安徽省宿州市2019年高三第三次质量检测文科数学试卷

安徽省宿州市 2019 届高三第三次质量检测 数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. )
1. 若 z ? A.

i , i 为虚数单位,则 | z | =( 1 ? 2i 5 B. C. 5 3 5
x

) D.

3 3


2.命题“任意 x ? 0 ,都有 2 ? 1 ”的否定,叙述正确的是( A.存在 x ? 0 ,使得 2 ? 1
x x

B.任意 x ? 0 ,都有 2 ? 1 D. 存在 x ? 0 ,使得 2 ? 1
x

C.存在 x ? 0 ,使得 2 ? 1
x

3. “ m ? 2 ”是“双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率大于 2 ”的( m
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4. 有以下四种变换方式:

? 1 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 倍; 2 4 ? 1 ② 向右平移 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 倍; 2 8 1 ? ③ 每个点的横坐标缩短为原来的 倍,再向右平移 个单位长度; 2 8 1 ? ④ 每个点的横坐标缩短为原来的 倍,再向左平移 个单位长度. 2 8 ? 其中能将 y ? 2 sin x 的图像变为 y ? 2 sin( 2 x ? ) 的图像的是( ) 4
① 向左平移 A.②和④ B.①和③ C.①和④ 开始 D.②和③ 5.等比数列 {an } 中,若 a3 ? 2 , a7 ? 8 , 则 a5 ? ( A.4 ) B.-4 C. ? 4 D.5

x ?1

x 是奇数?




x ? x ?1

6.如图,程序框图的输出值 x ? (
A.10 B.11

x ? x?2
·1·



x ? 8?




输出 x

C.12

D.13

7. 设 l, m 是两条不同的直线, ?,? 是两个不同的平面,给出下列命题: ① 若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? ; ③ 若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? ; ② 若 l // ? , l ? ? ,则 ? ? ? ; ④ 若 ? ? ? , l // ? ,则 l ? ? ;

⑤ 若 l // ? , l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m . 其中真命题的个数为( A. 1 个
2

) C. 3 个 D. 4 个 )

B. 2 个

8.若函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1在区间 ?1,2? 是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. ? ? ?, ? ? ?1,??? 2

? ?

1? ?

B. ? ,1? 2

?1 ? ? ?

C. [0, ] ? ?1,?? ?

1 2

D. (??,0] ? ?1,???

(x ? 9. 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 是 函 数 f ( x) ? 2 s i n2
OM ?

?
3

) ?1 图 像 上 的 任 意 两 点 , 点 M 满 足


1 ? (OA ? OB ) ,其中 O 是坐标原点,若点 M 的横坐标是 ? ,则点 M 的纵坐标是( 6 2
B. 0 C. 1 D.3
2

A.—1

3) 时, f ( x) ?| x ? 2 x ? 10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的周期函数,当 x ? [0,

4] 上的零点的个数为( 函数 f ( x) 在 [?3,
A.8 B.7 C.6

1 | ,则 2

) D.5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )
11.已知 a ?

log2 3 1 ,b ? , c ? log 1 3 ,则 a , b , c 的大小关系为____________; 2 3 2

12.若样本数据 x1 , x2 , x3 ,…, xn 的方差为4,则数据 2x1 ? 1,2x2 ? 1,2x3 ? 1 ,…, 2 x n ? 1 的方差 是____________; 13.一个几何体的俯视图如图所示,主视图是底边长为8, 高为4的等腰三角形,左视图是底边长为6,高为4的 等腰三角形,那么该几何体的全面积是____________; 8

6

0) , B(2, 0) , C (2, 1) , D(1, 1) , 若 平 面 区 域 ? 由 满 足 AP ? ? AB ? ? AD 14. 已 知 点 A(0,
·2·

(

1 ? ? ? 1,0 ? ? ? 1 )的点 P 组成,现从梯形平面区域 ABCD 内任取一点 M ,则点 M 落在区 2

域 ? 内的概率为___________; 15.已知圆 M : ( x ? cos? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1,直线 l : y ? kx ,以下结论成立的有___________.(写 出所有正确结论的编号) ①对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 相切; ②对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 有公共点; ③存在实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 相离; ④对任意实数 ? ,必存在实数 k ,使得直线 l 和圆 M 相切; ⑤对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 和圆 M 相切.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. )
16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足: c sin A ? a cos C ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 2 3 sin

A A ? cos ? cos( B ? ) 的最大值,并求出取得最大值时角 A、B 的值. 2 2 4

17. (本小题满分 12 分) 对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这

M 个学生参加“社区志愿者”活动的次数.据此
表及频率分布直方图如下: (Ⅰ)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高一学生有 720 人,试估 计他们参加“社区志愿者”活动的次数 在[15,20)内的人数; (Ⅲ)若参加“社区志愿者”活动的次 数不少于 20 次的学生可评为“优秀志愿 者” ,试估计小明被评为“优秀志愿者” 的概率. 18. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前项和为 S n , a1 ? 1, an ? 分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30] 合计 频数 5 12 频率
频率 0.25 组距

作 出 频 数 和 频 率 统计

n
ap
0.05 1

m
1

M

10

15

20

25

30

次数

Sn ? 2(n ? 1), (n ? N * ). n
·3·

(I)求数列 {an } 的通项公式 an ; (II)是否存在正整数 n 使得 不存在,请说明理由. 19. (本小题满分 13 分) 如图:在多面体 ABCDE 中, AB ? 平面ACD , DE ? 平面ACD , E

S S1 S 2 ? ? … ? n ? (n ? 1) 2 ? 2015成立?若存在,求出 n 的值;若 1 2 n

AD ? AC ? AB ?

1 DE ? 1, ?DAC ? 90? , F 是 CD 的中点. 2

B

(Ⅰ)求证: AF/ / 平面BCE ; (Ⅱ)求证: 平面BCE ? 平面CDE ; (Ⅲ)求三棱锥 D - BCE 的体积. F C 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x 3 ? ax2 ? x ? 2 ?a ? R ?. (I)如果函数 g ?x ? 的单调递减区间为 ( ? ,1) ,求函数 g ?x ? 的解析式; (II)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y= g ?x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程; (III)若不等式 2 f ( x) ? g ?( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. A D

1 3

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上的动点 P 到两个焦点的距离之和为 6,且到右焦点距离的 b2

最小值为 3 ? 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 和椭圆 C 交于 M、N 两点, A 为椭圆的右顶点, AM ? AN ? 0 ,求 ?AMN 面积的最 大值.

·4·

安徽省宿州市 2019 届高三第三次质量检测 数学参考答案(文科)
一.选择题 1.B 二.填空题 2. D 3. A 4.C 5 .A 6.C 7.B 8. A 9. C 10. D

11. b ? a ? c

12 . 16

13 . 88 ? 24 2

14.

1 3

15 ②⑤

三.解答题 16 解: (1)∵ c sin A ? a cos C ? 0 ,由正弦定理得:

sin C sin A ? sin A cos C ? 0 又 ∵ A 为三角形的一内角, ∴ sin C ? cos C ? 0
∵ 0?C ?? (2)设 y ? 2 3 sin ∴



sin A ? 0

C?

?
4

??????????6 分

A A ? cos ? cos( B ? ) 2 2 4

? 3 sin A ? cos(? ? A) ? 3 sin A ? cos A
? 2 sin( A ?
又 ∵ 0? A? ∴ 17 解: (1)∵

?
6

) ??????????????????9 分
∴ 当A?

B ?? ?(

?

3? , 4 ?

?
3

时, y max ? 2

?

3

4

)?

5? . ?????????????12 分 12

5 ? 0.25 M

∴ M ? 20 ∴ p ? 0.1 , n ? 0.6

∴ m?2

∴ a ? 0.12 ????????????????????6 分 (2) 720 ? 0.6 ? 432 (人) ???????????????9 分

·5·

(3) 样本中可评为“优秀学生”的频率为 p ?

3 , 20 3 ∴ 估计小明被评为“优秀学生”的概率为 . ????12 分 20

18.解(I) Sn ? nan ? 2(n ? 1)n

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? nan ? 2(n ? 1)n ? (n ? 1)an ?1 ? 2(n ? 2)(n ? 1)

? an ? an ?1 ? 4 ? {an }为 a1 ? 1, d ? 4 的等差数列 ? an ? 1 ? (n ? 1)4 ? 4n ? 3
…………6 分

(II) S n ? na n ? 2n(n ? 1) ? (2n ? 1)n ?

Sn ? 2n ? 1 n

?

S1 S 2 S 1 ? (2n ? 1) ? ??? n ? n ? n2 1 2 n 2
………………12 分

? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2015? n ? 1008存在
19. 解:(1)取 CE 的中点 M,连结 MF,MB, ∵F 是 CD 的中点

1 ∴MF∥DE 且 MF= DE 2
∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD ∴AB∥DE,MF∥AB ∵AB= B M A

E

1 DE∴MF=AB 2

∴ 四边形 ABMF 是平行四边形 AF∥BM,AF ? 平面 BCE,BM ? 平面 BCE ∴ AF/ / 平面BCE ????4 分 (2) ∵AC=AD ∴AF⊥CD, 又 ∵ DE⊥ 平 面 ACD AF ? 平 面 ACD ∴AF⊥DE,又 CD ? DE=D ∴AF⊥平面 CDE 又∵BM∥AF∴BM⊥平面 CDE ∵BM ? 平面 BCE ∴ 平面BCE ? 平面CDE ?????8 分 (3)作 DH⊥CE 于 H,则 DH⊥平面 CBE 由已知得: CD ? C

D F

2 , DE ? 2, CE ? 6 , AF ?

2 2

·6·

在 Rt△CDE 中, DH ?

CD ? DE 2 ? CE 3

S ?BCE ?

1 1 3 CE ? BM ? CE ? AF ? 2 2 2
1 1 S ?CBE ? DH ? ???13 分 3 3
由题意 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是 ? ? ,1?

∴ VD ? CBE ?

20.解:(1) g ?( x) ? 3x2 ? 2ax ?1

? 1 ? ? 3 ?

2 即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根分别是 ?

1 ,1 . 3

将 x ? 1或 ?

1 代入方程 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 得 a ? ?1 . 3
…………4 分

? g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 .
(2)由(Ⅰ)知: g ?( x) ? 3x2 ? 2 x ?1,? g ?(?1) ? 4 ,

? 点 P(?1,1) 处的切线斜率 k ? g ?(?1) ? 4 ,
? 函数 y= g ?x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程为:
y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 5 ? 0 .
(3) 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 对 x ? ?0,???上恒成立,
'
2 即: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 对 x ? ?0,??? 上恒成立,

…………8 分

可得 a ? ln x ? 设 h? x ? ? ln x ?

3 1 x? 对 x ? ?0,???上恒成立, 2 2x 3x 1 ? , 2 2x
' 则 h ?x ? ?

?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 ? ? 2 ?? x 2 2x 2x 2

令 h ' ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ?

1 (舍) 3

当 0 ? x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0

? 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2

? a ? ?2 .
…………13 分

? a 的取值范围是 ?? 2,???.
21 解: (1)由已知得: 2a ? 6 ∴

a?3
·7·

a ? c ? 3? 2 2 ,c ? 2 2 ,b ? 1
∴ 椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ????????????4 分 9
不失一般性,设 k ? 0 则

(2)设 l AM : y ? k ( x ? 3) ∵ AM ? AN ? 0 , 由?

1 l AN : y ? ? ( x ? 3) k

? y ? k ( x ? 3) ? (9k 2 ? 1) x 2 ? 54k 2 x ? 81k 2 ? 9 ? 0 2 2 x ? 9 y ? 9 ?

0) 在 AM 上, 设 M ( x1,y1 ) ∵ 点 A(3,

81k 2 ? 9 ∴ 3x1 ? 9k 2 ? 1




27k 2 ? 3 x1 ? ?????6 分 9k 2 ? 1
6 9k ? 1
2

| AM |? 1 ? k 2 | 3 ? x1 |? 1 ? k 2 ?

1 用 ? 替换 k 得: k

| AN |? 1 ?

1 6 6k ? ? 1? k 2 ? 2 ????????? ?8 分 2 9 k k ?9 ?1 k2



S?

1 | AM | ? | AN | 2

?

1 36k (1 ? k 2 ) ? 2 2 (k ? 9)(9k 2 ? 1)

?

18k (1 ? k 2 ) 18k (1 ? k 2 ) ?????????10 分 ? 9k 4 ? 82k 2 ? 9 9(k 2 ? 1) 2 ? 64k 2
18 18 3 ? ? 9(k ? 1) 64k 2 9 ? 64 8 ? 2 k k ?1
2

?

当且仅当 64k ? 9(k ? 1) ,即: k ?
2 2 2

4? 7 成立. 3



S max ?

3 . ???????????????????????13 分 8
·8·

注:用其他方法求解,可酌情给分。 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·9·


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