因此,当 x=-1 时, f ( x) 有极大值 f ( ?1) =5; 当 x=3 时, f ( x) 有极小值 f (3) =-27. 21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 (?2 2, 0) 、 F2 (2 2, 0) ,长轴长为 6, 设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点。 (5) 求椭圆的标准方程; (6) 求 ?OAB 的面积。

x2 y 2 解: (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由题意 a ? 3, c ? 2 2 ,于是 b ? 1 , a b
所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1 9

? y ? x?2 ? (2)由 ? x 2 ,得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0 ,由于该二次方程的 ? ? 0 ,所以点 A、B 不同。 2 ? y ? 1 ? ?9 ?18 27 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 5 10

设 直 线 y ? x ? 2 与 x 轴 交 于 点 M (? 2, 0 ), 则

S?OAB ? S ?OAM ? S ? OBM

,由上可知, ,

y1 ? y2 ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 4 ?

2 5

1 y1 y2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? , 2
2 1 1 2? ? 1? 3 6 则 S?OAB ? ? 2 | y1 | ? ? 2 | y2 |?| y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? ? 4? ? ? ? ? ? 2 2 5 ?5? ? 2?

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(五) 答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只
55

有一项是符合题目要求的. ) 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算 共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题 号 答 案 (1) A (2) D (3) C (4) B (5) B (6) C (7) C (8) D (9) A (10) B

二、填空题: 11.若方程 x ? x ? m ? 0 有实数根, 则 m ? 0
2

12. x ?
2

y2 ?1 3

13. 14 ;

4 ? 5

14. 5

15. 1

三、解答题 16. 解:由已知可得 OA ? (2,0),OC ? (cos? , sin ? ) 且 | OA ? OC |? 7 ??1 分

? (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7
化简得: cos ? ? ? 因为 0 ? ? ? ? 所以 sin ? ?

1 ??3 分 2

3 ??4 分 2

1 3 ? OC ? (? , ), OB ? (0,2) 2 2
? cos ? OB , OC ?? OB ? OC | OB |? | OC | ? 3 ??6 分 2

又因为 ? OB, OC ??[0, ? ] 所以 ? OB , OC ??

?
6

??7 分

(Ⅱ) AC ? (cos? ? 2, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 2) 由 AC ? BC 得 (cos? ? 2, sin ? ) ? (cos? , sin ? ? 2) ? 0 ??9 分 即 (cos? ? 2) cos? ? sin ? (sin? ? 2) ? 0 化简得: sin ? ? cos ? ?

1 ??10 分 2

56

所以 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ?

2

2

1 4

所以

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ?
2

?

1 4

即是 3 tan ? ? 8 tan? ? 3 ? 0 解得 tan? ?

?4? 7 ??12 分 3
3 ?0 8

因为 sin ? cos ? ? ? 且0 ?? ? ? 所以

?
2

? ? ? ? ??13 分

又 sin ? ? cos?
所以 tan? ? ?

4? 7 ??14 分 3

17. 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域关于原点对称 若 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? (Ⅱ) f ?( x) ? 1 ?
(? x) 2 ? a ( ? x) ? 4 ? ? f ( x) ?x

∴a=0

4 ∴在 [3,??) 上 f ?( x) ? 0 ∴ f ( x) 在 [3,??) 上单调递增 x2 13 ∴ f ( x) 在 [3,??) 上恒大于 0 只要 f (3) 大于 0 即可,∴ 3a ? 13 ? 0 ? a ? ? 3 13 若 f ( x) 在 [3,??) 上恒大于 0,a 的取值范围为 a ? ? 3

18. 本小题主要考查空间线面关系,考查空间想象能力和推理运算能力.满分 14 分. (Ⅰ)证明:连 AC . ∵ AB ? BC , ∴ BD ? AC . ?? 2 分 ∵ A1 A ? 底面 ABCD , ∴ BD ? A1 A . ?? 4 分

∵ A1 A ? 平面 A1 AC, AC ? 平面 A1 AC ,

A1 A ? AC ? A ,
57

∴ BD ? 平面A 1 AC . ∴ BD ? AC 1 . (Ⅱ)解:? A1 A ? 平面 BCD , ∴ V A1 ? BCD ?

?? 6 分 ??8 分

1 S ?BCD ? AA1 3 1 1 ? ? ? 1? 1? 2 3 2 1 ? . 3

??11 分

?? 14 分

19. 解: (1)依题意三角形 NDC 与三角形 NAM 相似,

DC ND x 20 ? AD ? ? 所 以 , 即 , AM NA 30 20 C D 2 AD ? 20 ? x ,??????????????2 分 3 A B 2 2 第 19 题图 矩 形 ABCD 的 面 积 为 S ? 20 x ? x , 定 义 域 为 3 0 ? x ? 30 , ???????4 分 2 2 要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米即 20 x ? x ? 144 , 3
2 化简得 x ? 30x ? 216 ? 0 ,解得 12 ? x ? 18

N

P

M

???????????7 分 ???????????8 分

所以 AB 长度应在 ?12,18? 内. (2)仓库体积为 V ? 20 x ?
2

2 3 x (0 ? x ? 30) 3

???????????9 分 ???????????11 分 ???????????13 分

V ' ? 40x ? 2x2 ? 0 得 x ? 0或x ? 20 ,
' ' 当 0 ? x ? 20 时 V ? 0 ,当 20 ? x ? 30 时 V ? 0

所以 x ? 20 时 V 取最大值

8000 3 米 , 3
??????????????????14 分
2

即 AB 长度为 20 米时仓库的库容最大.
2

20. (1)若方程表示圆,则 ?? 2? ? ?? 4? ? 4m ? 0, ? m ? 5 ??????????2 分 (2)设 M、N 的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 y 2 ? 由 x1 ? 4 ? 2 y, x2 ? 4 ? 2 y 2 ,得 x1 x2 ? 16 ? 8? y1 ? y 2 ? ? 4 y1 y2

58

又 OM ? ON , ? x1 x2 + y1 y 2 =0??????????6 分

? 16 ? 8? y1 ? y2 ? ? 5 y1 y2 =0
由?

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0
2 2

,得 5 y 2 ? 16y ? m ? 8 ? 0

16 ? y ? y ? 1 2 ? 16 m?8 ? 5 ?0 ?? ? 代入得 16 ? 8 ? ? 5 ? m ? 8 5 5 ?y y ? 1 2 ? 5 ?
8 ? m ? ??????????10 分 5 8 (3) 由(2)知 m ? 5

16 ? y1 ? y2 ? ? 16 48 4 12 ? 5 ? 0 得 y1 ? 或 y 2 ? ? y2 ? y ? ? 5 5 5 25 ? y y ? 48 1 2 ? 25 ?
由 x ? 4 ? 2 y 得 x1 ?

12 4 或 x2 ? ? 5 5

? 12 4 ? ? 4 12 ? ? M ? , ? ,N ? ? , ? ? 5 5? ? 5 5 ?
MN 的中点为 Q ?

4 5 ?4 8? , ? , MQ ? 5 ?5 5?
2 2

4? ? 8 ? 16 ? 故以 MN 为直径的圆的方程 ? x ? ? ? ? y ? ? ? ??????????14 分 5? ? 5? 5 ?
21(Ⅰ)证:设 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? an?2 ? an?1 ? 2an?1 ? 3 ? 2an ? 3 ? 2(an?1 ? an ) ? 2bn 由题设知: a2 ? 1, b1 ? 2 ,则 ?bn ? 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知: bn ? 2
n

即 an?1 ? an ? 2

n

∴ an ? a1 ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 )

? 2n?1 ? 2n?2 ? 2n?3 ?
n

? 22 ? 21 ? 2n ? 2 ,得 an ? 2n ? 3 ? n ? N * ?

(Ⅲ) 由题设及(Ⅱ)知: cn ? 2 ? 3 ? 2n ,设 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ???? ? cn (n ? N*)

59

则 Tn ? 2n?1 ? n2 ? 4n ? 2
0 1 由 2n ? Cn ? Cn ? n?1 n 0 1 n?1 n 知:当 n ? 3 时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 2

∴ 当 n ? 3 时 , cn ? 0 ,
?n2 ? 4n ? 2 ? 2n ?1 ? Sn ? ? n ?1 2 ? ?2 ? n ? 4n ? 16 (n ? 3) (n ? 4)

当 n ? 4 时 , cn ? 0 ,

??Tn Sn ? ? ?Tn ? 2T3

(n ? 3) (n ? 4)



惠州市艺术类考生数学综合测试卷(六)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 序号 答案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 D 8 C 9 C 10 B

二、填空题: (本大题 5 题,其中第 11、12、13 为必做题,第 14、15 题为选做题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 11. 24 12.

1 3

13. ? ?5, ?2?

(0, 2) 14. y ? ?3x ? 9

15. 30

三、解答题: 16. 解:(1)因为 m ? (1 ? cos2 x,1), n ? (1, 3sin 2 x ? a)( x ? R, a ? R, a是常数 ), 所以 y ? m ? n ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ? (2)因为 f ( x) 的最大值为 4,所以 a ? 3 ? 4 ,故 a ? 1 , 所以函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? a ?1

?
6

)?2

?当2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

时,k ? Z,即x ? k? ?

?
6

,k ? Z ,函数取得最大值;

故函数取得最大值时对应 x 的取值集合是 {x x ? k? ?

?
6

,k ? Z }

17. 解:(1)证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 , ∵ ABCD 是 正 方 形 , ∴ AC ? BD . ∵ CE ? 面 ABCD , ∴CE ? BD . 又 AC ? CE ? C ,∴BD ? 面 ACE .
60
A

D1

C1

A1

B1
D
B

E

C

∵ AE ? 面 ACE ,∴BD ? AE , ∴B1D1 ? AE . (2) S ?ABD ?

1 AB ? AD ? 2 . 2

1 1 2 VA? BDE ? VE ? ABD ? S?ABD ? CE ? S?ABD ? CE ? . 3 3 3

18. 解:

f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4)
4 ? ? ?2,1? 3
0 0 极大

' 令 f ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ?

当a ? 0时

x
f ' ( x)

??2,0?
+ ↗

? 0,1?


f ( x)

因此 f(0)必为最大值,∴ f(0)=5,得 b=5,

f (? 2 )? ? 1 a 6 ? 5f,

(1 ?) ? a ?

5 ? f,

(? 1 f) ? ( 2 )

? f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,? a ? 1 ? f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 5;

19. 解: (1)安排情况如下: 甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁,丁甲,丁乙,丁丙 ? 共有 12 种安排方法. (2)甲、乙两人都被安排的情况包括:“甲乙”,“乙甲”两种,

? 甲、乙两人都被安排(记为事件 A )的概率: P( A) ?

2 1 ? 12 6

(3)“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是互斥事件, ? 甲、乙两人都不被安排的情况包括:“丙丁”,“丁丙”两种,

2 1 ? 12 6 ? 甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件 B )的概率: 1 5 P( B) ? 1 ? ? 6 6
则“甲、乙两人都不被安排”的概率为

61

20.解:(1)? a n ? 2a n ?1 ? 2 ( n ? 2, 且n ? N )
n *

an an ?1 a an ?1 ? n ?1 ? 1,即 n ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) n n 2 2 2 2 a 1 ? 数列{an }是等差数列, 公差为d ? 1, 首项 1 ? ,.....................................4分 2n 2 a 1 1 1 (2)由(1)得 n ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? , n 2 2 2 2 1 ? an ? (n ? ) ? 2n.........................................................................................8分 2 1 3 5 1 (3) Sn ? ? 21 ? ? 22 ? ? 23 ? ? (n ? ) ? 2n..............(1) 2 2 2 2 1 3 5 1 ? 2Sn ? ? 22 ? ? 23 ? ? 24 ? ? ( n ? ) ? 2n ?1................(2)....................9分 2 2 2 2 ?
(1) ? (2)得 1 1 ? S n ? 1 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 2 2

?

2(1 ? 2n ) 1 ? (n ? ) ? 2n ?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2n ? 3...............................................12分 1? 2 2 Sn Sn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 ? (2n ? 3) ? 2 n ,? n ? 2n ? 3...............................................14分 2
2 2 2 2 2 2

21. 解: (1)椭圆 C 与圆 x ? y ? c 有公共点的的充要条件是点 (0,?1) 在圆 x ? y ? c 上 或内且 a ? 1 ,即 ?

?0 2 ? (?1) 2 ? c 2 ? a 2 ? 1 ,也即 a ? 2 a ? 1 ?

故 a 的取值范围是 [ 2 , ??) 另解:由已知, a ? 1 ,

62

? x2 2 1 ? ? ? y ?1 ? ∴ 方程组 ? a 2 有实数解,从而 ?1 ? 2 ? x 2 ? c 2 ? 1 ? 0 , ? a ? ?x 2 ? y 2 ? c 2 ?
故 c ? 1 ,所以 a ? 2 ,即 a 的取值范围是 [ 2 , ??)
2 2

(2) a 的最小值是 2 ,此时椭圆 C 的方程为 由?

x2 ? y2 ? 1, 2

? y ? kx ? m
2 2

?x ? 2 y ? 2 ∵ 直线 l 与椭圆交于不同两点,

得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4mkx? 2(m 2 ? 1) ? 0 (*) ∴ ? ? 8(2k 2 ? m2 ? 1) ? 0 , 即

m 2 ? 2k 2 ? 1 .① … 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个实数解, 4mk m ? ? 2m k ∴ x1 ? x 2 ? ? ,∴ 线段 MN 的中点为 Q? ? , 2 ?, 2 2 2k ? 1 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 又∵ 线段 MN 的垂直平分线恒过点 A(0,?1) ,∴ AQ ? MN ,
即?

m ? 2k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 2k 2 ? 1 ② 2m k k



2 由① ,② 得 m ? 2m , 0 ? m ? 2 ,又由② 得m ?

1 , 2

∴ 实数 m 的取值范围是 ? ,2 ? .

?1 ?2

? ?

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(七)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 序号 答案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 D 8 C 9 C 10 B

二、填空题: (本大题 5 题,其中第 11、12、13 为必做题,第 14、15 题为选做题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 11. 24 12.

1 3

13. ? ?5, ?2?

(0, 2) 14. y ? ?3x ? 9

15. 30

三、解答题: 16. 解:(1)因为 m ? (1 ? cos2 x,1), n ? (1, 3sin 2 x ? a)( x ? R, a ? R, a是常数 ), 所以 y ? m ? n ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? a ?1

63

(2)因为 f ( x) 的最大值为 4,所以 a ? 3 ? 4 ,故 a ? 1 , 所以函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?2

?当2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

时,k ? Z,即x ? k? ?

?
6

,k ? Z ,函数取得最大值;

故函数取得最大值时对应 x 的取值集合是 {x x ? k? ?

?
6

,k ? Z }

17. 解:(1)证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 , ∵ ABCD 是 正 方 形 , ∴ AC ? BD . ∵ CE ? 面 ABCD , ∴CE ? BD . 又 AC ? CE ? C ,∴BD ? 面 ACE . ∵ AE ? 面 ACE ,∴BD ? AE , ∴B1D1 ? AE . (2) S ?ABD ?
A

D1

C1

A1

B1
D
B

E

C

1 AB ? AD ? 2 . 2 1 1 2 VA? BDE ? VE ? ABD ? S?ABD ? CE ? S?ABD ? CE ? . 3 3 3

18. 解:

f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4)
4 ? ? ?2,1? 3
0 0 极大

' 令 f ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ?

当a ? 0时

x
f ' ( x)

??2,0?
+ ↗

? 0,1?


f ( x)

因此 f(0)必为最大值,∴ f(0)=5,得 b=5,

f (? 2 )? ? 1 a 6 ? 5f,

(1 ?) ? a ?

5 ? f,

(? 1 f) ? ( 2 )

? f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,? a ? 1 ? f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 5;

64

19. 解: (1)安排情况如下: 甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁,丁甲,丁乙,丁丙 ? 共有 12 种安排方法. (2)甲、乙两人都被安排的情况包括:“甲乙”,“乙甲”两种,

? 甲、乙两人都被安排(记为事件 A )的概率: P( A) ?

2 1 ? 12 6

(3)“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是互斥事件, ? 甲、乙两人都不被安排的情况包括:“丙丁”,“丁丙”两种,

2 1 ? 12 6 ? 甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件 B )的概率: 1 5 P( B) ? 1 ? ? 6 6
则“甲、乙两人都不被安排”的概率为

20.解:(1)? a n ? 2a n ?1 ? 2 ( n ? 2, 且n ? N )
n *

an an ?1 a an ?1 ? n ?1 ? 1,即 n ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) n n 2 2 2 2 a 1 ? 数列{an }是等差数列, 公差为d ? 1, 首项 1 ? ,.....................................4分 2n 2 a 1 1 1 (2)由(1)得 n ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? , n 2 2 2 2 1 ? an ? (n ? ) ? 2n.........................................................................................8分 2 1 3 5 1 (3) Sn ? ? 21 ? ? 22 ? ? 23 ? ? (n ? ) ? 2n..............(1) 2 2 2 2 1 3 5 1 ? 2Sn ? ? 22 ? ? 23 ? ? 24 ? ? ( n ? ) ? 2n ?1................(2)....................9分 2 2 2 2 ?
(1) ? (2)得 1 1 ? S n ? 1 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 2 2
65

?

2(1 ? 2n ) 1 ? (n ? ) ? 2n ?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2n ? 3...............................................12分 1? 2 2 Sn Sn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 ? (2n ? 3) ? 2 n ,? n ? 2n ? 3...............................................14分 2

21. 解: (1)椭圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? c 2 有公共点的的充要条件是点 (0,?1) 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2 上 或内且 a ? 1 ,即 ?

?0 2 ? (?1) 2 ? c 2 ? a 2 ? 1 ,也即 a ? 2 a ? 1 ?

故 a 的取值范围是 [ 2 , ??) 另解:由已知, a ? 1 ,

? x2 2 1 ? 2 ? ? y ?1 ? 2 ∴ 方程组 ? a 2 有实数解,从而 ?1 ? 2 ? x ? c ? 1 ? 0 , a ? ? ?x 2 ? y 2 ? c 2 ?
故 c ? 1 ,所以 a ? 2 ,即 a 的取值范围是 [ 2 , ??)
2 2

(2) a 的最小值是 2 ,此时椭圆 C 的方程为 由?

x2 ? y2 ? 1, 2

? y ? kx ? m
2 2

?x ? 2 y ? 2 ∵ 直线 l 与椭圆交于不同两点,

得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4mkx? 2(m 2 ? 1) ? 0 (*) ∴ ? ? 8(2k ? m ? 1) ? 0 , 即
2 2

m 2 ? 2k 2 ? 1 .① … 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个实数解, 4mk m ? ? 2m k ∴ x1 ? x 2 ? ? ,∴ 线段 MN 的中点为 Q? ? , 2 ?, 2 2 2k ? 1 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 又∵ 线段 MN 的垂直平分线恒过点 A(0,?1) ,∴ AQ ? MN ,
即?

m ? 2k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 2k 2 ? 1 ② 2m k k



2 由① ,② 得 m ? 2m , 0 ? m ? 2 ,又由② 得m ?

1 , 2

∴ 实数 m 的取值范围是 ? ,2 ? .

?1 ?2

? ?

66

惠州市艺术类考生数学综合测试卷(八)答案
一、选择题:1—5 BDDCB 6—10 ABBBC 1.选 B。简解: A ? ? 0, ?? ? , B ? ? 0, ? ,? A ? B ? B ? ? 0, ? ,故选 B。 2.选 D 简解:由等差数列的性质,知 a4 ? a5 ? a1 ? a8 , S8 ? 选 D。 3.选 D。简解:命题 P 与命题 q 都是真命题,由复合命题的真假性,可验证①、②、③、 ④都正确,选 D。 4.选 C。简解:

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

8(a1 ? a8 ) ? 4(a4 ? a5 ) ? 32 , 2

cos 2 ? ? sin 2 ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? 2 2 sin(? ? ) (sin ? ? cos ? ) (sin ? ? cos ? ) 4 2 2 2 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ? ? 2 1 ∴ cos ? ? sin ? ? ,选 C。 2 ?
2 x?1

cos 2?

5.选 B。简解: y? ? 3x ? 2,? y?

3) 处的切线 ? 1, 根据导数的几何意义,知曲线在点 (1,

的斜率为 1,故切线的倾斜角为 45°,选 B。 6.选 A。简解:先后投掷两枚骰子,基本事件总数为 36,其中“向上的点数之和为 5”所 包含的事件数为 4,则 P 1 ?

1 5 ; “向上的点数之和为 6”所包含的事件数为 5,则 P2 ? , 9 36

故P ,故“向 1 ? P 2 ,选 A。另解:因为 1+4=5,2+3=5,1+5=6,2+4=6,3+3=6(讲顺序) 上的点数之和为 5” 所包含的事件数大于 “向上的点数之和为 6” 所包含的事件数, 故P 1 ? P 2, 选 A。 7.选 B。简解:圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 5 ? 0 可化为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 3 ,圆心为 (2, 2) ,
2 2 2 2

半径为 3 ,圆心到直线 x ? y ? 9 ? 0 的距离 d ?

2? 2?9 12 ? 12

?

5 2 ,圆上的点到直线的 2

最大距离为

5 2 5 2 ? 3 ,圆上的点到直线的最小距离为 ? 3 ,故圆上的点到直线的 2 2

最大距离与最小距离的差为 2 3 ,选 B。 8.选 B 简 解 : 由 题 意 可 得 , 5d ? 25,3c ? 4d ? 38, 2b ? 3c ? 24, a ? 2b ? 7 , 解 得

67

d ? 5, c ? 6, b ? 3, a ? 1 ,故选 B。
9.选 B。简解:由图(1)、(2)、(3)、(4)推出 A、B、C、D 在图中所代表的图形,再反过来 确定图(A) 、 (B)所代表的含义。选 B。 10 .选 C 。简解:利用二分法及根的存在性原理,对照上表中函数值的符号,可知方程

x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1 )为 1.4,选 C。
二、填空题:11. 11.填

1 2

12. 1

13. 8

14.

2 2

15.

9 2

1 2

简解:

1 i 1? i i 1 ? ? ? ? 1? i 2 2 2 2

12.填 1

简解:圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 的圆心为 (?1, 0) ,它到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的

距离为

3 ? (?1) ? 4 ? 0 ? 2 32 ? 42

? 1。

13 .填 8

简解: 函数 y ? loga ?x ? 3? ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过 A(?2, ?1) ,所以有

2m ? n ? 1 ,由于 mn ? 0 ,故

1 2 1 2 n 4m ? ? ( ? )(2m ? n) ? 4 ? ? ? 8。 m n m n m n

9 15.填 2
14.填

AC 2 AB 2 ? BC 2 62 ? 32 9 ? ? ? 。 简解:易证 ?ABC ∽ ?ACD , AD ? AB AB 6 2

2 简解:直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,利用点到直 2 2 。 2

线的距离公式可求得距离为 三、解答题: 16.解:

π? π? π? ? ? ? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? 8? 8? 8? ? ? ? ? cos(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x 4 4 2

?

?

?

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? ?? ; 2

(II)当 ?? ? 2k? ? 2 x ? 2k? ,即 ? 递增, ∴ f ( x ) 的单调增区间是 ? ?

?

2

? k? ? x ? k? (k ? Z ) 时,函数 f ( x) 的单调

? ? ? ? k? , k? ? (k ? Z ) ? 2 ?

68

17.解: (I)∵ an ? an?1 ? 2(n ? N *) 公差为 2 的等差数列 ∴

? an ? an?1 ? 2

∴数列 ?an ? 是首项为 1,

an ? 2n ? 1
∴ bn ?

(II)∵ bn ?

1 (n ? N ) an an ?1

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

? Sn ?

1 1 1 1 ? ? ? ????? 1? 3 3 ? 5 ? 5 7 n(? 2 n 1? )(2 1 1 1 1 1 1 ? ( 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 n2? 1 n ? 2 1 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

1)

18.解: 此几何体是正四棱锥, 它的底为边长为 2 的正方形, 侧面斜高为 3 ,表面积为 4+ 4 3 ,体积为 19. (本小题满分 14 分) 解:两个小球号码相加之和等于 3 中三等奖,两个小球号码相加之和不小于 3 中奖, 设“三等奖”事件为 A, “中奖”的事件为 B, 从四个小球任选两个共有 (0,1) , (0,2) , (0,3) , (1,2) , (1,3) , (2,3)六种不同的方法。 (1)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 2 种: (0,3) , (1,2) 。 故 P ( A) ?

4 2 . 3

2 1 ? 。 6 3 2 2 ? 6 3

(2)法一:两个小球号码相加之和等于 1 的取法有 1 种: (0,1) 两个小球号码相加之和等于 2 的取法有 1 种: (0,2) 。 故 P( B) ? 1 ?

法二:两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 2 种: (0,3) , (1,2) ; 两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 1 种: (1,3) ; 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 1 种: (2,3) ; 故 P( B) ?

2 1 1 4 2 ? ? ? ? 。 6 6 6 6 3

20.解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,
2 2 0) (0, ? ? ) ,f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x) , ? f ( x) 为偶函数. 对任意 x ? ( ? ?,

当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ? ( a ? 0, x ? 0) ,

a x

69

取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0 ,
? f ( ?1 ) ? ? f ( , 1) f ? ( 1? ) f ,(1)

? 函数 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
(Ⅱ)解法一:设 2 ≤ x1 ? x2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? a a ( x1 ? x2 ) 2 ? x2 ? ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? , ? x1 x2 x1 x2

? ? ) 上为增函数,必须 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立. 要使函数 f ( x) 在 x ? [ 2, x1 ? x 2 ? 0, x x 1 ? 2 4 ,即 a ? x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 恒成立.

又? x1 ? x2 ? 4 ,? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 16 .
? a 的取值范围是 ( ? ?, 16] .
? ? ) 为增函数. 解法二:当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,显然在 [ 2,

当 a ? 0 时,反比例函数
? f ( x) ? x 2 ?

a ? ? ) 为增函数, 在 [ 2, x

a ? ? ) 为增函数. 在 [ 2, x

当 a ? 0 时,同解法一.
? ? ) 为增函数. 解法三:当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,显然在 [ 2,

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 2 x?

a ? ? ) 上为增函数,故 ,因为 函数 f ( x) 在 x ? [ 2, x2

3 ? ? ) 上恒成立, ? ? ) 上恒成立, f ?( x) ? 0 在 x ? [ 2, 即 a ? 2 x 在 x ? [ 2, 所以,a 的

16] . 取值范围是 ( ? ?,

x2 y 2 21.解: (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由题意 a ? 3, c ? 2 2 ,于是 b ? 1 , a b
所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1 9

? y ? x?2 ? (2)由 ? x 2 ,得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0 ,由于该二次方程的 ? ? 0 ,所以点 A、B 不同。 2 ? y ? 1 ? ?9 ?18 27 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 5 10
70

设 直 线 y ? x ? 2 与 x 轴 交 于 点 M (? 2, 0 ), 则

S?OAB ? S ?OAM ? S ? OBM

,由上可知, ,

y1 ? y2 ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 4 ?

2 5

1 y1 y2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? , 2
2 1 1 2? ? 1? 3 6 则 S?OAB ? ? 2 | y1 | ? ? 2 | y2 |?| y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? ? 4? ? ? ? ? ? 2 2 5 ?5? ? 2?

71


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