2011年全国高中数学联赛试题及解答

2011 年全国高中数学联合竞赛 第一试 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.设集合 A ? ?a1 , a2 , a3 , a4? ,若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? ??1,3,5,8? ,则 集合 . 2.函数 f ( x) ? x2 ? 1 的值域为 x ?1 . 3.设为正实数, 1 1 2 3 ? ? 2 2 , ? a ? b ? ? 4 ? ab ? ,则 a b . 4.如果 cos5 ? ? sin 5 ? ? 7 ? sin 3 ? ? cos3 ? ? , ? ? ?0, 2? ? ,那么的取值范围是 . 5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有 人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 . (用数字作答) 6.在四面体中,已知 ?ADB ? ?BDC ? ?CDA ? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则四面体的外接球 的半径为 . 7.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点,C 为抛物线上的一点,?ACB ? 90? ,则点 C 的坐标为 . n ? 8.已知 an ? C200 ? ? 3 6 200 ? n ? 1 ? ?? ? ? n ? 1, 2, ? 2? n ,95? ,则数列 ?an ? 中整数项的个数为 . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ? b ?1 ? 9. 设函数 f ( x) ? lg ? x ? 1? , 实数 a, b ? a ? b ? 满足 f ? a ? ? f ? ? 求 a, b ? ,f ?10a ? 6b ? 21? ? 4lg 2 , ? b?2? 的值. 10.已知数列满足: a1 ? 2t ? 3 ? t ? R且t ? ?1? , an ?1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较与的大小. ? 2t ? n ?1 ? 3? an ? 2 ? t ? 1? t n ? 1 an ? 2t n ? 1 ?n ? N? . 1 x2 y 2 ? 1 交于 A、B 两点(如图所示) 11.作斜率为 的直线 l 与椭圆 C: ? ,且 P 3 2, 2 在直线 l 的 36 4 3 左上方. (1)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△PAB 的面积. ? ? 加 试 一、 (本题满分 40 分)如图,P,Q 分别是圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的中点.若 ?BPA ? ?DPA ,证明: ?AQB ? ?CQB . 二、 (本题满分 40 分)证明:对任意整数,存在一个次多项式 f ? x ? ? xn ? an?1 xn?1 ? ? a1 x ? a0 具有如下性质: (1) a0 , a1 , , an?1 均为正整数; , rk ,均有 (2)对任意正整数,及任意 k ? k ? 2 ? 个互不相同的正整数 r1 , r2 , f ? m ? ? f ? r ?1 f ? r2 ? f ? rk ? . 三、 (本题满分 50 分)设 a1 , a2 , a j ? ai ak ? a j , an ? n ? 4 ? 是给定的正实数, a1 ? a2 ? ? an .对任意正实数,满足 ? r ?1 ? i ? j ? k ? n ? 的三元数组 ? i, j, k ? 的个数记为 f n ? r ? . 证明: f n ? r ? ? n2 . 4 四、 (本题满分 50 分)设 A 是一个 3 ? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A 中的 一个 m ? n ?1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9 ? 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个的 小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数的最大值.

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