人教版高中数学必修一3.1.2用二分法求方程的近似解 (2)ppt课件_图文

【点拨】 【思考】 【提示】 二分法概念的理解 【名师指津】 1.准确理解“二分法”的含义 二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区 间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的 精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.使用“二分法”所具备的条件 “二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数图象在零点附近连 续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 【特别提醒】注意使用“二分法”的两个前提条件,缺一不可. 【例1】下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( ) 【审题指导】题目中给出了各个函数的图象,通过图象与 x轴的交点,结合二 分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件,判断是否可以使用二分法 . 【规范解答】选B.利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号,在 选项B中,不满足零点两侧函数值异号,不能用二分法求零点 .由于A、C、D中 零点的两侧函数值异号,故可采用二分法求零点 . 用二分法求函数零点 【名师指津】 1.用二分法求函数的零点应遵循的原则 首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的零点,又要使其长度尽 量小,其次要根据给定的精确度,及时检验所得区间的端点的差的绝对值是否 小于精确度(精确到给定的精确度),以决定是停止还是继续计算. 2.用二分法求函数的零点使用的方法 用二分法求函数的零点的近似值,可借助于计算器一步步求解即可,在计算时 可借助于表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程,在区间长度 小于精确度ε 的时候,运算结束. 【特别提醒】(1)求函数的近似零点时,所要求的精确度不同,得到的结果也 不相同. (2)求函数零点的近似值时,由于所选取的起始区间不同,最后得到的结果可 以不同,但它们都是符合所给定的精确度的 . 【例2】用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度 0.01). 【审题指导】本题已给出函数表达式和规定的区间求零点,可根据二分法求函 数零点的步骤逐次计算缩小区间,直到达到所要求的精确度停止计算,确定出 零点的近似值. 【规范解答】经试算f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0,因为f(1.5)·f(1.25)<0,所 以x0∈(1.25,1.5), 如此继续下去,如下表: 因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01, 所以函数f(x)=x3-x-1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125. 【例】用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.01). 【审题指导】本题给出了具体的函数,可转化为求方程的解,利用二分法,需 先选定初始区间,用二分法逐次计算,考虑精确度 ,确定出零点. 【规范解答】由于f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算 的初始区间,用二分法逐步计算,见下表 从表中可知|1.445 312 5-1.437 5|=0.007 812 5<0.01, 所以函数y=x3-3的一个正零点可近似取 1.445 312 5. 用二分法求方程的近似解 【名师指津】 求方程近似解的常用方法 对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如 F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照二分法求函数零点近似值的步骤 求解. 【例3】求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1). 【审题指导】本题给出了方程的具体表达形式,求其近似解,可利用转化思想, 构造函数,转化成求函数的零点近似值. 【规范解答】设f(x)=x2-2x-1. ∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0, ∴在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有根,记为x0. 取2与3的平均数2.5, ∵f(2.5)=0.25>0, ∴2<x0<2.5; 再取2与2.5的平均数2.25, ∵f(2.25)=-0.437 5<0,∴2.25<x0<2.5; 如此继续下去,有f(2.375)<0, f(2.5)>0 x? 0∈(2.375,2.5); f(2.375)<0, f(2.437 5)>0 x0∈(2.375,2.437 5) ? ∵|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1, ∴方程x2=2x+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. 【典例】(12分)用二分法求 【审题指导】本题要求 的近似值 (精确度0.1). 5 确定为某 5 的近似值 5 ,可首先把 方程的解,再用二分法求方程的解的近似值. 【规范解答】设 令f(x)=x2-5. 则 x2=5 ,即x2-5=0, x= 5, 因为f(2.2)=-0.16<0.……………………………………2分 f(2.4)=0.76>0, 所以f(2.2)·f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0, …………4分 取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,则f(2.3)=0.29.……6分 因为f(2.2)·f(2.3)<0, ∴x0∈(2.2,2.3)…………………………………………8分 再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25, f(2.25)=0.062 5. 因为f(2.2)·f(2.25)<0, 所以x0∈(2.2,2.25).……………………………………10分 由于|2.25-2.2|=0.05<0.1, 所以 的近似值可取为 2.25. …………………………12分 5 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下: 1.下列函数中不能用二分法求零点的是( ) (A

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