zhong1979:[最新]人教版新课程高中数学训练题组(选修1-2)全套(含答案)

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特别说明:
《新课程高中数学训练题组》是根据最新课程标准,参考独家内
部资料,结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑 而成;本套资料分必修系列和选修系列及部分选修 4 系列。欢迎使用本资料!
本套资料所诉求的数学理念是:(1)解题活动是高中数学教与学的核心 环节,(2)精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺漏的两项重大 功能。
本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修 4 系列的章节编写,每章 分三个等级: [基础训练 A 组],
[综合训练 B 组], [提高训练 C 组] 建议分别适用于同步练习,单元自我检查和高考综合复习。 本套资料配有详细的参考答案,特别值得一提的是:单项选择题和填空 题配有详细的解题过程,解答题则按照高考答题的要求给出完整而优美的解 题过程。 本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组:可以在 90 分钟内做完一组题,然后比照答案,对完答案后,发现本可以做对而做错的 题目,要思考是什么原因:是公式定理记错?计算错误?还是方法上的错 误?对于个别不会做的题目,要引起重视,这是一个强烈的信号:你在这道 题所涉及的知识点上有欠缺,或是这类题你没有掌握特定的方法。

本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手,结合详细的参考答 案,把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚,常思考这道题是考什么 方面的知识点,可能要用到什么数学方法,或者可能涉及什么数学思想,这 样举一反三,慢慢就具备一定的数学思维方法了。
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目录:数学选修 1-2,选修 4-4
第一章 统计与案例 略 第二章 推理与证明 [基础训练 A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练 B 组] 第二章 推理与证明 [提高训练 C 组] 第三章 复数 [基础训练 A 组] 第三章 复数 [综合训练 B 组] 第三章 复数 [提高训练 C 组] 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [基础训练 A 组] 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [综合训练 B 组] 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [提高训练 C 组]

新课程高中数学测试题组
(数学选修 1-2)第二章 推理与证明

[基础训练 A 组]

一、选择题

1.数列 2,5,11, 20, x, 47, …中的 x 等于( )

A. 28

B. 32

C. 33

D. 27

2.设 a,b, c ?(??, 0), 则 a ? 1 ,b ? 1 , c ? 1 ( ) bca

A.都不大于 ?2

B.都不小于 ?2

C.至少有一个不大于 ?2 D.至少有一个不小于 ?2

3.已知正六边形 ABCDEF ,在下列表达式① BC ? CD ? EC ;② 2BC ? DC ;

③ FE ? ED ;④ 2ED ? FA 中,与 AC 等价的有( )

A.1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

4.函数 f (x) ? 3sin(4x ? ? )在[0, ? ]内( )

4

2

A.只有最大值

B.只有最小值

C.只有最大值或只有最小值 D.既有最大值又有最小值

5.如果 a1, a2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( )

A. a1a8 ? a4a5

B. a1a8 ? a4a5

C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. a1a8 ? a4a5

6. 若 log2[log3(log4 x)] ? log3[log4 (log2 x)] ? log4[log2 (log3 x)] ? 0 ,则 x ? y ? z ?( )

A.123 B.105 C. 89 D. 58

7.函数 y ? 1 在点 x ? 4 处的导数是 (

)

x

A. 1 8

B. ? 1 8

二、填空题

C. 1 16

D. ? 1 16

1.从1 ? 12 ,2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 中得出的一般性结论是_____________。 2.已知实数 a ? 0 ,且函数 f (x) ? a(x2 ? 1) ? (2x ? 1 ) 有最小值 ?1,则 a =__________。
a 3.已知 a, b 是不相等的正数, x ? a ? b , y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是_________。
2 4.若正整数 m 满足10m?1 ? 2512 ? 10m ,则 m ? ______________.(lg 2 ? 0.3010)

5.若数列?an? 中, a1 ? 1, a2 ? 3 ? 5, a3 ? 7 ? 9 ?11, a4 ? 13 ?15 ?17 ?19,...则 a10 ? ____ 。
三、解答题

1.观察(1) tan100 tan 200 ? tan 200 tan 600 ? tan 600 tan100 ? 1;

(2) tan 50 tan100 ? tan100 tan 750 ? tan 750 tan 50 ? 1
由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。

2.设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中, a,b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数。 求证: f (x) ? 0 无整数根。

3. ?ABC的三个内角 A, B,C 成等差数列,求证: 1 ? 1 ? 3 a?b b?c a?b?c

4.设 f (x) ? sin(2x ? ?)(?? ? ? ? 0), f (x) 图像的一条对称轴是 x ? ? . 8
(1)求? 的值;
(2)求 y ? f (x) 的增区间;
(3)证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0与函数 y ? f (x) 的图象不相切。

新课程高中数学测试题组

(数学选修 1-2)第二章 推理与证明

[综合训练 B 组]

一、选择题

?sin ?x2 ,?1 ? x ? 0;

1.函数

f

(x)

?

? ?e

x?1

,

x

?

0

,若 f (1) ? f (a) ? 2,

则 a 的所有可能值为( )

A.1 B. ? 2 C.1,或 ? 2

2

2

D.1,或 2 2

2.函数 y ? x cosx ? sin x 在下列哪个区间内是增函数( )

A. (? , 3? ) 22
C. (3? , 5? ) 22

B. (? ,2? ) D. (2? ,3? )

3.设 a,b ? R, a 2 ? 2b2 ? 6,则a ? b 的最小值是( )

A. ? 2 2

B. ? 5 3 3

C.-3

4.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 (

D. ? 7 2


A. y ? sin 2 x

B. y ? xe x

C. y ? x3 ? x D. y ? ln(1? x) ? x

5.设 a,b, c 三数成等比数列,而 x, y 分别为 a, b 和 b, c 的等差中项,则 a ? c ? ( ) xy

A.1 B. 2

C. 3

D.不确定

6.计算机中常用的十六进制是逢16 进1的计数制,采用数字 0 9 和字母 A F 共16 个计数符号,

这些符号与十进制的数字的对应关系如下表:

0

1

2

3

4

5

6

7

十六进制

十进制 0

1

2

3

4

5

6

7

十六进制 8

9

A

B

C

D

E

F

十进制 8

9

10 11 12 13 14 15

例如,用十六进制表示 E ? D ?1B ,则 A? B ? ( )

A. 6E

B. 72

C. 5F

D. B0

二、填空题

1.若等差数列?an? 的前 n 项和公式为 Sn ? pn2 ? ( p ?1)n ? p ? 3 ,
则 p =_______,首项 a1 =_______;公差 d =_______。 2.若 lg x ? lg y ? 2lg(x ? 2y) ,则 log x ? _____ 。
2y

3.设 f (x) ? 1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 2x ? 2

f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是________________。

4.设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f (x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 2
f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? ______________.

5.设

f ( x) ?

(x?

a)(x?

b)(x?

c)( a,b, c 是两两不等的常数),则

a? f / (a)

b? f / (b)

c f / (c)

的值是

______________.

三、解答题

1.已知: sin 2 30? ? sin 2 90? ? sin 2 150? ? 3 2
sin 2 5? ? sin 2 65? ? sin 2 125? ? 3 2
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明。

2.计算: 11...1? 22...2(n是正整数)

2n

n

3.直角三角形的三边满足 a ? b ? c ,分别以 a, b, c 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积 记为Va ,Vb ,Vc ,请比较Va ,Vb ,Vc 的大小。

4.已知 a,b, c 均为实数,且 a ? x2 ? 2 y ? ? ,b ? y 2 ? 2z ? ? , c ? z 2 ? 2x ? ? ,

2

3

6

求证: a,b, c 中至少有一个大于 0 。

新课程高中数学测试题组

(数学选修 1-2)第二章 推理与证明

[提高训练 C 组]

一、选择题

1.若 x, y ? R, 则" xy ? 1" 是" x2 ? y2 ? 1"的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.如图是函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x22 等于(



A. 2 3

B. 4 3

C. 8 3

D. 12 3

X2

O X1 1

2

x

3.设 P

?

1

log

11 2

?

1

log

11 3

?

1

log

11 4

?

1

log

11 5

,则(



A. 0 ? P ? 1 C. 2 ? P ? 3

B.1 ? P ? 2 D. 3 ? P ? 4

4.将函数 y ? 2cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y ? 2 围成一个封闭的平面图形,

则这个封闭的平面图形的面积是( )

A. 4

B. 8

C. 2?

D. 4?

5.若 O 是平面上一定点, A, B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ?( AB ? AC ), ? ??0, ??? ,则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的(
AB AC

A.外心 C.重心

B.内心 D.垂心

6.设函数

f

(x)

?

??1, ??1,

x ? 0 ,则 (a ? b) ? (a ? b) f (a ? b) (a ? b) 的值为(

x?0

2

A. a

B. b

C. a, b 中较小的数 D. a, b 中较大的数

) )txjy

7.关于 x 的方程 9? x?2 ? 4 ? 3? x?2 ? a ? 0 有实根的充要条件是( )

A. a ? ?4 C. a ? 0

B. ?4 ? a ? 0 D. ?3 ? a ? 0

二、填空题

1.在数列?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an ? 1 ? (?1)n (n ? N * ) ,则 S10 ? __________.

2.过原点作曲线 y ? e x 的切线,则切点坐标是______________,切线斜率是_________。

3.若关于 x 的不等式 (k 2 ? 2k ? 3)x ? (k 2 ? 2k ? 3)1?x 的解集为 (1 , ??) ,则 k 的范围是____

2

2

2

4.

f

(n)

?1?

1 2

?

1 3

?

????

1 n

(n ?

N? ) ,

经计算的 f (2) ? 3 , f (4) ? 2, f (8) ? 5 , f (16) ? 3, f (32) ? 7 ,

2

2

2

推测当 n ? 2时,有__________________________.

5.若数列 ?an ?的通项公式 an

?

1 (n ? 1)2

(n ? N? )

,记

f

(n)

?

(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an )

,试通过

计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? ________________.
三、解答题
1.已知 a ? b ? c, 求证: 1 ? 1 ? 4 . a?b b?c a?c

2.求证:质数序列 2,3,5, 7,11,13,17,19, ……是无限的

3.在 ?ABC中,猜想T ? sin A? sin B ? sin C 的最大值,并证明之。

新课程高中数学测试题组
(数学选修 1-2)第三章 复数
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.下面四个命题

(1) 0 比 ?i 大
(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数

(3) x ? yi ? 1? i 的充要条件为 x ? y ? 1

(4)如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应,
其中正确的命题个数是( )
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
2. (i ? i?1)3 的虚部为( )

A. 8i B. ?8i C.8 D. ?8
3.使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )

?
A. z ? z

B. z ? z

?
C. z2 为实数 D. z ? z 为实数 4.设 z1 ? i4 ? i5 ? i6 ? ? i12 , z2 ? i4 ? i5 ? i6 ? ? i12 , 则 z1, z2 的关系是( )

A. z1 ? z2

B. z1 ? ?z2

C. z1 ? 1? z2 D.无法确定

5. (1? i)20 ? (1? i)20 的值是( ) A. ?1024 B. 1024 C. 0 D.1024
6.已知 f (n) ? in ? i?n (i2 ? ?1, n ? N ) 集合? f (n)?的元素个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个

二、填空题

1.

如果 z ? a ? bi(a,b ?R,且a

??
? 0) 是虚数,则 z, z, z,

z

,

?
z

?
, z ? z, z2,

z2,

z2

中是

虚数的有

_______个,是实数的有

个,相等的有

组.

2. 如果 3 ? a ? 5,复数 z ? (a2 ? 8a ?15) ? (a2 ? 5a ?14)i 在复平面上的

对应点 z 在

象限.

3. 若复数 z ? sin 2a ? i(1? cos 2a) 是纯虚数,则 a =

.

4. 设 z ? log2 (m2 ? 3m ? 3) ? i log2 (m ? 3)(m ? R), 若 z 对应的点在直线 x ? 2y ?1 ? 0 上,则 m 的

值是

.

?

5. 已知 z ? (2 ? i)3, 则 z z =

.

6. 若 z ? 2 ,那么 z100 ? z50 ?1的值是

.

1?i

7. 计算 i ? 2i2 ? 3i3 ? ? 2000i2000 ?

.

三、解答题

?
1.设复数 z 满足 z ? 1,且 (3 ? 4i) z 是纯虚数,求 z .

2.已知复数 z 满足: z ?1? 3i ? z, 求 (1? i)2 (3 ? 4i)2 的值. 2z

(数学选修 1-2)第三章 复数

[综合训练 B 组]

一、选择题

??

1.若 z1, z2 ? C, z1 z2 ? z1 z2 是(

).

A.纯虚数 B.实数 C.虚数 D.不能确定

? ? 2.若有 R? , R? , X 分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合 m2 m ? X =( ).

? ? A. R? B. R? C. R? R? D. R? 0

3. (?1? 3i)3 ? ?2 ? i 的值是( ). (1? i)6 1? 2i
A. 0 B.1 C. i D. 2i 4.若复数 z 满足 z ? 3(1? z)i ? 1,则 z ? z2 的值等于( )

A.1

B. 0 C. ?1

D. ? 1 ? 3 i 22

5.已知 3 ? 3i ? z (?2 3i) ,那么复数 z 在平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.已知 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ?1,则 z1 ? z2 等于( )

A.1 B. 2 C. 3 D. 2 3

7.若? ? ? 1 ? 3 i ,则等于?4 ? ?2 ?1 ? ( ) 22
A.1 B. 0 C. 3 ? 3i D. ?1? 3i
8.给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数;
(2)满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z 的轨迹是椭圆;

(3)若 m ? Z , i2 ? ?1 ,则 im ? im?1 ? im?2 ? im?3 ? 0;
其中正确命题的序号是( )

A. (1) B. (2)(3) C. (1)(3) D. (1)(4)

二、填空题

1.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a 、 b ? R , i 使虚数单位,则 a2 ? b2 ? _________。

2.若

z1 ? a ? 2i ,

z2

?

3 ? 4i ,且

z1 z2

为纯虚数,则实数 a

的值为



3.复数 z ? 1 的共轭复数是_________。 1?i
4.计算 (1 ? i)(1 ? 2i) ? __________。 1? i

5.复数 z ? i ? i2 ? i3 ? i4 的值是___________。

6.复数 z ? ?1 ? i ?1.在复平面内, z 所对应的点在第________象限。 1? i
7.已知复数 z0 ? 3 ? 2i, 复数 z满足z ? z0 ? 3z ? z0 , 则复数 z ? __________.

8.计算

1?i
?1? i?2

?

1? i
?1? i?2

? ______________。

9.若复数 a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为___________。
1 ? 2i
10.设复数 z1 ? 1? i, z2 ? x ? 2i(x ? R), 若 z1z2 为实数,则 x ? _____________

新课程高中数学训练题组参考答案

(数学选修 1-2)第二章 推理与证明 [基础训练 A 组]
一、选择题
1.B 5 ? 2 ? 3,11? 5 ? 6, 20 ?11 ? 9, 推出 x ? 20 ?12, x ? 32 2.D a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 ? ?6,三者不能都小于 ?2
bca 3.D ① BC ? CD ? EC ? BD ? EC ? AE ? EC ? AC ;② 2BC ? DC ? AD ? DC ? AC

③ FE ? ED ? FD ? AC ;④ 2ED ? FA ? FC ? FA ? AC ,都是对的

4.D T ? 2? ? ? ,[0, ? ]已经历一个完整的周期,所以有最大、小值

42

2

5.B 由 a1 ? a8 ? a4 ? a5 知道 C 不对,举例 an ? n, a1 ? 1, a8 ? 8, a4 ? 4, a5 ? 5

6.C log2[log3(log4 x)] ? 0, log3(log4 x) ? 1, log4 x ? 3, x ? 43 ? 64

log3[log4 (log2 x)] ? 0, log4 (log2 x) ? 1, log2 x ? 4, x ? 24 ? 16

log4[log2 (log3 x)] ? 0, log2 (log3 x) ? 1, log3 x ? 2, x ? 9

x ? y ? z ? 89

7.D

y?

1 x

?

?1
x 2,

y'

?

?

1 2

?3
x2

?

?

1 2x

x

,

y' (4)

?

?

1 2? 4

?? 1 4 16

二、填空题

1. n ? n ?1? ... ? 2n ?1? 2n ? ... ? 3n ? 2 ? (2n ?1)2, n ? N * 注意左边共有 2n ?1项

2.1

f

(x)

? ax2

? 2x ? a ?

1 有最小值,则 a a

? 0 ,对称轴 x

?

1 a



f

( x)min

?

f

(1) ? ?1 a

即 f (1) ? a ? ( 1)2 ? 2? 1 ? a ? 1 ? 0, a ? 2 ? ?1, a2 ? a ? 2 ? 0, (a ? 0) ? a ? 1

a

a

aa

a

3. x ? y

y2 ? ( a ? b)2 ? a ? b ? 2(a ? b) ? ( a ? b )2 ? x2

2

2

4.155 512 lg 2 ? m ? 512 lg 2 ?1,154.112 ? m ? 155.112, m ? N*, m ? 155

5.1000 前10 项共使用了1? 2 ? 3? 4 ?...?10 ? 55 个奇数,a10 由第 46 个到第 55 个奇数的和组

成,即

a10

?

(2? 46

?1)

?

(2? 47

?1)

? ... ?

(2?55 ?1)

?

10(91?109) 2

? 1000

三、解答题

1. 若?, ?,? 都不是 900 ,且? ? ? ? ? ? 900 ,则 tan? tan ? ? tan ? tan ? ? tan? tan ? ? 1

2.证明:假设 f (x) ? 0 有整数根 n ,则 an2 ? bn ? c ? 0, (n ? Z )

而 f (0), f (1) 均为奇数,即 c 为奇数, a ? b 为偶数,则 a,b, c 同时为奇数‘

或 a, b 同时为偶数,c 为奇数,当 n 为奇数时,an2 ? bn 为偶数;当 n 为偶数时,an2 ? bn

也为偶数,即 an2 ? bn ? c 为奇数,与 an2 ? bn ? c ? 0 矛盾。

? f (x) ? 0 无整数根。

3.证明:要证原式,只要证 a ? b ? c ? a ? b ? c ? 3,即 c ? a ? 1

a?b b?c

a?b b?c

即只要证

bc ? c2 ab ? b2

? a2 ? ab ? ac ? bc

? 1, 而

A?C

?

2B, B

?

600 , b2

?

a2

? c2

? ac

?

bc ab

? ?

c2 b2

? a2 ? ab ? ac ? bc

?

ab

bc ? a2

? c2 ? c2

? a2 ? ab ? ac ? ac

? bc

?

bc ? c2 ? a2 ab ? a2 ? c2

? ab ? bc

?1

4.解:(1)由对称轴是 x ? ? ,得 sin(? ??) ? ?1, ? ?? ? k? ? ? , ? ? k? ? ? ,

8

4

4

2

4

而 ?? ? ? ? 0 ,所以? ? ? 3 ? 4

(2) f (x) ? sin(2x ? 3 ? ), 2k? ? ? ? 2x ? 3 ? ? 2k? ? ?

4

2

4

2

k? ? ? ? x ? k? ? 5? ,增区间为[k? ? ? , k? ? 5? ], (k ? Z )

8

8

8

8

(3) f (x) ? sin(2x ? 3 ? ), f '(x) ? 2 cos(2x ? 3 ? ) ? 2 ,即曲线的切线的斜率不大于 2 ,

4

4

而直线 5x ? 2y ? c ? 0的斜率 5 ? 2 ,即直线 5x ? 2y ? c ? 0不是函数 y ? f (x) 的切线。 2

(数学选修 1-2)第二章 推理与证明 [综合训练 B 组]

一、选择题

1.C f (1) ? e0 ? 1, f (a) ? 1,当 a ? 0 时, f (a) ? ea?1 ? 1 ? a ? 1 ;

当 ?1? a ? 0时, f (a) ? sin ? a2 ? 1 ? a2 ? 1 , a ? ? 2

2

2

2.B 令 y' ? x' cos x ? x(? sin x) ? cos x ? ?x sin x ? 0 ,

由选项知 x ? 0,?sin x ? 0,? ? x ? 2?

3.C 令 a ? 6 cos? ,b ? 3 sin? , a ? b ? 3sin(? ? ?) ? ?3

4.B x ?(0, ??) ,B 中的 y' ? ex ? xex ? 0 恒成立

5.B

ac

? b2,a ? b

?

2x,b ? c

?

2y ,

a x

?

c y

?

a a?b

?

c b?c

?

2a a?b

? 2c b?c

22

2ab ? 4ac ? 2bc 2ab ? 4ac ? 2bc

?

?

?2

ab ? b2 ? bc ? ac ab ? ac ? bc ? ac

6.A A? B ?10?11 ?110 ?16?6 ?14 ? 6E

二、填空题

1. ?3, ?5, ?6

Sn

?

na1

?

n(n ?1)d 2

?

d 2

n2

? (a1

?

d )n ,其常数项为 0 ,即 2

p?3?

0,

p

?

?3 ,

Sn

?

?3n2

? 2n

?

d 2

n2

? (a1

?

d )n, 2

d 2

?

?3, d

?

?6, a1

?

d 2

?

?2, a1

?

?5

2. 4 lg(xy) ? lg(x ? 2 y)2, xy ? (x ? 2 y)2, x2 ? 5xy ? 4 y2 ? 0, x ? y,或x ? 4 y

而 x ? 2y ? 0,?x ? 4y,log 4 ? 4 2
3. 3 2 f (x) ? f (1? x) ? 1 ? 1 ? 1 ? 2x 2x ? 2 21?x ? 2 2x ? 2 2 ? 2 ? 2x

?

2?

2x

? 2 ? 2x ? 2

2 ?2x ? 2 2 ? 2 ?2x 2 ? 2 ?2x 2

f (?5) ? f (?4) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) ? [ f (?5) ? f (6)] ?[ f (?4) ? f (5)] ? ... ?[ f (0) ? f (1)] ? 2 ?6?3 2
2
4. 0 f (0) ? 0, f (1) ? f (0) ? 0, f (2) ? f (?1) ? 0, f (3) ? f (?2) ? 0

f (4) ? f (?3) ? 0, f (5) ? f (?4) ? 0 ,都是 0

5. 0 f ' (x) ? (x ? b)(x ? c) ? (x ? a)(x ? c) ? (x ? a)(x ? b), f '(a) ? (a ? b)(a ? c) ,

f ' (b) ? (b ? a)(b ? c), f '(c) ? (c ? a)(c ? b) ,

f

a / (a)

?

f

b / (b)

?

f

c / (c)

?

a

?

b

(a ? b)(a ? c) (b ? a)(b ? c)

?

c

(c ? a)(c ? b)

? a(b ? c) ? b(a ? c) ? c(a ? b) ? 0 (a ? b)(a ? c)(b ? c)

三、解答题

1.解: 一般性的命题为 sin2 (? ? 60 ) ? sin2 ? ? sin2 (? ? 60 ) ? 3 2

证明:左边 ? 1? cos(2? ?1200 ) ? 1? cos 2? ? 1? cos(2? ?1200 )

2

2

2

? 3 ?[cos(2? ?1200 ) ? cos 2? ? cos(2? ?1200)] 2
?3 2

所以左边等于右边

2.解: 11...1? 22...2 ? 11...1?10n ?11...1? 22...2

2n

n

n

n

n

? 11...1?10n ?11...1 ? 11...1? (10n ?1)

n

n

n

? 11...1?9?11...1 ? 3?11...1 ? 33...3

n

n

n

n

3.解:Va

?

1 ? b2a 3

?

1 3

?

ab

?

b,Vb

?

1 ? a2b 3

?

1 ? ab ? a, 3

Vc

?

1 ? ( ab)2 c 3c

?

1 ? ab ? 3

ab c

, 因为 a

?

b

?

c ,则

ab c

?

a

?

b

?Vc ? Vb ? Va 4.证明:假设 a,b, c 都不大于 0 ,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,得 a ? b ? c ? 0,

而 a ? b ? c ? (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? (z ?1)2 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? 0 , 即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0矛盾, ?a,b, c 中至少有一个大于 0 。

(数学选修 1-2)第二章 推理与证明 [提高训练 C 组]
一、选择题
1.B 令 x ? 10, y ? ?10 ," xy ? 1" 不能推出" x2 ? y2 ? 1"; 反之 x2 ? y2 ? 1 ? 1 ? x2 ? y2 ? 2xy ? xy ? 1 ? 1 2
2.C 函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 图象过点 (0, 0), (1, 0), (2, 0) ,得 d ? 0,b ? c ?1 ? 0,

4b ? 2c ?8 ? 0 ,则 b ? ?3, c ? 2 , f ' (x) ? 3x2 ? 2bx ? c ? 3x2 ? 6x ? 2 ,且 x1, x2 是

函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的两个极值点,即 x1, x2 是方程 3x2 ? 6x ? 2 ? 0 的实根

x12

?

x22

?

( x1

?

x2 )2

?

2x1x2

?

4?

4 3

?

8 3

3.B P ? log11 2 ? log11 3 ? log11 4 ? log11 5 ? log11120 ,

1 ? log1111 ? log11120 ? log11121 ? 2 ,即1 ? P ? 2 4.D 画出图象,把 x 轴下方的部分补足给上方就构成一个完整的矩形

5.B OP ? OA ? ?( AB ? AC ), AP ? ?( AB ? AC ) ? ?(e1 ? e2 )

AB AC

AB AC

AP 是 ?A 的内角平分线

6.D

(a

?

b)

?

(a

? 2

b)

f

(a

?

b)

?

?(a ?? ?? (a ??

? ?

b) b)

?
? 2

(a 2 (a

? ?

b)(?1) ? a, (a ? b) ? b, (a ? b)

b)

7.D 令 3? x?2 ? t, (0 ? t ? 1) ,则原方程变为 t2 ? 4t ? a ? 0 ,

方程 9? x?2 ? 4 ? 3? x?2 ? a ? 0 有实根的充要条件是方程 t2 ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1]上有实根

再令 f (t) ? t2 ? 4t ? a ,其对称轴 t ? 2 ?1,则方程 t2 ? 4t ? a ? 0 在 t ?(0,1]上有一实根,

另一根在

t

?

(0,1]

以外,因而舍去,即

? ? ?

f f

(0) ? 0 (1) ? 0

?

??a ?? ?3

?0 ?a?

0

?

?3

?

a

?

0

二、填空题

1. 35 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? 0, a3 ? 1, a4 ? 4, a5 ? 1, a6 ? 6,..., a9 ? 1, a10 ? 10 S10 ? 1? 2 ?1? 4 ?1? 6 ?1? 8 ?1?10 ? 35
2. (1, e), e 设切点 (t, et ) ,函数 y ? e x 的导数 y' ? ex ,切线的斜率

k

?

y'

|x?t ? et

?

et t

?t

? 1, k

?

e, 切点 (1, e)

3. (1? 2 ,1? 2 ) 22

x

?

1?

x,?0

?

k

2

?

2k

?

3 2

?

1,即

???k ? ?k

2 2

? ?

2k 2k

? ?

3 2 3

? ?

1 0

??

2

?

???k 2 ? ???k 2

? 2k ? 2k

? ?

1 2 3 2

? ?

0 0

?

? ?1 ?

2

?2

??k ? R

?

k

?1?

2 2 ,?1?

2 ? k ?1? 2

2 2

4. f (2n ) ? n ? 2 2

5. f (n) ? n ? 2 2n ? 2

f (n) ? (1? 1 )(1? 1 ) ???[1? 1 ]

22

32

(n ?1)2

? (1? 1)(1? 1)(1? 1)(1? 1) ??? (1? 1 )(1? 1 )

2233

n ?1 n ?1

? 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ?...? n ? n ? 2 ? n ? 2 2 2 3 3 4 n ?1 n ?1 2n ? 2

三、解答题

1.证明: a ? c ? a ? c ? a ? b ? b ? c ? a ? b ? b ? c

a?b b?c a?b

b?c

? 2 ? b ? c ? a ? b ? 2 ? 2 b ? c ? a ? b ? 4, (a ? b ? c)

a?b b?c

a?b b?c

? a ? c ? a ? c ? 4,? 1 ? 1 ? 4 .

a?b b?c

a?b b?c a?c

2.证明:假设质数序列是有限的,序列的最后一个也就是最大质数为 P ,全部序列

为 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P

再构造一个整数 N ? 2?3?5?7?11?...? P ?1, 显然 N 不能被 2 整除, N 不能被 3 整除,…… N 不能被 P 整除,
即 N 不能被 2,3,5, 7,11,13,17,19,..., P 中的任何一个整除,

所以 N 是个质数,而且是个大于 P 的质数,与最大质数为 P 矛盾,

即质数序列 2,3,5, 7,11,13,17,19, ……是无限的

3.证明: sin A ? sin B ? sin C ? sin ? ? 2sin A ? B cos A ? B ? 2sin(C ? ? ) cos(C ? ? )

3

2

2

26 26

? 2sin A ? B ? 2sin(C ? ? ) ? 4sin( A ? B ? C ? ? ) cos( A ? B ? C ? ? )

2

26

4 12

4 12

? 4sin( A ? B ? C ? ? ) 4 12

? 4sin(? ? ? ) ? 4sin ?

4 12

3

当且仅当

??????ccooss(AC2?2?B?6?)

1 ?

1

?

?A? B

时等号成立,即

???C ?

?

? 3

???cos(

A

?

B 4

?

C

?

? 12

)

?

1

? ??

A

?

B

?

C

?

? 3

所以当且仅当 A ? B ? C ? ? 时,T ? sin ? 的最大值为 4 sin ?

3

3

3

所以 Tmax

?

3sin

? 3

?

33 2

(数学选修 1-2)第三章 复数 [基础训练 A 组]
一、选择题
1.A (1) 0 比 ?i 大,实数与虚数不能比较大小;
(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数;

(3) x ? yi ? 1? i 的充要条件为 x ? y ? 1是错误的,因为没有表明 x, y 是否是实数;

(4)当 a ? 0 时,没有纯虚数和它对应

2.D (i ? i?1)3 ? (i ? 1)3 ? (i2 ?1)3 ? ( ?2)3 ? (2i)3 ? ?8i ,虚部为 ?8

i

i

i

?
3.B z ? z ? z ? R ; z ? z ? z ? R ,反之不行,例如 z ? ?2 ; z2 为实数不能推出

?
z ? R ,例如 z ? i ;对于任何 z , z ? z 都是实数

4.A

z1

?

i4 (1? i9 ) 1?i

?

i4 (1? i) 1? i

?

i4

? 1, z2

? i4?5?6?7?...?12

?

i72

?1

5.C (1? i)20 ? (1? i)20 ? [(1? i)2 ]10 ?[(1? i)2 ]10 ? (2i)10 ? (?2i)10 ? (2i)10 ? (2i)10 ? 0 6.B f (0) ? i0 ? i0 ? 0, f (1) ? i ? i?1 ? i ? 1 ? 2i, f (2) ? i2 ? i?2 ? 0, f (3) ? i3 ? i?3 ? ?2i
i
二、填空题

1. 4,5,3

??
z, z, z, z2 四个为虚数;

z

,

?
z

?
, z ? z,

z

2

,

z2

五个为实数;

z?

?
z,

z

?

?
z

?
,z?z ?

z 2 三组相等

2.三 3 ? a ? 5, a2 ? 8a ?15 ? (a ? 3)(a ? 5) ? 0, a2 ? 5a ?14 ? (a ? 2)(a ? 7) ? 0

3. k? ? ? , k ? Z sin 2? ? 0,1? cos 2? ? 0, 2? ? 2k? ? ? ,? ? k? ? ? , k ? Z

2

2

4. 15

log2 (m2

?

3m

? 3)

?

2 log2 (m

?

3)

?1

?

0, log2

m2 ? 3m ? (m ? 3)2

3

?

?1

5.125

m2 ? 3m ? (m ? 3)2

3

?

1 2

,

m

?

?

15,而m ? 3, m ? ?

15

?
z?z

?

z2

?

(2 ? i)3

2

?(

5)6 ? 125

6. i z ? 2 ? 1? i , z100 ? z50 ?1 ? (1? i )100 ? (1? i )50 ?1

1?i 2

2

2

? ( 2i )50 ? ( 2i )25 ?1 ? i50 ? i25 ?1 ? i2 ? i ?1 ? i

2

2

7.1000 ?1000i 记 S ? i ? 2i2 ? 3i3 ? ? 2000i2000 iS ? i2 ? 2i3 ? 3i4 ? ?1999i2000 ? 2000i2001

(1? i)S ? i ? i2 ? i3 ? i4 ? ? i2000 ? 2000i2001 ? i(1? i2000 ) ? 2000i2001 ? ?2000i 1? i
S ? ?2000i ? 1000 ?1000i 1? i
三、解答题

1.解:设 z ? a ? bi, (a,b ? R) ,由 z ? 1得 a2 ? b2 ?1; (3 ? 4i) z ? (3 ? 4i)(a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,则 3a ? 4b ? 0

?? a2 ? ??3a ?

? b2 4b ?

?1 0

?

???a ? ?b

? ?

4 5 3

,或

???a ? ?b

? ?

? ?

4 5 3



?
z

?

4 5

?

3 5

i,或

?

4 5

?

3 5

i

?? 5 ?? 5

2.解:设 z ? a ? bi,(a,b ? R) ,而 z ?1? 3i ? z, 即 a2 ? b2 ?1?3i ? a ? bi ? 0



?? ? ?? b

a2 ? b2 ?3 ? 0

?

a

?1 ?

0

?

?a ??b

? ?4 ,
?3

z

?

?4 ? 3i

(1? i)2 (3 ? 4i)2 ? 2i(?7 ? 24i) ? 24 ? 7i ? 3 ? 4i

2z

2(?4 ? 3i) 4 ? i

(数学选修 1-2)第三章 复数 [综合训练 B 组]
一、选择题
??
1.B z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di, (a,b, c, d ? R), z1 z2 ? z1 z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? (a ? bi)(c ? di) ? 2ac ? 2bd ? R
? ? ? ? ? ? 2.B m2 m? X ? (bi)2 ? ?b2 (b ? R,且b ? 0)

3.D

(?1? (1?

3i)3 i)6

?

?2 ? i 1? 2i

?

( ?1 ? 2i

3i )3 ? (?2 ? i)(1? 2i) ? (?1?

5

2

3i )3(1)3 ? 5i i5

? i ? i ? 2i

4.C z ? 3i ? 3zi ?1 ? 0, z ? 1? 3i ? ? 1 ? 3 i ? ? , z ? z2 ? ? ? ?2 ? ?1 1? 3i 2 2

5.A z ? 3 ? 3i ? 3i ? 3 ? 1 ? 3 i ?2 3i 2 3 2 2
6.C z1 ? z2 2 ? 2( z1 2 ? z2 2 ) ? z1 ? z2 2 ? 3, z1 ? z2 ? 3

7.B ?4 ? ?2 ?1 ? ? ? ?2 ?1 ? 0

8.C 二、填空题
1. 5 2. 8 3

3.1? i

4. 2 ? i

5. 0

6.二 7.1? 3 i 2

8. ?1

9. ?6 10. ?2

新课程高中数学测试题组
数学选修 4-4 坐标系与参数方程

[基础训练 A 组]

一、选择题

1.若直线的参数方程为

?x

? ?

y

? 1? 2t ? 2 ? 3t

(t为参数)

,则直线的斜率为(



A. 2 3
C. 3 2

B. ? 2 3
D. ? 3 2

2.下列在曲线

? ? ?

x y

? ?

sin 2? cos? ?

sin?

(?为参数)

上的点是(



A. (1 , ? 2) B. (? 3 , 1) C. (2, 3) D. (1, 3)

2

42

3.将参数方程

?? x ? ?? y

? ?

2 ? sin2 sin2 ?

?

(?为参数)

化为普通方程为(



A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

4.化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( ) A. x2 ? y2 ? 0或y ? 1 B. x ?1 C. x2 ? y2 ? 0或x ? 1 D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( )

A. (2, ? ) B. (2, ? ? ) C. (2, 2? ) D. (2, 2k? ? ? ), (k ? Z )

3

3

3

3

6.极坐标方程 ? cos? ? 2sin 2? 表示的曲线为( )

A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆

二、填空题

1.直线

?x

? ?

y

? ?

3 ? 4t 4 ? 5t

(t为参数)

的斜率为______________________。

2.参数方程

?? ? ??

x y

? ?

et ? 2(et

e?t ?e

?t

)

(t为参数)

的普通方程为__________________。

3.已知直线

l1

:

? ? ?

x y

? 1? 3t ? 2 ? 4t

(t为参数)

与直线

l2

:

2

x

?

4

y

?

5

相交于点

B

,又点

A(1,

2)



则 AB ? _______________。

4.直线

? ?? ?

x

? ??

y

? ?

2? 1t 2
?1? 1 2

t

(t为参数) 被圆

x2

?

y2

?

4

截得的弦长为______________。

5.直线 x cos? ? y sin? ? 0 的极坐标方程为____________________。
三、解答题
1.已知点 P(x, y) 是圆 x2 ? y2 ? 2 y 上的动点,

(1)求 2x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线

l1

:

?? ? ??

x y

? ?

1? ?5

t ?

3t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆 x2 ? y2 ? 1上找一点,使这一点到直线 x ? 2y ?12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

数学选修 4-4 坐标系与参数方程

[综合训练 B 组]

一、选择题

1.直线

l

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

a b

? ?

t t

(t为参数)

,l

上的点

P1

对应的参数是

t1

,则点

P1



P(a,

b)

之间的

距离是( )

A. t1

B. 2 t1

C. 2 t1

D.

2 2 t1

2.参数方程为

? ? ?

x

?

t

?

1 t

(t为参数)

表示的曲线是(



?? y ? 2

A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线

3.直线

? ?? ?

x

?

1

?

1 2

t

(t为参数) 和圆 x2 ? y2 ? 16 交于 A, B 两点,

? ??

y

?

?3

3?

3t 2

则 AB 的中点坐标为( )

A. (3, ?3) B. (? 3, 3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3)

4.圆 ? ? 5 cos? ? 5 3 sin? 的圆心坐标是( )

A. (?5, ? 4? ) B. (?5, ? ) C. (5, ? ) D. (?5, 5? )

3

3

3

3

5.与参数方程为

?? x ?

?

t

(t为参数) 等价的普通方程为( )

?? y ? 2 1? t

A. x2 ? y2 ? 1 4

B. x2 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4

C. x2 ? y2 ? 1(0 ? y ? 2) D. x2 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2)

4

4

6.直线

?x

? ?

y

? ?2 ? ?1?t

t

(t为参数)

被圆

(x

?

3)2

?

(y

? 1)2

?

25 所截得的弦长为(



A. 98 B. 40 1 C. 82 D. 93 ? 4 3 4

二、填空题

1.曲线的参数方程是

??x ?

?1?1 t

(t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。

?? y ? 1? t2

2.直线

?x

? ?

y

? ?

3 ? at ?1? 4t

(t为参数)

过定点_____________。

3.点 P(x,y)是椭圆 2x2 ? 3y2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2y 的最大值为___________。

4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan? ? 1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos?
5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。

三、解答题

1.参数方程

? ? ?

x y

? ?

cos? (sin? sin? (sin?

? ?

cos? ) cos? )

(?为参数)

表示什么曲线?

2.点 P 在椭圆 x2 ? y2 ? 1上,求点 P 到直线 3x ? 4y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角? ? ? , 6
(1)写出直线 l 的参数方程。
(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

数学选修 4-4 坐标系与参数方程.

[提高训练 C 组]
一、选择题
1.把方程 xy ? 1化为以 t 参数的参数方程是( )

?

1

A.

? ? ? ?

x y

? ?

t t

2 ?

1 2

?x ? sin t

B.

? ? ??

y

?

1 sin

t

?x ? cos t

C.

?

? ??

y

?

1 cos

t

D.

? ? ? ??

x y

? ?

tan t 1
tan t

2.曲线

?x

? ?

y

? ?

?2 1?

? 5t 2t

(t为参数)

与坐标轴的交点是(



A. (0, 2)、(1 , 0) 52
C. (0, ?4)、(8, 0)

B. (0, 1)、(1 , 0) 52
D. (0, 5)、(8, 0) 9

3.直线

?x

? ?

y

? 1? 2t ? 2?t

(t为参数) 被圆

x2

?

y2

?

9 截得的弦长为(



A. 12 5
C. 9 5 5

B. 12 5 5
D. 9 10 5

4.若点

P(3,

m)

在以点

F

为焦点的抛物线

?x ?

?

4t

2

(t为参数)

上,

? y ? 4t

则 PF 等于( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( )

A.极点

B.极轴

C.一条直线 D.两条相交直线

6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin? 相切的一条直线的方程为( )

A. ? cos? ? 2

B. ? sin? ? 2

C. ? ? 4sin(? ? ? ) D. ? ? 4sin(? ? ? )

3

3

二、填空题

1.已知曲线

? ?

x

?

2

pt

2

(t为参数,p为正常数)

? y ? 2 pt

上的两点

M,N

对应的参数分别为

t1和t2,



且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN =_______________。

2.直线

?? ?

x

?

?2

?

2t (t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于

2 的点的坐标是_______。

?? y ? 3 ? 2t

3.圆的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

3sin? 4 sin ?

? 4cos? ? 3cos?

(?为参数)

,则此圆的半径为_______________。

4.极坐标方程分别为 ? ? cos? 与 ? ? sin? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线

?x

? ?

y

? t cos? ? t sin?

与圆

?x

? ?

y

? ?

4 ? 2cos? 2 sin ?

相切,则?

? _______________。

三、解答题

1.分别在下列两种情况下,把参数方程

? ??

x

?

?y

? ?

1 2 1

(et (et

? ?

e?t e?t

) cos? ) sin?

化为普通方程:

?? 2

(1)? 为参数, t 为常数;(2) t 为参数,? 为常数;

2.过点 P( 10 , 0) 作倾斜角为? 的直线与曲线 x2 ?12 y2 ? 1交于点 M , N , 2
求 PM ? PN 的值及相应的? 的值。

新课程高中数学训练题组参考答案

数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [基础训练 A 组]

一、选择题

1.D k ? y ? 2 ? ?3t ? ? 3 x ?1 2t 2

2.B 转化为普通方程: y2 ? 1? x ,当 x ? ? 3 时, y ? 1

4

2

3.C 转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ?[2,3], y ?[0,1]

4.C ?(? cos? ?1) ? 0, ? ? x2 ? y2 ? 0,或? cos? ? x ?1

5.C (2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

6.C ? cos? ? 4sin? cos? , cos? ? 0,或? ? 4sin? ,即? 2 ? 4? sin?

则? ? k? ? ? , 或 x2 ? y2 ? 4 y 2
二、填空题

1. ? 5 k ? y ? 4 ? ? 5t ? ? 5

4

x ? 3 4t

4

2. x2 ? y2 ? 1, (x ? 2) 4 16

?x ? et ? e?t

?

? ??

y 2

?

et

?

e?t

?

??? x ? ??? x

? ?

y 2 y 2

? ?

2et 2e?t

?

(x

?

y 2

)

x(

?

y 2

?)

4

3. 5 2



? ? ?

x y

? 1? 3t ? 2 ? 4t

代入

2x

?

4

y

?

5



t

?

1 ,则 B(5 , 0) ,而 A(1, 2) ,得

2

2

AB

?

5 2

4 . 14

直 线 为 x ? y ?1? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ? 1 ? 2 , 弦 长 的 一 半 为 22

22 ? ( 2 )2 ? 14 ,得弦长为 14

2

2

5.? ? ? ? ? 2
三、解答题

? c o s? c o?s? ? s i?n s??i n

1.解:(1)设圆的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

cos? 1? sin?



0 , ??c o s??( ,取?) ??0 ? ? 2

2x ? y ? 2 cos? ? sin? ?1 ? 5 sin(? ? ?) ?1

?? 5 ?1? 2x ? y ? 5 ?1 (2) x ? y ? a ? cos? ? sin? ?1? a ? 0

?a ? ?(cos? ? sin? ) ?1 ? ? 2 sin(? ? ? ) ?1 4
?a ? ? 2 ?1

2.解:将

?? ?

x

?

1

?

t

代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 ,

?? y ? ?5 ? 3t

得 P(1? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3)2 ? 62 ? 4 3

3.解:设椭圆的参数方程为

?? ?

x

?

4

cos?

4 cos? ? 4 3 sin? ?12 ,d ?

?? y ? 2 3 sin?

5

? 4 5 cos? ? 3 sin? ? 3 ? 4 5 2cos(? ? ? ) ? 3

5

5

3

当 cos(?

?

? )
3

? 1 时, dmin

?

45 5

,此时所求点为 (2, ?3) 。

新课程高中数学训练题组参考答案

数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [综合训练 B 组]
一、选择题
1.C 距离为 t12 ? t12 ? 2 t1 2.D y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2,或x ? ?2 ,所以表示两条射线

3.D

(1? 1 t)2 ? (?3 2

3?

3 t)2 2

? 16 ,得 t2

? 8t ? 8 ? 0 , t1

? t2

? 8, t1 ? t2 2

?4

中点为

? ?? ?

x

?

1

?

1 2

?

4

?

??x ?

?

3

? ??

y

?

?3

3?

3 ?4 2

?? y ? ? 3

4.A 圆心为 ( 5 , ? 5 3 ) 22

5.D x2 ? t, y2 ? 1? t ? 1? x2, x2 ? y2 ? 1,而t ? 0, 0 ? 1? t ? 1, 得0 ? y ? 2

4

4

6.C

?x

? ?

y

? ?

?2 1?

? t

t

?

?

??x ?

? ??

y

? ?

?2 ? 1?

2t 2t ?

?2 2 2
2

,把直线

?x

? ?

y

? ?

?2 ? 1?t

t

代入

(x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 25 得 (?5 ? t)2 ? (2 ? t)2 ? 25, t2 ? 7t ? 2 ? 0

t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题

1.

y

?

x(x ? 2) (x ?1)2

(x

? 1)

1? x ? 1,t ? 1 ,而 y ?1?t2 , t 1? x

即 y ? 1? ( 1 )2 ? x(x ? 2) (x ? 1) 1? x (x ?1)2

2. (3, ?1) y ?1 ? 4 , ?( y ?1)a ? 4x ?12 ? 0 对于任何 a 都成立,则 x ? 3,且y ? ?1 x?3 a

3. 22

椭圆为 x2 ? y2 ? 1,设 P( 6 cos? , 2sin? ) , 64

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin? ? 22 sin(? ? ?) ? 22

4. x2 ? y

? ? t a n?? 1 ? s i ?n ,? c2o s?? c o ?s c o2 ?s

s ?i n2? , 2 c?o? s ? 即?sxi2n? y,

5.

? ?? ? ? ??

x y

? ?

4t 1? t2
4t 2 1? t2

x2

? (tx)2

?

4tx

?

0 ,当

x

?

0 时,

y

?

0 ;当

x

?

0 时,

x

?

4t 1? t2



三、解答题



y

? tx ,即

y

?

4t 2 1? t2

,得

? ?? ?

x

?y

?

1

4t ?t

2

? 4t 2

?? 1? t 2

1.解:显然

y x

? tan?

,则

y2 x2

?1?

1 cos2 ?

, cos2 ?

?

1

y2 x2

?1

x

?

cos2 ?

? sin?

cos?

?

1 sin 2

2?

? cos2 ?

?

1 2

2 tan? ? 1? tan2 ?

? cos2 ?



x

?

1 2

?

2 1?

y
x y2 x2

?

1

1

?

y2 x2

y ?1

?

x 1?

y2 x2

, x(1?

y2 x2

)

?

y ?1 x

得 x ? y2 ? y ?1 ,即 x2 ? y2 ? x ? y ? 0 xx

2.解:设 P(4cos?,3sin? ) ,则 d ? 12 cos? ?12sin? ? 24 5

12 2 cos(? ? ? ) ? 24

即d ?

4



5

当 cos(?

?

? )
4

?

?1 时, dmax

?

12 5

(2

?

2) ;

当 cos(?

?

? )
4

? 1 时, dmin

?

12 5

(2 ?

2) 。

3.解:(1)直线的参数方程为

? ??

x

?

? ??

y

? 1? t cos ? 1? t sin

? 6 ? 6

,即

?

??x

?

? ??

y

?1? ?1?

3 2 1t 2

t

?

(2)把直线

??x ?

?

1?

3 t
2 代入 x 2 ? y 2 ? 4

? ??

y

?

1

?

1 2

t

得 (1? 3 t)2 ? (1? 1 t)2 ? 4,t2 ? ( 3 ?1)t ? 2 ? 0

2

2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
新课程高中数学训练题组参考答案

数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [提高训练 C 组]

一、选择题

1.D xy ? 1, x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制

2.B

当 x ? 0 时, t ? 2 ,而 y ? 1? 2t ,即 y ? 1 ,得与 y 轴的交点为 (0, 1) ;

5

5

5

当 y ? 0时, t ? 1 ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? 1 ,得与 x 轴的交点为 (1 , 0)

2

2

2

3.B

? ? ?

x y

? 1? 2t ? 2?t

?

??? x ? ?y

? ?

1? 1?

5t ? 2

5t ?

5 1

,把直线

?x

? ?

y

? 1? 2t ? 2?t

代入

??

5

x2 ? y2 ? 9 得 (1? 2t)2 ? (2 ? t)2 ? 9,5t2 ? 8t ? 4 ? 0

t1 ? t2 ?

(t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ?

(? 8)2 ? 16 ? 12 ,弦长为 5 55

5 t1 ? t2

? 12 5

5

4.C 抛物线为 y2 ? 4x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

5.D 6.A

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0,? ? k? ? ? ,为两条相交直线 4
? ? 4sin? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2

圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切
二、填空题
1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, MN ? 2 p t1 ?t2 ? 2 p 2t1

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2) (? 2t)2 ? ( 2t) 2 ? ( 2) ,2t ?2 1 , t ? ? 2

2

2

3. 5



?x

? ?

y

? 3sin? ? 4sin?

? 4cos? ? 3cos?



x2

?

y2

?

25

4. 2 圆心分别为 (1 , 0) 和 (0, 1 )

2

2

2

5. ? ,或 5?

6

6

三、解答题

直线为 y ? x tan? ,圆为 (x ? 4)2 ? y2 ? 4 ,作出图形,相切时,

易知倾斜角为 ? ,或 5?

6

6

1.解:(1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos? ,即 x ?1,且y ? 0 ;

当 t ? 0时, cos? ?

x ,sin? ?

y

1 (et ? e?t )

1 (et ? e?t )

2

2

而 x2 ? y2 ? 1,即

x2

?

y2

?1

1 (et ? e?t )2 1 (et ? e?t )2

4

4

(2)当? ? k? , k ? Z 时, y ? 0, x ? ? 1 (et ? e?t ) ,即 x ?1,且y ? 0 ; 2

当? ? k? ? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? 1 (et ? e?t ) ,即 x ? 0 ;

2

2

当?

?

k? 2

,k?Z

时,得

???et ?

?et

? e?t ? e?t

? ?

2x cos? 2y

,即

???2et ? ?2e?

? 2x cos?
t ? 2x

? 2y sin ? ? 2y

??

sin? ??

cos? sin?

得 2et ? 2e?t ? ( 2x ? 2 y )( 2x ? 2 y ) cos? sin? cos? sin?

即 x2 cos2 ?

?

y2 sin 2

?

?1。

?

2.解:设直线为

?x ?

?

10 2

?

t

cos?

(t为参数)

,代入曲线并整理得

?? y ? t sin?

(1? sin2 ? )t2 ? ( 10 cos?)t ? 3 ? 0 2

3



PM

?

PN

?

t1t2

?

1

?

2 sin

2

?

所以当 sin2 ? ? 1时,即? ? ? , PM ? PN 的最小值为 3 ,此时? ? ? 。

2

4

2

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