高中数学必修1教学课件:3.2.1 几类不同增长的函数模型_图文

3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型

必修1 第三章 函数的应用

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1.掌握常见增长函数的定义、 图象、性质,并体会其增长快 慢. 2.理解直线上升,对数增长, 指数爆炸的含义. 3.会分析具体的实际问题,建 模解决实际问题. 4.培养对数学模型的应用意识.

1.比较函数值的 大小.(重点) 2.三种函数模型 的性质比较.(易 混点) 3.利用几种简单 函数模型求解应 用题.(难点)
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必修1 第三章 函数的应用

(0,+∞) 1. 对数函数 f(x)=log2x, 在其定义域________ 增 填“增”或“减”)函数. 上是___( ?1? ? ?x 2.已知函数 f(x)与 g(x)=?2? 的图象关于 y 轴 ? ? 对称,则满足 f(x)>1 的 x 的取值范围为 (0,+∞) . _________

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3.某地的水电资源丰富,并且得到了电费 y(元)与用电量x(度)之间的函数关系如图所示: 60 元. 则月用电量为100度时,应交电费___

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1.三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+ ∞)上的增 减性 y= ax(a>1) _______ 增函数 y= logax(a>1) y= xn(n>0) _______ 增函数

增函数 _______

越来越快 _________ 越来越慢 相对平稳 增长的速度 ________
随x增大 与y 图象的变化 逐渐____ 轴平行 _______ 随x增大逐 随n值而 与x轴平 渐_______ 不同 行 __
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2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y= 增函数 ,但______ 增长速 logax(a>1)和y=xn(n>0)都是_______ 度 不同,且不在同一个“档次”上. ___ (2)随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越 快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度, 相对平稳. 而y=logax(a>1)的增长速度________ n ax > x (3)存在一个x0,当x>x0时,有____________ 0 0 >logax0 .

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1.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y= alog3(x+1),设第二年有100只,则到第八年 它们发展到( ) A.200只 B.400只 C.500只 D.600只 解析: 由已知第二年有100只,得100= alog33, ∴a=100,将a=100,x=8代入得 y=100×log3(8+1)=200.故选A. 答案: A
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2.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快 的应该是( ) A.y=100x B.y=log100x C.y=x100 D.y=100x 解析: 由于指数函数的增长是爆炸式的,则当 x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快. 答案: D

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3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间 t(年)的函数关系如图所示. 以下四种说法: ①前三年产量增长的速度越来越快; ②前三年产量增长的速度越来越慢; ③第三年后这种产品停止生产; ④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的序号是________.

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解析: 由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y= xα(0<α<1),反映了C随时间的变化而逐渐增长 但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知,总产 量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正 确. 答案: ②③

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4.下面给出几种函数随x取值而得到的函数值 列表:
x 0.2 0.6 1.0 2 1 0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 8 9 3.4 …

y=2x 1.149 1.516 y=x2 0.04 0.36

2.639 3.482 4.595 6.063 1.96 3.24 4.84 6.76

10.556 … 11.56 1.766 …

y= - - log2x 2.322 0.737

0.485 0.848 1.138 1.379 1.585



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问:(1)各函数随着x的增大,函数值有什么共 同的变化趋势? (2)各函数增长的快慢有什么不同? 解析: (1)随着x的增大,各函数的函数值都 增大. (2)y=2x开始增长的速度较慢,但随着x的增大 ,y增长速度越来越快;y=x2增长速度平衡;y =log2x开始增长速度稍快,但随x增大,y增长 速度越来越慢.

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函数模型的应用 某文具店出售软皮本和精美铅笔,软皮 本每本 2 元, 铅笔每支 0.5 元. 该店推出两种优 惠方法:(1)买一本软皮本赠送一支精美铅笔; (2)按总价的 92%付款.现要买软皮本 4 本,铅 笔若干(不少于 4 支),若购买铅笔数为 x(支), 支付款为 y(元),试分别建立两种优惠方法中, y 与 x 之间的函数关系式, 并说明哪种优惠方式 更合算.
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[题后感悟] (1)解答函数应用题,要分四步进 行: ①阅读,理解题意,引入变量x,y. ②建立函数模型,列出关于x,y的关系式. ③解答函数模型,求得结果. ④把数学结果转译成具体问题的结论,做出解 答. (2)建立函数模型时,要注意实际问题中的函数 定义域,如本题要求x≥4.

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1.为了发展电信事业方便用户, 电 信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中 所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范 围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元) 的关系如图所示.

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(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函 数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便 宜?
解析: (1)由图象可设 y1=k1x+29,y2=k2x, 1 把点 B(30,35), C(30,15)分别代入 y1, y2 得 k1= , 5 1 k2= . 2 1 1 ∴y1= x+29,y2= x. 5 2
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1 1 (2)令 y1=y2,即 x+29= x, 5 2 2 则 x=96 . 3 2 当 x=96 时,y1=y2,两种卡收费一致; 3 2 当 x<96 时,y1>y2,即便民卡便宜; 3 2 当 x>96 时,y1<y2,即如意卡便宜. 3

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指数增长的函数模型 某城市 2009 年底人口总数为 100 万人, 如果年平均增长率为 1.2%,试解答以下问题: (1)写出经过 x 年后,该城市人口总数 y(万人) 与 x 年的函数关系. (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人). (3)计算大约多少年以后, 该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年). (4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人, 年平均增长率应该控制在多少?
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参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127,lg 1.2≈0.079, lg 2≈0.301 0,lg 1.012≈0.005,lg 1.009≈0.003 9

解答本题先根据增长率的意义,列出y与x的 函数关系式,然后再求解相应问题.

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[解题过程] (1)2009年底人口总数为100万人, 经过1年,2010年底人口总数为100+ 100×1.2%=100×(1+1.2%)(万) 经过2年,2011年底人口总数为100×(1+ 1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+ 1.2%)2(万) 经过3年,2012年底人口总数为100×(1+ 1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+ 1.2%)3(万) …

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∴经过的年数x与(1+1.2%)的指数相同. ∴经过x年后,该城市人口总数为100×(1+ 1.2%)x(万) ∴y=100×(1+1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10 ≈112.7(万). (3)由题意得100×(1+1.2%)x>120 两边取常用对数得lg[100×(1+1.2%)x]>lg 120 整理得2+xlg 1.012>2+lg 1.2 x>≈≈16 ∴大约16年以后,该城市人口将达到120万人.

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(4)设该城市人口年平均增长率为 x. 则 100×(1+x)20≤120 两边取常用对数得 lg[100×(1+x)20]≤lg 120 即 2+20lg(1+x)≤2+lg 1.2 0.079 ∴lg(1+x)≤ =0.003 9=lg 1.009 20 ∴1+x≤1.009 x≤0.009=0.9% ∴如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人, 年平均增长率应该控制在 0.9%以内.

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[题后感悟] 递增率问题广泛存在于生产和生 活中,研究并解决这类问题是中学数学的重要 应用方向之一,这类问题解决的关键是理解 “递增率”的意义:递增率是所研究的对象在 “单位时间”内比它在“前单位时间”内的增 长率,切记并不总是只和开始单位时间内的值 比较.具体分析问题时,应严格计算并写出前 3~4个单位时间的具体值,通过观察、归纳出 规律后,再推广概括为数学问题,然后,求解 此数学问题.

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2.1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿 人口日”,提出了“人类对生育的选择将决定 世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫 任务摆在我们面前. (1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,每年人 口平均增长率是多少? (2)我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿, 若将人 口平均增长率控制在 1% 以内,我国人口在 2008 年底至多有多少亿?

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以下数据供计算时使用: 数N 对数 lgN 数N 对数 lgN 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000

0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0
3.000 5.000 12.48 13.11 13.78

0.477 1 0.699 0 1.091 2 1.117 6 1.139 2

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解析: (1)设每年人口平均增长率为 x,n 年 n 前的人口数为 y, 则 y· (1+x) =60.当 n=40 时, y=30, 即 30(1+x)40=60,所以(1+x)40=2, 两边取对数,则 40lg(1+x)=lg 2, lg 2 则 lg(1+x)= =0.007 526, 40 所以 1+x≈1.017,得 x=1.7%. (2)依题意,y≤12.48(1+1%)10, 得 lg y≤lg 12.48+10×lg 1.01=1.139 2, 所以 y≤13.78,故人口至多有 13.78 亿. 答:每年人口平均增长率为 1.7%,2008 年人口 至多有 13.78 亿.
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对数函数模型 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬, 研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度 Q 可以表示为函数 v=5log2 ,单位是 m/s,其中 10 Q 表示燕子的耗氧量. (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位; (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时, 它的飞 行速度是多少?

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由题目可获取以下主要信息:①已知飞行速度是 耗氧量的函数;②第(1)问知v,求Q;第(2)问知 Q,求v.解答本题的关键是给变量赋值.

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[解题过程]

(1)由题知,当燕子静止时,它的速 Q 度 v=0, 代入题中给出的公式可得: 0=5log2 , 10 解得 Q=10. 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位. (2)将耗氧量 Q=80 代入题中给出的公式得: 80 v=5log2 =5log28=15(m/s). 10 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞 行速度为 15 m/s.

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[题后感悟] 直接以对数函数为模型的应用问 题不是很多,此类问题一般是先给出对数函 数模型,利用对数运算性质求解.

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3.我们知道: 人们对声音有不同的感 觉,这与它的强度有关系.声音的强度用瓦 / 米 2(W/m2)表示,但在实际测量时,声音的强 度水平常用 L1 表示,它们满足以下公式:L1= I - 10lg (单位为分贝, L1≥0, 其中 I0=1×10 12, I0 是人们平均能听到的最小强度, 是听觉的开端).

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回答下列问题: (1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语 的强度是1×10-10 W/m2,恬静的无线电广播 的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的强 度水平. (2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所 的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试 求声音强度I的范围为多少?

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解析: 为

(1)由题意知:树叶沙沙声的强度水平

I2 L2=10lg =10lg 1=0(分贝); I0 耳语的强度水平为 I3 L3=10lg =10lg 102=20(分贝); I0 恬静的无线电广播的强度水平为 I4 L4=10lg =10lg 104=40(分贝); I0

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(2)由题意知 0≤L1<50, I 即 0≤10lg <50, I0 I -12 -7 5 所以 I≤ <10 ,即 1×10 ≤1<1×10 . I0 所以新建的安静小区的声音强度 I 大于等于 1×10-12 W/m2, 同时小于 1×10-7 W/m2.

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幂函数模型 众所周知,大包装商品的成本要比小包 装商品的成本低.某种品牌的饼干,其 100 克 装的售价为 1.6 元, 其 200 克装的售价为 3 元, 假定该商品的售价由三部分组成:生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润.生产成本(a 元)与 饼干重量成正比, 包装成本(b 元)与饼干重量的 算术平方根(估计值)成正比,利润率为 20%, 试写出该种饼干 1 000 克装的合理售价.

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[解题过程] 设饼干的重量为 x 克,则其售价 y( 元 ) 与 x( 克 ) 之间的函数关系式为 y = (ax + b x)(1+0.2). 由已知有 1.6=(100a+ 100b)(1+0.2), 4 即 =100a+10b. 3 又 3=(200a+ 200b)(1+0.2), 即 2.5≈200a+14.14b.

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∴0.167≈5.86b. ?b≈0.028 5 ∴? -2 . ?a≈1.05×10 ∴y=(1.05×10-2x+0.028 5 x)×1.2. 当 x=1 000 时,y≈13.7(元). ∴估计这种饼干 1 000 克装的售价为 13.7 元.

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[题后感悟] 解决此题的关键是分析清楚题意, 用待定系数法设出解析式将点(100,1.6),(200,3) 代入求出解析式,再将自变量代入,即可得到 答案.

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4.有甲、乙两种商品,经营销售这 两种商品能获得的利润依次是 P 和 Q(万元). 它 们与投入资金 x(万元)的关系有经验公式:P= 1 3 x,Q= x,今有 3 万元资金投入经营甲、乙 5 5 两种商品,为获取最大利润,对甲、乙两种商 品的资金投入应分别为多少?能获得最大利 润是多少?

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解析: 设对甲种商品投资 x 万元,则对乙种 商品投资(3-x)万元,总利润为 y 万元. 因为经营销售甲、乙两种商品所获利润 P、Q 1 与投入的资金 x(万元)的关系有经验公式: P= 5 3 x,Q= x, 5 1 3 所以 y= x+ 3-x(0≤x≤3). 5 5 令 t= 3-x(t≥0),则 x=3-t2.

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3? 1 3 1? 21 ? ?2 2 所以 y= (3-t )+ t=- ?t-2? + . 5 5 5? 20 ? 3 21 当 t= 时,ymax= =1.05(万元); 2 20 3 3 当 t= 时,x= =0.75(万元). 2 4 所以 3-x=2.25(万元). 由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商 品投入的资金分别为 0.75 万元和 2.25 万元, 总 共获得利润 1.05 万元.

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函数模型的选择和建立 (1)根据实际问题提供的两个变量的数量关系可 构建和选择正确的函数模型.同时,要注意利 用函数图象的直观性,作出散点图,来确定适 合题意的函数模型. (2)建立数学模型的三关 ①事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么 ,熟悉实际背景,为解题打开突破口;

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②文理关:将实际问题的文字语言转化为数学 的符号语言,用数学式子表达数学关系; ③数理关:在构建数学模型的过程中,对已有 的数学知识进行检索,从而认定或构建相应的 数学问题.

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◎某工厂转换机制,两年内生产的月增长率 都是a,则这两年内第二年某月的产值比第一 年相应月的增长率是多少?
【错解】 设第一年某月的产值为 b,则第二 年相应月的产值是 b(1+a)11,依题意所求增长 b(1+a)11-b 11 率是 =(1+a) -1 或把第二年相应 b 月的产值写成 b(1+a)13.

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【错因】 对增长率问题的公式y=N(1+P)x未 能理解透彻而造成指数写错,或者是由于审题 不缜密而造成题意的理解错误.若某月的产值 是b,则此月第x月后的产值是b(1+a)x,指数x 是基数所在时间后所跨过的时间间隔数.

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【正解】 不妨设去年 2 月份的产值是 b, 则 3 月份的产值是 b(a+1), 4 月份的产值是 b(1+a)2, 以此类推,到今年 2 月份是去年 2 月份后的第 12 个月,即一个时间间隔是一个月,而这里跨 过了 12 个月, 故今年 2 月份的产值是 b(1+a)12, 又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月 的产值比第一年相应月的增长率为: b(1+a)12-b 12 = (1 + a ) -1. b
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