2.4函数的奇偶性与周期性=====

第四节

函数的奇偶性与周期性
[备考方向要明了]

[归纳· 知识整合] 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数 图象特点

偶函数

关于 y 轴对称

奇函数

关于原点对称

[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什么条件?

2.若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,是否有 f(0)=0?如果是偶函数呢?

3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个?

2.周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有 f(x +T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期.

[探究] 4.若 T 为 y=f(x)的一个周期,那么 nT(n∈Z)是函数 f(x)的周期吗?

1

[自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( ①f(x)=2x +3x ; ②f(x)=x -2x; x2+1 ③f(x)= ;④f(x)=x3+1. x A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 )
4 2 3

)

2.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 5? 3.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?=( 1 A.- 2 1 C. 4 1 B.- 4 1 D. 2

)

4.若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. 5.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________.

考点一

判断函数的奇偶性

[例 1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)= 3-x2+ x2-3; (2)f(x)= 4-x2 ; |x+3|-3 (3)f(x)=(x+1) 1-x . 1+x

2

若将本例(1)改为“f(x)=

3-2x+ 2x-3”,试判断其奇偶性.

1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x ; 1+x
?x2+x?x>0?, ? (2)f(x)=? 2 ? ?x -x?x<0?;

(3)f(x)=

lg?1-x2? . |x2-2|-2

考点二

函数奇偶性的应用

[例 2] (1)已知 y=f(x)+x2 是奇函数, 且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2, 则 g(-1)=________. ?x+1?2+sin x (2)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________. x2+1

2.(1)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1) =( ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

(2)已知函数 f(x)在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且 f(3)<f(1),则 ( ) A.f(-1)<f(-3) C.f(-1)<f(1) B.f(0)>f(-1) D.f(-3)>f(-5)

3

考点三

函数的周期性及其应用

[例 3] (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x). 当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=( A.335 C.1 678 B.338 D.2 012 )

(2)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= ax+1,-1≤x<0, ? ? 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?bx+2 ?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ,0≤x≤1, ? ? x+1

3.(1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1) 时,f(x)=2x-1,则 f?

?

log 1 6? 的值为(
2

?

) B.-5 D.-6

5 A.- 2 1 C.- 2

(2)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函 数,那么 f(x)在[1,3]上是( A.增函数 C.先增后减的函数 ) B.减函数 D.先减后增的函数

4

? 2 个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要不充分条件. (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. ? 5 个性质——函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函 数的和(或差)”. (5)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ×奇=偶,偶+偶=偶,奇×偶=奇. ? 3 种方法——函数奇偶性的判断方法 判断函数的奇偶性一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. ? 3 条结论——关于函数周期性常用的结论 (1)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数 的一个周期(a≠0); (2)若满足 f(x+a)= 个周期(a≠0); 1 (3)若函数满足 f(x+a)=- ,同理可得 2a 是函数的一个周期(a≠0). f?x? 1 1 ,则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]= =f(x),所以 2a 是函数的一 f?x? f?x+a?

创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题

[典例] (辽宁高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时, 1 3 - , ?上的零点个数为( f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ? 2 2? A.5 C.7 B.6 D.8 )

[变式训练]
5

1.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 011)+f(2 012)=( A.1+log23 C.-1 )

B.-1+log23 D.1

2. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x∈R, 都有 f(x+2)=f(x). 当 0≤x≤1 时, f(x)=x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点, 则实数 a 的值是( A.0 1 1 C.- 或- 4 2 ) 1 B.0 或- 2 1 D.0 或- 4

6

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= x )

B.y=-x3 D.y=x|x| )

2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)=( A.0 C.2 B.1 D.3

f?x?+f?-x? 3.设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 >0 的解集为 x ( ) A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)


B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) )

?1-2 x,x≥0, ? 4.已知函数 f(x)=? x 则该函数是( ?2 -1,x<0, ?

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减 )

5. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

6. 函数 f(x)是周期为 4 的偶函数, 当 x∈[0,2]时, f(x)=x-1, 则不等式 xf(x)>0 在[-1,3] 上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) ) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b= ________. 8. 若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数, 且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), 则 f(-6)等于________. 2a-1 9.设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f(1)<1,f(2)= ,则 a 的取值 a+1 范围是________.

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)
7

10.函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 1? f(x? ?x-2?<0 的解集.

a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围.

8

12.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间.

9

1.若函数 f(x)=3x+3 x 与 g(x)=3x-3 x 的定义域均为 R,则(
- -

)

A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 2.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)等于( A.ex-e
-x

)

1 - B. (ex+e x) 2 1 - D. (ex-e x) 2

1 - C. (e x-ex) 2

3.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 C.8 4.定义在(-1,1)上的函数 f(x). (ⅰ)对任意 x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f? B.7 D.9 )

? x+y ?; ? ?1+xy?

(ⅱ)当 x∈(-1,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; 1? 1 ?1? ? 1 ? ? 1 ? (3)若 f? ?5?=2,试求 f?2?-f?11?-f?19?的值.

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