2017届广西桂林市全州高中高三上学期10月月考数学试卷(文科)(解析版)


2016-2017 学年广西桂林市全州高中高三(上)10 月月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.已知集合 A=﹛直线﹜,B=﹛双曲线﹜,则 A∩B 中元素个数为( ) A.0 B.1 C .2 D.0 或 1 或 2 2.复数 z=3+ ,则 等于( D.4﹣i ) )

A.3+i B.3﹣i C.4+i

3.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a2+a8=6,则 S9=( A. B.27 C.54 D.108

4.若 f(x)=2015sinx﹣2016cosx 的一个对称中心为(a,0) ,则 a 的值所在区间可以是( A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )



5.下列说法正确的是( ) A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B.若 p:? x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x2﹣x﹣1<0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“若 α= ,则 sinα= ”的否命题是“若 α≠ ,则 sinα≠ ” )

6.一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形,该四棱锥的体积等于(

A.

B.2

C .3

D.6 的单调递增区间为( ) D. (﹣∞,1]

7.函数 y= A.[ ,+∞)

B. (﹣∞, ]

C.[2,+∞)

8.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x) ,f′(0)>0,对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,则 的最小值为( A.3 B. ) C .2 D. ,则输出的 k 值是( )

9.阅读如图所示的程序框图,若输入 a=

1页

A.9 B.10 C.11 D.12 10.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1,则( ) A.a,b,c 成等差数列 B.a,b,c 成等比数列 C.a,c,b 成等差数列 D.a,c,b 成等比数列 11.如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于 x 轴的直线 l:x=t(0≤t ≤a)经过原点 O 向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y(图中阴影部分) ,若函数 y=f(t) 的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是( )

A.

B.

C.

D.

12.已知实数 a,b,c,d 满足 小值为( ) A.8 B.10 C.12

=

=1 其中 e 是自然对数的底数,则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最

D.18

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上. 13.函数 的图象恒过定点 P,P 在幂函数 f(x)的图象上,则 f(9)= .

14.设 x,y 满足



=(2x﹣y,m) , =(﹣1,1)}
2页

,若 ∥ ,则 m 的最大值为



15.若曲线 C1:y=ax3﹣6x2+12x 与曲线 C2:y=ex 在 x=1 处的两条切线互相垂直,则实数 a 的值为 . 16.将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下:0001,0002,0003,…,1000,若从中抽取一个容量为 50 的样本,按照系统抽样的方法分成 50 个部分,如果第一部分编号为 0001,0002,0003,…,0020,第一部 分随机抽取一个号码为 0015,则抽取的第 3 个号码为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知 =(2cosx,﹣ sin2x) , =(cosx,1) ,令函数 f(x)= ? , (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间. ? =3,求边 b 和 c 的 (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,f(A)=﹣1,a= , 值(b>c) . 18.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=2,S△ABC= ,求 b 的值. =﹣ .

19.设数列 {an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*.已知 a1=1,a2= ,a3= ,且当 n≥2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣
1.

(1)求 a4 的值; (2)证明:{an+1﹣ an}为等比数列; (3)求数列{an}的通项公式. 20.已知函数 f(x)= .

(I)若曲线 f(x)在(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行,求函数 f(x)的单调区间; (II)当 f(x)的最大值大于 1﹣ 时,求 a 的取值范围.

21.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对于? x∈R,都有 f(﹣x)=f(x)成立. (1)若 x≥0 时,f(x)=( )x,求不等式 f(x)> 的解集; (2)若 f(x+1)是偶函数,且当 x∈[0,1]时,f(x)=2x,求 f(x)在区间[2015,2016]上的解析式. 请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.[选修 4-1 几何证明选讲] 22.如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 M,E 是 CD 延长线上一点,AB=10,CD=8,3ED=4OM, EF 切圆 O 于 F,BF 交 CD 于 G. (1)求证:△EFG 为等腰三角形; (2)求线段 MG 的长.

3页

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t 是参数) ,以原点 O 为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cos(θ+ (Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设 f(x)=|x﹣1|+|x+1|. (1)求 f(x)≤x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≥

) .

对任意实数 a≠0 恒成立,求实数 x 的取值范围.

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2016-2017 学年广西桂林市全州高中高三(上)10 月月考数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.已知集合 A=﹛直线﹜,B=﹛双曲线﹜,则 A∩B 中元素个数为( ) A.0 B.1 C .2 D.0 或 1 或 2 【考点】交集及其运算. 【分析】根据交集的定义进行计算即可. 【解答】解:集合 A=﹛直线﹜, B=﹛双曲线﹜, 所以 A∩B=?, 所以 A∩B 中元素个数为 0. 故选:A.

2.复数 z=3+

,则 等于( D.4﹣i



A.3+i B.3﹣i C.4+i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】根据复数共轭的定义以及复数的几何意义,即可得到结论. 【解答】解:z=3+ 故 =3﹣i, 故选:B 3.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a2+a8=6,则 S9=( A. B.27 C.54 D.108 ) =3+ =3+ =3+ =3+i,

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】根据所给的项 a2,a8 的下标特点,和所求和的下标特点,可以根据等差数列性质,利用 a2+a8=2a5, 求出 a5,而 S9=9a5,问题获解. 【解答】解:根据等差数列性质,可得 a2+a8=2a5=6,∴a5=3, 根据等差数列和的性质可得,S9=9a5=27. 故选:B. 4.若 f(x)=2015sinx﹣2016cosx 的一个对称中心为(a,0) ,则 a 的值所在区间可以是( A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , ) )

【考点】正弦函数的图象. 【分析】令 f(a)=0,求得 tana= ∈(1, ) ,可得 a 的范围.

【解答】解:∵f(x)=2015sinx﹣2016cosx 的一个对称中心为(a,0) ,
5页

∴令 f(a)=2015sina﹣2016cosa=0,求得 tana= ∴a∈( 故选:B. 5.下列说法正确的是( ) A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 , ) ,

∈(1,

) ,

B.若 p:? x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x2﹣x﹣1<0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“若 α= ,则 sinα= ”的否命题是“若 α≠ ,则 sinα≠ ”

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】利用充要条件判断 A 的正误;命题的否定判断 B 的正误;复合命题的真假判断 C 的正误;否命 题的关系判断 D 的正误; 【解答】解:对于 A,“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件,显然不正确,如果函数的定义域 中没有 0,函数可以是奇函数例如,y= ,∴A 不正确; 对于 B,若 p:? x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x2﹣x﹣1≤0,∴B 不正确; 对于 C,若 p∧q 为假命题,则 p,q 一假即假命,∴C 不正确; 对于 D,“若 α= 故选:D. 6.一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形,该四棱锥的体积等于( ) ,则 sinα= ”的否命题是“若 α≠ ,则 sinα≠ ”,满足否命题的形式,∴D 正确;

A.

B.2

C .3

D.6

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据已知三视图,我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥,结合三视图中标识的数据, 我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高,代入棱锥体积公式即可得到答案. 【解答】解:由已知三视图我们可得: 棱锥以俯视图为底面 以侧视图高为高 由于侧视图是以 2 为边长的等边三角形,故 h= 结合三视图中标识的其它数据, S 底面= ×(1+2)×2=3 故 V= ×3× =
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故选 A

7.函数 y= A.[ ,+∞)

的单调递增区间为( B. (﹣∞, ]

) D. (﹣∞,1]

C.[2,+∞)

【考点】复合函数的单调性. 【分析】令 t(x)=x2﹣3x+2≥0,求得函数的定义域为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) ,且函数 y= ,本题 即求二次函数 t(x)在(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)上的增区间.再利用二次函数的性质可得 t(x)在(﹣∞, ﹣1]∪[2,+∞)上的增区间. 【解答】解:令 t(x)=x2﹣3x+2≥0,求得 x≤1,或 x≥2,故函数的定义域为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) , 且函数 y= , 故本题即求二次函数 t(x)在(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)上的增区间. 再利用二次函数的性质可得 t(x)在(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)上的增区间为[2,+∞) , 故选:C. 8.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x) ,f′(0)>0,对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,则 的最小值为( A.3 B. ) C .2 D.

【考点】导数的运算. 【分析】先求导,由 f′(0)>0 可得 b>0,因为对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,所以结合二次函数的图 象可得 a>0 且 b2﹣4ac≤0,又因为 【解答】解:∵f'(x)=2ax+b, ∴f'(0)=b>0; ∵对于任意实数 x 都有 f(x)≥0, ∴a>0 且 b2﹣4ac≤0, ∴b2≤4ac, ∴c>0; ∴ 当 a=c 时取等号. 故选 C. , ,利用均值不等式即可求解.

9.阅读如图所示的程序框图,若输入 a=

,则输出的 k 值是(



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A.9

B.10

C.11

D.12

【考点】程序框图. 【分析】根据程序框图的流程,计算运行 n 次的结果,根据输入 a= 出的 k 值 【解答】解:由程序框图知第一次运行 s=0+ 第二次运行 s=0+ … ∴第 n 次运行 s=0+ = ×(1﹣ 当输入 a= 故选:C 10.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1,则( A.a,b,c 成等差数列 B.a,b,c 成等比数列 C.a,c,b 成等差数列 D.a,c,b 成等比数列 ) )= + , +…+ = ×[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ ) + ,k=3; ,k=2; ,判断 n 满足的条件,从而求出输

时,由 n>a 得 n>9,程序运行了 10 次,输出的 k 值为 11.

【考点】正弦定理;等比关系的确定. 【分析】把已知的等式变形后,利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简,再利用和差化积公式变形后, 利用正弦定理可得出 ac=b2,进而确定出 a,b,c 成等比数列. 【解答】解:由 cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1 变形得:cosB+cos(A﹣C)=1﹣cos2B, ∵cosB=cos[π﹣(A+C)]=﹣cos(A+C) ,cos2B=1﹣2sin2B, ∴上式化简得:cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sin2B, ∴﹣2sinAsin(﹣C)=2sin2B,即 sinAsinC=sin2B, 由正弦定理 = = 得:ac=b2,
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则 a,b,c 成等比数列. 故选 B 11.如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于 x 轴的直线 l:x=t(0≤t ≤a)经过原点 O 向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y(图中阴影部分) ,若函数 y=f(t) 的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】直接利用图形的形状,结合图象,判断不满足的图形即可. 【解答】解:由函数的图象可知,几何体具有对称性, 选项 A、B、D,l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y,在中线位置前,都是先慢后快,然后相反. 选项 C,后面是直线增加,不满足题意; 故选:C、

12.已知实数 a,b,c,d 满足 小值为( ) A.8 B.10 C.12

=

=1 其中 e 是自然对数的底数,则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最

D.18

【考点】两点间距离公式的应用. 【分析】由已知得点(a,b)在曲线 y=x﹣2ex 上,点(c,d)在曲线 y=2﹣x 上, (a﹣c)2+(b﹣d)2 的 几何意义就是曲线 y=x﹣2ex 到曲线 y=2﹣x 上点的距离最小值的平方.由此能求出(a﹣c)2+(b﹣d)2 的 最小值. 【解答】解:∵实数 a,b,c,d 满足 = =1,∴b=a﹣2ea,d=2﹣c,

∴点(a,b)在曲线 y=x﹣2ex 上,点(c,d)在曲线 y=2﹣x 上, (a﹣c)2+(b﹣d)2 的几何意义就是曲线 y=x﹣2ex 到曲线 y=2﹣x 上点的距离最小值的平方. 考查曲线 y=x﹣2ex 上和直线 y=2﹣x 平行的切线, ∵y′=1﹣2ex,求出 y=x﹣2ex 上和直线 y=2﹣x 平行的切线方程, ∴令 y′=1﹣2ex=﹣1, 解得 x=0,∴切点为(0,﹣2) , 该切点到直线 y=2﹣x 的距离 d= 故(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值为 d2=8. 故选:A. =2 就是所要求的两曲线间的最小距离,

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上. 13.函数 的图象恒过定点 P,P 在幂函数 f(x)的图象上,则 f(9)= .

【考点】对数函数的图象与性质;幂函数的性质. 【分析】欲求函数 的图象恒过什么定点,只要考虑对数函数 f(x)=logax(a>0,a

≠1)的图象恒过什么定点即可知,故只须令 x=2 即得,再设 f(x)=xα,利用待定系数法求得 α 即可得 f (9) . 【解答】解析:令 设 f(x)=xα,则 所以 故答案为: . , , ,即 ; ;

14.设 x,y 满足



=(2x﹣y,m) , =(﹣1,1)}

,若 ∥ ,则 m 的最大值为 6



【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.

【分析】由 ∥ ,可得 y=2x+m.画出可行域

,可得直线 y=2x+m 经过点 A 时,m 取得最大

值. 【解答】解:∵ ∥ , ∴2x﹣y+m=0,即 y=2x+m.

画出可行域



联立

,解得 x=1,y=8.

∴A(1,8) , 则直线 y=2x+m 经过点 A 时,m 取得最大值. m=8﹣2=6. 故答案为:6.

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15. y=ax3﹣6x2+12x 与曲线 C2: y=ex 在 x=1 处的两条切线互相垂直, 若曲线 C1: 则实数 a 的值为 ﹣



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】分别求出两个函数的导函数,求得两函数在 x=1 处的导数值,由题意知两导数值的乘积等于﹣1, 由此求得 a 的值. 【解答】解:由 y=ax3﹣6x2+12x,得 y′=3ax2﹣12x+12, ∴y′|x=1=3a, 由 y=ex,得 y′=ex, ∴y′|x=1=e. ∵曲线 C1:y=ax3﹣6x2+12x 与曲线 C2:y=ex 在 x=1 处的切线互相垂直, ∴3a?e=﹣1,解得:a=﹣ 故答案为:﹣ . .

16.将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下:0001,0002,0003,…,1000,若从中抽取一个容量为 50 的样本,按照系统抽样的方法分成 50 个部分,如果第一部分编号为 0001,0002,0003,…,0020,第一部 分随机抽取一个号码为 0015,则抽取的第 3 个号码为 0055 . 【考点】系统抽样方法. 【分析】 根据系统抽样的特征, 从 1000 名学生从中抽取一个容量为 50 的样本, 抽样的分段间隔为 可得抽取的第 3 个号码. 【解答】解:∵从 1000 名学生从中抽取一个容量为 50 的样本, ∴系统抽样的分段间隔为 =20, =20,

∵第一部分随机抽取一个号码为 0015, ∴抽取的第二个编号为 0035, ∴抽取的第三个编号为 0055. 故答案为:0055. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知 =(2cosx,﹣ sin2x) , =(cosx,1) ,令函数 f(x)= ? , (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间. ? =3,求边 b 和 c 的 (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,f(A)=﹣1,a= , 值(b>c) .
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【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)由题意结合数量积和三角函数的运算可得可得 f(x)解析式,利用周期公式可求周期,利用 余弦函数的单调性可求单调递减区间; (2)由(1)结合已知及余弦函数的图象可得 A 值,利用平面向量数量积的运算可求 bc=6,进而利用余弦 定理可求 b+c=5,联立即可解得 b,c 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵f(x)= ? =2cos2x﹣ sin2x=1+cos2x﹣ sin2x=1+2cos(2x+ ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴f(x)的最小正周期 T=π, ∵y=cosx 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, ∴2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,k∈Z,得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,

∴f(x)的单调减区间为[kπ﹣ (2)f(A)=1+2cos(2A+ ∴cos(2A+ )=﹣1,

],k∈Z,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

)=﹣1,

又∵0<A<π, ∴ ∵ <2A+ ? < ,∴2A+ =π,∴A= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

=3,即 bc=6,由 a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc, 即 7=(b+c)2﹣18,b+c=5, 又∵b>c, ∴b=3,c=2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

18.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=2,S△ABC= ,求 b 的值.

=﹣



【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)利用正弦定理、和差公式即可得出; (2)利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出. 【解答】解: (1)在△ABC 中,∵ =﹣ ,由正弦定理可得: =﹣ .

化为:2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 2sinAcosB+sin(C+B)=0, ∴2sinAcosB+sinA=0, ∵sinA≠0, ∴cosB=﹣ ,又 B∈(0,π) ,∴B= (2)∵ = . ,

∴ac=1. ∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2+ac=(a+c)2﹣ac=3,
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19.设数列 {an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*.已知 a1=1,a2= ,a3= ,且当 n≥2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣
1.

(1)求 a4 的值; (2)证明:{an+1﹣ an}为等比数列; (3)求数列{an}的通项公式. 【考点】数列递推式. 【分析】 (1)直接在数列递推式中取 n=2,求得 ;

(2)由 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1(n≥2) ,变形得到 4an+2+an=4an+1(n≥2) ,进一步得到



由此可得数列{ (3)由{

}是以 }是以

为首项,公比为 的等比数列; 为首项,公比为 的等比数列,可得 .进

一步得到 {an}的通项公式.

,说明{

}是以

为首项,4 为公差的等差数列,由此可得数列

【解答】 (1)解:当 n=2 时,4S4+5S2=8S3+S1,即 解得: ;



(2)证明:∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1(n≥2) ,∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn(n≥2) , 即 4an+2+an=4an+1(n≥2) , ∵ ,∴4an+2+an=4an+1.



=



∴数列{

}是以

=1 为首项,公比为 的等比数列; }是以 为首项,公比为 的等比数列,

(3)解:由(2)知,{ ∴ .





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∴{

}是以

为首项,4 为公差的等差数列,



,即



∴数列{an}的通项公式是



20.已知函数 f(x)=



(I)若曲线 f(x)在(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行,求函数 f(x)的单调区间; (II)当 f(x)的最大值大于 1﹣ 时,求 a 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (I)求导数,据题意 k=f′(1)=0,解得 a 值,再在定义域内解不等式 f′(x)>0,f′(x)<0 即 可; (II)f(x)的最大值大于 1﹣ 等价于 lna2+a2<1,构造函数可判断 a 的取值范围;

【解答】解:由已知有 ( I)因为 f'(1)=0 所以 a2=1,即



得 x=1;

因此函数 f(x)的单调增区间为(0,1) ,单调减区间为(1,+∞) . ( II)令 f'(x)=0 得 则函数 f(x)的在区间 即 f(x)在 , 单调递增,在区间 .单调递减; ;

处取得最大值,最大值为 等价于 lna2+a2<1…(*) ;

因此 f(x)的最大值大于 1﹣

令 t=a2(t>0) ,构造函数 g(t)=lnt+t,则(*)式等价于 g(t)=lnt+t<1; 因为函数 g(t)=lnt+t 在(0,+∞)为增函数且 g(1)=1, 所以当 0<t<1 时有 g(t)<1,当 t>1 时有 g(t)>1; 即 lna2+a2<1…(*)等价于 0<a2<1 即﹣1<a<0 或 0<a<1; 因此当 f(x)的最大值大于 1﹣ 时,a 的取值范围(﹣1,0)∪(0,1) .

21.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对于? x∈R,都有 f(﹣x)=f(x)成立. (1)若 x≥0 时,f(x)=( )x,求不等式 f(x)> 的解集; (2)若 f(x+1)是偶函数,且当 x∈[0,1]时,f(x)=2x,求 f(x)在区间[2015,2016]上的解析式. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的性质. 【分析】 (1)由题意求出 f(x)在定义域为 R 上的解析式,再求解 f(x)> 的解集;
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(2)由 f(x+1)是偶函数,可得 f(x)是周期为 1 的函数.当 x∈[0,1]时,f(x)=2x,可以得出 f(x) 在区间[2015,2016]上的解析式. 【解答】解:由题意:函数 f(x)的定义域为 R,且对于? x∈R,都有 f(﹣x)=f(x)成立. ∴f(x)是偶函数. (1)当 x≥0 时,f(x)=( )x, 那么:x<0 时,则﹣x>0, f(﹣x)=( )﹣x, ∵f(﹣x)=f(x) , 故得 x<0 时,f(x)=( )﹣x, ∴f(x)在定义域为 R 上的解析式 f(x)= 不等式 f(x)> 转化为: ∴|x|<2, 解得:﹣2<x<2, ∴不等式 f(x)> 的解集为{x|﹣2<x<2}. (2)由 f(x+1)是偶函数,可得 f(x)是周期为 1 的函数.即 f(x+1)=f(x) ,当 x∈[0,1]时,f(x) x =2 , ∵x∈[2015,2016]上, 那么:x﹣2015∈[0,1]上; ∴f(x)=2x﹣2015; 故得 f(x)在区间[2015,2016]上的解析式 f(x)=2x﹣2015; 请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.[选修 4-1 几何证明选讲] 22.如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 M,E 是 CD 延长线上一点,AB=10,CD=8,3ED=4OM, EF 切圆 O 于 F,BF 交 CD 于 G. (1)求证:△EFG 为等腰三角形; (2)求线段 MG 的长. , ,

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 AF,OF,则 A,F,G,M 共圆,∠FGE=∠BAF,证明∠EFG=∠FGE,即可证明:△ EFG 为等腰三角形; (2)求出 EF=EG=4 ,连接 AD,则∠BAD=∠BFD,即可求线段 MG 的长. 【解答】 (1)证明:连接 AF,OF,则 A,F,G,M 共圆,∴∠FGE=∠BAF ∵EF⊥OF,
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∴∠EFG=∠BAF, ∴∠EFG=∠FGE ∴EF=EG, ∴△EFG 为等腰三角形; (2)解:由 AB=10,CD=8 可得 OM=3, ∴ED= OM=4EF2=ED?EC=48, ∴EF=EG=4 , 连接 AD,则∠BAD=∠BFD, ∴MG=EM﹣EG=8﹣4 .

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t 是参数) ,以原点 O 为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cos(θ+

) .

(Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)由直线的参数方程消去 t 得直线的直角坐标方程,化圆的极坐标方程为直角坐标方程,再由 圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系; (Ⅱ)设出曲线 C 上的点的参数方程,由 x+y=sinθ+cosθ,利用两角和的正弦化简后可得 x+y 的取值范围.

【解答】解: (Ⅰ)由

,消去 t 得:y=x+



由 ∴ 化为标准方程得:

,得 ,即 .

,即 .



圆心坐标为 ∴直线 l 与曲线 C 相离;

,半径为 1,圆心到直线 x﹣y+

=0 的距离 d=

>1.

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(Ⅱ)由 M 为曲线 C 上任意一点,可设



则 x+y=sinθ+cosθ= ∴x+y 的取值范围是 [选修 4-5:不等式选讲] 24.设 f(x)=|x﹣1|+|x+1|. (1)求 f(x)≤x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≥

, .

对任意实数 a≠0 恒成立,求实数 x 的取值范围.

【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)运用绝对值的含义,对 x 讨论,分 x≥1,﹣1<x<1,x≤﹣1,去掉绝对值,得到不等式组, 解出它们,再求并集即可得到解集; (2)运用绝对值不等式的性质,可得不等式右边的最大值为 3,再由不等式恒成立思想可得 f(x)≥3, 再由去绝对值的方法,即可解得 x 的范围. 【解答】解: (1)由 f(x)≤x+2 得: 或 即有 1≤x≤2 或 0≤x<1 或 x∈?, 解得 0≤x≤2, 所以 f(x)≤x+2 的解集为[0,2]; (2) =|1+ |﹣|2﹣ |≤|1+ +2﹣ |=3, 或 ,

当且仅当(1+ ) (2﹣ )≤0 时,取等号. 由不等式 f(x)≥ 对任意实数 a≠0 恒成立,

可得|x﹣1|+|x+1|≥3,即







解得 x≤﹣ 或 x≥ , 故实数 x 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞) .

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2017 年 1 月 11 日

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