www.jiba20.com:2019年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角

课标要求:1.理解平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求 数量积、向量的模及两向量的夹角.2.会用两个向量的坐标判断它们的 垂直关系.

自主学习
知识探究
1.两向量数量积的坐标表示 设两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=___x_1_x_2+_y_1_y_2_____________. 2.向量模的坐标表示
(1)若 a=(x,y),则︱a︱=___x2_?_y_2 __.
(2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么
︱a︱=____(x_1 ?_x_2)2_?_(y_2 ?_y_1)_2 _____.

探究:向量的模的坐标运算实质是什么? 提示:向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离, 如 a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点 A(x,y),使得 OA =a=(x,y),所 以︱ OA ︱=︱a︱= x2 ? y2 ,即︱a︱为点 A 到原点的距离.同样若
A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1),所以︱ AB ︱= (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 , 即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量的模的运算实质即 为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.

3.两向量垂直的坐标表示 非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?___x_1_x_2+_y_1_y_2_=_0_____. 4.向量夹角的坐标表示

若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),两向量的夹角为θ ,则 cos θ = a ? b =

x1x2 ? y1y2

ab

____x12_?_y_12__x_22 _?_y2_2 ___.

【拓展延伸】

(1)公式a·b=︱a︱︱b︱cos<a,b>与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数 量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题

目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=︱a︱︱b︱

cos<a,b>求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.

(2)当 x1x2+y1y2<0 时,θ∈( π ,π];当 x1x2+y1y2>0 时,θ∈[0, π );当 x1x2+

2

2

y1y2=0 时,θ= π ,所以可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的范围、三角形 2
的形状等.

(3)已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示如下: a∥b?x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0; a⊥b?x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0. 两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵 积相反.
(4)垂直向量的坐标之间的关系:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为坐标平面内的
三个点,则 AB ⊥ AC ? AB · AC =0?(x3-x1)(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.

(5)用坐标表示向量 b 在向量 a 方向上的投影 由于向量 b=(x2,y2)在向量 a=(x1,y1)方向上的投影为︱b︱cos θ= a ? b ,从而向
a 量 b 在向量 a 方向上的投影的坐标表示为 x1x2 ? y1y2 .
x12 ? y12

自我检测

1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c等于( C )

(A)(-15,12) (B)0

(C)-3 (D)-11

解析:因为a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2), 所以(a+2b)·c=(1-6,-2+8)·(3,2) =-15+12=-3.故选C.

2.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a·b)b,则︱c︱等于( D ) (A)4 2 (B)2 5 (C)8 (D)8 2
解析:易得 a·b=2×(-1)+4×2=6, 所以 c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8), 所以︱c︱= 82 ? (?8)2 =8 2 .故选 D.

3.已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量λ a+b 与 a-2b 垂直,则实数λ 的值为( A )

(A)- 1 (B) 1

7

7

(C)- 1 (D) 1

6

6

4.给出下列命题:

①向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2); ②︱︱的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的;

③非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0,反之,若非

零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角.

其中正确的命题有

.

答案:②

5.已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 AB 在 CD 方向上的投影



.

答案: 3 2 2

课堂探究

题型一 平面向量数量积的坐标运算

【例 1】 (1)已知点 A(1,-2),若向量 AB 与 a=(2,3)同向,且︱ AB ︱=2 13 ,则 点 B 的坐标为( )

(A)(5,-4)

(B)(4,5) (C)(-5,-4) (D)(5,4)

(1)解析:设 B(x,y),则 AB =(x-1,y+2),由 AB 与 a=(2,3)同向,

所以 3(x-1)=2(y+2),

①又︱ AB ︱=2 13 ,

所以 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 =2 13 ,②联立①②解得 x-1=4 且 y+2=6,所以 x=5 且 y=4,

故 B(5,4),选 D.

(2)已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: ①a·b; ②(a+b)·(2a-b); ③(a·b)c.
(2)解:①a·b=1×2+3×5=17. ②因为a+b=(3,8),2a-b=2(1,3)-(2,5)=(0,1), 所以(a+b)·(2a-b)=3×0+8×1=8. ③(a·b)c=17c=17(2,1)=(34,17).

变式探究:把(2)中条件“c=(2,1)”变为“c=(2,k)”且“(a-c)⊥b”,求实 数k.
解:因为 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,k), 所以 a-c=(-1,3-k), 又(a-c)⊥b, 所以-1×2+(3-k)×5=0,
所以 k= 13 . 5

方法技巧 数量积运算的注意点及运算思路 (1)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函数、方程等 知识的联系. (2)向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相 互补充.

即时训练1-1:设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则 (a+b)·(a-c)等于( ) (A)-3 (B)5 (C)-5 (D)15
解析:由a⊥c知2x-4=0得x=2, 由b∥c知1×(-4)-2y=0得y=-2, (a+b)·(a-c)=a2-a·c+a·b-b·c=-5. 故选C.

题型二 向量的模的问题 【例 2】 (1)设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则︱2a-b︱等于( ) (A)4 (B)5 (C)3 5 (D)4 5
解析:(1)由 y+4=0 知 y=-4,b=(-2,-4), 所以 2a-b=(4,8), 所以︱2a-b︱=4 5 .故选 D.
答案:(1)D

(2)已知向量a=(2,-1),a+2b=(6,3),b·c=14,︱c︱=5,则向量c的坐标为 .

解析:(2)因为 2b=(a+2b)-a=(6,3)-(2,-1)=(4,4),所以 b=(2,2).设 c=(x,y),



??2x ? 2

? ??

x2 ?

y ? 14, y2 ? 5,

解得

?x

? ?

y

? ?

3, 4



?x

? ?

y

? ?

4, 3,

所以

c=(3,4)或

c=(4,3).

答案:(2)(3,4)或(4,3)

题后反思 (1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标,再求模. (2)已知向量的模求坐标,要设出坐标列方程(组)求解.

即时训练 2-1:设平面向量 a=(cos α ,sin α )(0≤α <2π ),b=(- 1 , 3 ), 22
且 a 与 b 不共线. (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直;

(1)证明:因为 a=(cos α,sin α),b=(- 1 , 3 ),所以 a+b=(cos α- 1 ,sin α+

22

2

3 ),a-b=(cos α+ 1 ,sin α- 3 ),所以(a+b)·(a-b)=(cos α- 1 )(cos α+ 1 )

2

2

2

2

2

+(sin α+ 3 )(sin α- 3 )=cos2α- 1 +sin2α- 3 =1-1=0,所以(a+b)⊥(a-b),即向

2

2

4

4

量 a+b 与 a-b 垂直.

(2)若两个向量 3 a+b 与 a- 3 b 的模相等,求角α .

(2)解:因为︱ 3 a+b︱=︱a- 3 b︱,所以( 3 a+b)2=(a- 3 b)2,即 3a2+

2 3 a·b+b2=a2-2 3 a·b+3b2,又︱a︱= cos2 ? ? sin2 ? =1,︱b︱= 1 ? 3
44

=1,所以 a·b=0,所以- 1 cos α+ 3 sin α=0,即 tan α= 3 ,又 0≤α<2π,

2

2

3

所以α= π 或 7π . 66

题型三 向量的夹角(垂直)问题 【例 3】 (1)已知向量 a=(1, 3 ),b =(3,m).若向量 a,b 的夹角为 π ,则实数
6 m 等于( ) (A)2 3 (B) 3 (C)0 (D)- 3

解析:(1)因为 a=(1, 3 ),b=(3,m),所以︱a︱=2,︱b︱= 9 ? m2 ,

a·b=3+ 3 m,又 a,b 的夹角为 π ,所以 a ? b =cos π ,即 3 ? 3m = 3 ,

6

ab

6 2 9 ? m2 2

所以 3 +m= 9 ? m2 ,解得 m= 3 .故选 B.

(2)已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),︱c︱= 5 ,若(c-b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹角 2
为( ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°

解析:(2)由 a·b=-10,得(c-b)·a=c·a-b·a=c·a+10= 15 ,所以 2

c·a=- 5 .设 a 与 c 的夹角为θ,则 cos θ= a ? c =

?5 2

=- 1 .

2

a c 5? 5 2

因为θ∈[0°,180°],所以θ=120°.故选 C.

即时训练3-1:已知a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角的余弦;
解:(1)因为 a·b=4×(-1)+3×2=2, ︱a︱= 42 ? 32 =5, ︱b︱= (?1)2 ? 22 = 5 , 所以 cos θ= a ? b = 2 = 2 5 .
a b 5 5 25

(2)若(a-λ b)⊥(2a+b),求实数λ 的值.
解:(2)因为 a-λb=(4+λ,3-2λ), 2a+b=(7,8), 又(a-λb)⊥(2a+b), 所以 7(4+λ)+8(3-2λ)=0,所以λ= 52 .
9


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