2016上海电子信息职业技术学院自主招生数学模拟试题及答案


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2016 上海电子信息职业技术学院自主招生语文模拟试题及 答案
一、选择题(本大题共 12 个小题. 每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 P ? ? x | 2 x ? ? , Q ? y | x 2 ? y 2 ? 4, x ? R, y ? R ,则 P ? Q ? ( ) A. ?? 2,1? 2.已知 sin B. ?? 2,0?, 1, 3

? ?

1? 4?

?

?

?

? ??

C. ? D. Q ) D.第四象限 )

?

3 ? 3 ? ? , tan ? ,则 ? 所在的象限为( 2 5 2 4
B.第二象限 C.第三象限

A.第一象限

3.已知 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? 3i ,则复数 i ? z2 的虚部为( z1 5 A. i B. ?i C. 1 D. ?1

4. 函数 y ? x ? 1 ? x ? a 的图象关于点 (2, 0) 对称,则 a 等于( A.3 B.5 C.7 D.9



5.如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一 个圆,那么该几何体的体积为( )

A.

3? 8

B.

3 ? 6

C.

3 ? 24

D. ?

1 2

6.如图,程序框图所进行的求和运算是(



开始

1 1 1 1 A. ? ? ? ? ? 2 4 6 20 1 1 1 B. 1 ? ? ? ? ? 3 5 19

S= 0,n =
2

n<21
21 是 1



S=S+ n=n+
2 结束

n

输出 S

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1 1 1 ? ??? 2 4 18 1 1 1 1 D. ? 2 ? 3 ? ? ? 10 2 2 2 2
C. 1 ?

7.设 x, y 满足约束条件 x ? 0 , y ? x , 4 x ? 3 y ? 12 ,则 A. [1,5] B. [2, 6] C. [3,10] D. [3,11]

x ? 2y ? 3 取值范围是( x ?1



8.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R? ) 平分圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 ,则 值是( A.1 )

2 1 ? 的最小 a b

B.5C. 4 2 D. 3 ? 2 2

9.已知集合 A ? ?1,2,3,4? , B ? ?5,6,7? , C ? ?8,9? . 现在从三个集合中取出两个集 合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可 以组成( A.24 )个集合 B.36 C.26 D.27

10.设 F 为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点, A 、 B 、 C 为该抛物线上的三点,若 FA ? FB ?

??? ? ??? ?

??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? FC ? 0 ,则 | FA | ? | FB | ? | FC |? (
A.9 B.6 C.4 D.3



11.由曲线 y ? x 2 和直线 x ? 0 , x ? 1 , y ? t 2 , t ? (0,1) 所围 成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )

A.

2 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 4

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12.已知实数列 ?an ? 不是常数列,且满足 an?1 ? an?1 ? 2an ( n ? 1, 2,3,? ),设函数
0 1 7 7 8 8 f ( x) ? a0C8 (1 ? x)8 ? a1C8 x(1 ? x)7 ? ?? a7C8 x (1 ? x) ? a8C8 x ,则 f ( x) 的次数为

( A.8 次

) B.7 次 C.1 次 D.0 次

二、填空题(本大题共有 6 个小题,请考生按要求作答 4 小题,每小题 4 分) (一)必做题(13,14 小题) 13.已知 a ? (1,3) , b ? (1,1) , c ? a ? ? b , a 和 c 的夹角是锐角,则实数 ? 的取值范 围是.

14.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整 2 2

数,记作 { x} ,即 {x} ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? | x ? {x} | 的四个命 题:①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R ,值域是 [0, ] ;②函数 y ? f ( x) 的图像关于直线
x? k ( k ? Z )对称;③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期是 1;④函数 2

1 2

? 1 1? y ? f ( x) 在 ?? , ? 上是增函数;则其中真命题是. ? 2 2?
(二)选做题(考生只能从中选做两题,若多答,则只计算前两小题的得分) 15.如图,在 ?ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BD 的中点, AE 交 BC 于 F ,则

BF ?. FC
16.矩阵的特征值为. 17.极坐标方程 ? ? sin ? ? 2cos ? 所表示的曲线的直角坐标方程是.

A E F D C

B

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18.已知实数 x、y、z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 1 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为.

三、解答题(本大题共 6 小题,19,20,21,22,23 题每题 12 分,24 题 14 分共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.某班从 6 名学生干部中(其中男生 4 人,女生 2 人),选 3 人参加学校的义务劳动. (Ⅰ)设所选 3 人中女生人数为 X ,求 X 的分布列及其期望 E ( X ) ; (Ⅱ)求男生甲或女生乙被选中的概率; (Ⅲ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

? ? ? ? 20.已知向量: a ? (2sin ?x,cos2 ?x),向量b ? (cos ?x,2 3), 其中? ? 0 ,设函数

? ? f ( x) ? a ? b ,若 f ( x) 图象的相邻两对称轴间的距离为 ? .

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对任意实数 x ? [

? ?

, ] ,恒有 | f ( x) ? m |? 2 成立,求实数 m 的取值范围. 6 3

21.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形,

PD ? DC , E 、 F 分别是 AB , PB 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ? CD ; (Ⅱ)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值; (Ⅲ)在平面 PAD 内是否存在一点 G ,使 G 在平面 PCB 上的射影为 ?PCB 的外

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心,若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,说明理由.

22.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 ,点 ( Sn?1 , Sn ) 在直线 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ?

x y ? ? 1 ( n ? N * )上. n ?1 n

4 Sn Sn ?1 ? ? 2 ,求证: ? T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ? 3 . 3 Sn?1 Sn

23.已知 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, O 为坐标原点,点 a2 b2

2 ) 在该椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足 PM ? F2 M ? 0 ;⊙ O 是 2 以线段 F1F2 为直径的圆,一直线 l : y ? kx ? m 与⊙ O 相切,并与椭圆交于不同的 P(?1,
两点 A 、 B . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)当 OA ? OB ? ? ,且满足

2 3 ? ? ? 时,求 ?AOB △AOB 面积 S 的取值范围. 3 4

24.如右图(1)所示,定义在区间 D 上的函数 f ( x) ,如果满

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足:对 ? x ? D , ? 常数 A,都有 f ( x) ? A 成立,则称函数 .. 区间 ,其中 A 称为函数的下界 . (提示:图(1)、 f ( x) 在 . ..D 上有下界 .... ..... (2)中的常数 A 、 B 可以是正数,也可以是负数或零)

(Ⅰ)试判断函数 f ( x) ? x 3 ?

48 在 (0, ??) 上是否有下界?并说明理由; x

(Ⅱ)又如具有右图(2)特征的函数称为在区间 D 上有上界. 请你类比函数有下界的定义,给出函数 f ( x) 在区间 D 上 有上界的定义,并判断(Ⅰ)中的函数在 (??, 0) 上是否 有上界?并说明理由; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 D 上既有上界又有下界,则称函数

f ( x) 在区间 D 上有界,函数 f ( x) 叫做有界函数.试探究函数 f ( x) ? ax 3 ?

b x

( a ? 0, b ? 0 a , b 是常数)是否是 [m, n] ( m ? 0, n ? 0, m 、 n 是常数)上的有 界函数?

参考答案
一、选择题

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题 号 答 案 D A C A C A D D C B C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题 13. ? ? ?

5 且? ? 0 14.①②③ 2 x 2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0

15.

1 2

16.-4 和-7

17.

18.

1 14

(II)设“甲、乙都不被选中”的事件为 C,则 P(C ) ?

3 C4 4 1 ? ? . ……6 分 3 C6 20 5

∴所求概率为 P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ?

1 4 ? . …………………………………8 分 5 5

(III)记“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,

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P( A) ?
1 C52 10 1 C4 1 ? ? ; P ( B ? A ) ? ? . ………………………………10 分 3 3 C6 20 2 C6 5

P( B | A) ?

C1 P( BA) 2 4 2 ? .(或直接得P( B | A) ? 4 ? ? ) ……………12 分 2 P( A) 5 C5 10 5

20. 解 f ( x) ? a ? b ? (2 sin ?x, cos2 ?x) ? (cos?x,2 3) ? sin 2?x ? 3(1 ? cos2?x)

? 2 sin( 2?x ?

?
3

) ? 3 ………………………………………………………………3 分 2? 1 ? 2? ,? ? ? 2? 2

∵相邻两对称轴的距离为 ? ,?

? f ( x) ? 2 sin( x ?
(II)? x ? [

?
3

) ? 3 …………………………………………………………6 分

? ?

? ? 2? , ],? x ? ? [ , ] ………………………………………………7 分 6 3 3 2 3

? 2 3 ? f ( x) ? 2 ? 3 ,…………………………………………………………8 分
| f ( x) ? m |? 2,? ?2 ? m ? f ( x) ? 2 ? m ……………………………………10 分 又?
若对任意 x ? [

? ?

? ?? 2 ? m ? 2 3 , ] ,恒有 | f ( x) ? m |? 2成立, 则有? 6 3 ? ?2 ? m ? 2 ? 3

解得 3 ? m ? 2 ? 2 3 ……………………………………………………………12 分

21.解:以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如 图). 设 AD=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E (a,

a ,0), 2

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P(0,0,a),F(
(I)? EF ? DC ? (?

a a a , , ).………………2 分 2 2 2

a a ,0, ) ? (0, a,0) ? 0, 2 2

? EF ? DC. …………………………………………4 分
(II)设平面 DEF 的法向量为

? ?n ? DF ? 0 n ? ( x, y, z ),由? ? ?n ? DE ? 0
a a a ? ?a ( x, y, z ) ? ( , , ) ? 0, ? ( x ? y ? z ) ? 0, ? ? ?2 2 2 2 即? 得? ?( x, y, z ) ? (a, a ,0) ? 0, ?ax ? a y ? 0. ? ? 2 2 ? ?
取 x=1,则 y=-2,z=1.

? n ? (1,?2,1).………………………………………6 分
? cos ? BD , n ?? BD ? n | BD | ? | n | ? a 2a ? 6 ? 3 . 6

设 DB 与平面 DEF 所成角为 ? , 则 sin ? ? (III)假设存在点 G 满足题意

3 . ……………………………………8 分 6

因为 G ? 平面PAD, 可设G点坐标为 ( x,0, z).

? CB ? CP ? (a,0,0) ? (0,?a, a ) ? 0,? BC ? PC. a a a 在Rt?PBC中,? F为PB中点,? F ( , , )为Rt?PBC的外心.???10分 2 2 2 a a a FG ? ( x ? ,? , x ? ) 2 2 2 a a a a a 由FG ? CB ? ( x ? ,? , z ? ) ? (a,0,0) ? a ( x ? ) ? 0, 得x ? . 2 2 2 2 2 2 a a a a a 由FG ? CP ? ( x ? ,? , z ? ) ? (0,?a, a ) ? ? a ( x ? ) ? 0, 得z ? 0. 2 2 2 2 2

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∴存在点 G,其坐标为(

a ,0,0),即 G 点为 AD 的中点.……………………12 分 2

22. 解:(I)? ( S n ?1 , S n )在直线

x y ? ? 1上, n ?1 n

?

S n ?1 S n ? ? 1, …………………………………………(1 分) n ?1 n Sn }构成以 S1=a1=2 为首项,公差为 1 的等差数列, n

∴{

?

Sn ? 2 ? (n ? 1)? ? n ? 1,? S n ? n 2 ? n.?????(3分) n 当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n, 而a1 ? 2,

? a n ? 2n(n ? N *).???????????????(6分)
证明:(II)? S n ? n 2 ? n

n n?2 2 2 2 2 ? ? 2 ? 1? ?1? ? 2 ? ? , ?? (8分) n?2 n n?2 n n n?2 4 ? n ? N *时, Tn ? ? 0, n(n ? 2) 4 ?T1 ? T2 ? ? ? Tn ? T1 ? (n ? 1时取等号).???????? (10分) 3 1 1 1 1 1 又T1 ? T2 ? ? ? Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 2 4 n n?2 2 2 ? 3? ? ? 3.?????? (12分) n ?1 n ? 2 ?Tn ?

23.解:(I)? PM ? F2 M ? 0 线 又 OM⊥F1F2 ∴PF1⊥F1F2

∴点 M 是线段 PF2 的中点 ∴OM 是△PF1F2 的中位

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?c ? 1 ? 1 ?1 ?? 2 ? 2 ? 1 2b ?a 2 2 2 ? ?a ? b ? c
∴椭圆的标准方程为

解得a 2 ? 2, b 2 ? 1, c 2 ? 1

x2 ? y 2 =1………………………………………………5 分 2

(II)∵圆 O 与直线 l 相切

|m| k ?1
2

?1

即m 2 ? k 2 ? 1

? x2 ? ? y2 ? 1 ?2 ? y ? kx ? m ?

消去y : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4km x ? 2m 2 ? 2 ? 0

∵直线 l 与椭圆交于两个不同点,? ? ? 0 ? k 2 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

x1 ? x 2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y1 ? y 2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 ? x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2 ? 1? k 2 1 ? 2k 2 1? k 2 ?? 1 ? 2k 2
……………………………………7 分

OA ? OB ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 2 1? k 2 3 ? ? 2 3 1 ? 2k 4 1 ? ? k2 ?1 2 ?
S ? S ?ABO ? 1 ? | AB | ?1 2

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? 1 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 ? x 2 2

1 4km 2 2m 2 ? 2 2 ? ? 1 ? k ? (? ) ? 4? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 2(k 4 ? k 2 ) 4(k 4 ? k 2 ) ? 1 2u 3 , u ? [ ,2] 4u ? 1 4

3 设u ? k 4 ? k 2 , 则 ? u ? 2, S ? 4

3 3 6 2 ? S关于u在[ ,2]单调递增, S ( ) ? , S (2) ? 4 4 4 3
? 6 2 ? S ? ……………………………………………………………………12 分 4 3

24.(I)解法 1:∵ f ?( x) ? 3 x 2 ?

48 48 ,由 f ?( x) ? 0 得 3 x 2 ? 2 ? 0 , 2 x x
∴ x ? 2 ,-----------------2 分

x4 ? 16,

∵ x ? (0, ??) ,

∵当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(0,2)上是减函数; 当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(2,+ ? )上是增函数; ∴ x ? 2 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点,

f ( x) min ? f (2) ? 8 ?

48 ? 32 2

∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 ,------------------------------------4 分 即在区间(0,+ ? )上存在常数 A=32,使得对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立,

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∴函数 f ( x) ? x 3 ?

48 在(0,+ ? )上有下界. ---------------------5 分 x

[解法 2:? x ? 0 ? f ( x) ? x3 ?

48 16 16 16 16 16 16 ? x3 ? ? ? ? 4 4 x3 ? ? ? ? 32 x x x x x x x

当且仅当 x3 ?

16 即 x ? 2 时“=”成立 x

∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 , 即在区间(0,+ ? )上存在常数 A=32,使得对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立,

∴函数 f ( x) ? x 3 ?

48 在(0,+ ? )上有下界.] x

(II)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义: 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对 ? x ? D , ? 常数 B,都有 f ( x) ≤B 成立, 则称函数 f ( x) 在 D 上有上界,其中 B 称为函数的上界. -----7 分 设 x ? 0, 则 ? x ? 0 ,由(1)知,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 ,

3 ∴ f (? x) ? 32 ,∵函数 f ( x) ? x ?

48 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) x

∴ ? f ( x) ? 32 ,∴ f ( x) ? ?32 即存在常数 B=-32,对 ? x ? (??,0) ,都有 f ( x) ? B ,

3 ∴函数 f ( x) ? x ?

48 在(- ? , 0)上有上界. ---------9 分 x b , x2

2 (III)∵ f ?( x ) ? 3ax ?

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由 f ?( x) ? 0 得 3ax 2 ?

b ? 0 ,∵ a ? 0, b ? 0 x2

∴ x4 ?

b , 3a

∵ [m, n] ? (0, ??) ,

∴x ?

4

b ,----------10 分 3a

∵当 0 ? x ?

4

b b 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(0, 4 )上是减函数; 3a 3a

当x?

4

b b 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在( 4 ,+ ? )上是增函数; 3a 3a

∴x?

4

b 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点, 3a

f (4

b b 3 b 4 ) ? a( 4 ) ? ? 4 3ab3 ---------------------11 分 3a 3a 3 b 4 3a

①当 m ?

4

b 时,函数 f ( x) 在 [m, n] 上是增函数; 3a

∴ f (m) ? f ( x) ? f (n) ∵ m 、 n 是常数,∴ f ( m) 、 f (n) 都是常数 令 f (m) ? A, f (n) ? B , ∴对 ?x ?[m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B

3 即函数 f ( x) ? ax ?

b 在 [m, n] 上既有上界又有下界------------------------x

12 分

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②当 n ?
4

b 时函数 f ( x) 在 [m, n] 上是减函数 3a

∴对 ?x ?[m, n] 都有 f (n) ? f ( x) ? f (m)

∴函数 f ( x) ? ax 3 ?

b 在 [m, n] 上有界.-------------------------13 分 x

③当 m ?

4

b ? n 时,函数 f ( x) 在 [m, n] 上有最小值 3a
b b 3 b 4 ) ? a( 4 ) ? ? 4 3ab3 3a 3a 3 b 4 3a

f ( x)min = f ( 4

令A?

44 3ab3 ,令 B= f ( m) 、 f (n) 中的最大者 3

则对 ?x ?[m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B

∴函数 f ( x) ? ax 3 ?

b 在 [m, n] 上有界. x b 是 [m, n] 上的有界函数--------------14 分 x

综上可知函数 f ( x) ? ax 3 ?


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