6.3 不等式的证明---比较法


6.3 不等式的证明



已知 a, , ? R?,求证: 3 ? b3 ? c3 ? 3abc . b c a (当且仅当a ? b ? c 时取“ ”号) ?

? a3 ? b3 ? c3 ? 3abc 证明: ? (a ? b)3 ? c3 ? 3a2b ? 3ab2 ? 3abc ? (a ? b ? c)[(a ? b) ? (a ? b)c ? c ] ? 3ab(a ? b ? c)
2 2

? (a ? b ? c)[a ? 2ab ? b ? ac ? bc ? c ? 3ab]
2 2 2

? (a ? b ? c)(a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca)
? 1 (a ? b ? c)[(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2] ? 0 2

? a ? b ? c ? 3abc.
3 3 3

(当且仅当a ? b ? c 时取“ ”号) ?

作差比较法:

a?b?0 ? a ? b ?

? a?b ?0 ? a ? b ? a?b?0 ? a ? b
这三个结论也是非常有用的.

作差比较法:作差--变形--判断符号并得 出结论

b 例 1 已知 a、 是正数 ,且 a ? b , 求证: 3 ? b3 ? a 2b ? a b 2 . a (a3 ? b3 ) ? (a 2b ? a b2 ) 证明:

? (a3 ? a 2b ) ? (b3 ? a b2 )

? a(a 2 ? b2 ) ? b(b2 ? a 2 )

? (a ? b )(a ? b) ? (a ? b)(a ? b) 2
2 2

? a、 是正数,且 a ? b b

? (a ? b)2 ? 0 , ? b ? 0 , a
? (a ? b)(a ? b)2 ? 0

即 (a ? b ) ? (a b ? ab ) ? 0 ? a3 ? b3 ? a 2b ? a b2 .
3 3 2 2

例2:已知a, b ? R, 求证:a ? b ? ab ? a ? b ?1
2 2

a 2 ? b 2 ? (ab ? a ? b ? 1) 证明: 1 ? (a ? b) 2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? 0 2 ?a 2 ? b2 ? ab ? a ? b ?1且仅当a ? b ? 1时等号成立 .

?

?

另证:令y ? a ? (b ? 1)a ? b ? b ? 1
2 2

? ? (b ? 1)2 ? 4(b2 ? b ? 1) ? ?3(b ?1)2 ? 0

? a 2 ? b2 ? (ab ? a ? b ?1) ? 0

练习:求证:a 2 ? b2 ? 2 ? 2a ? 2b 1

例3 求证 x ? 3 ? 3x
2

? 证明: ( x ? 3) ? 3x
2

? x2 ? 3 ? 3x

? x ? 3x ? 3 3)2 ? 3 ? 3 ? 0 ? (x ? 2 4 4
2

证明二:令 ( x) ? x 2 ? 3x ? 3 f
? ? ? 32 ? 4 ? 3 ? 0

?对x ? R,都有f ( x) ? 0

即x 2 ? 3 ? 3x

注: 比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的方法,用比较法证明不等式的 步骤是:作差、变形、判断符号并得出 结论。

(1)对于二次多项式,常用配方法化为非负数的和的形式 或用判别式判断; (2)对于分式不等式常用通分的方法化为分式来考虑;

(3)其它情况一般化为因式积的形式来判断差值的符号。

b m 例 4 已知 a , , 都是正数,并且 a ? b , 求证:a ? m ? a . b?m b

?m 证明:? a ? m ? a b b
b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? b(b ? m) b(b ? m)

又 a , , 都是正数,且a ? b , b m

? b?m?0 , ?a ?0 b
m(b ? a) ? ?0 即 b(b ? m)

a?m ? a . b?m b

糖水加糖更甜

注: 比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的方法,用比较法证明不等式的 步骤是:作差、变形、判断符号。
作商比较法:

要证明 a ? b ,只要证明 a ? 1 且 b ? 0 ; b 要证明 a ? b ,只要证明 a ? 1 且 b ? 0 .
b

作业: 习题2.1: 4题 1—


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