2.3.2离散型随机变量的方差(1)_图文

高二数学 选修2-3

2.3.2离散型随机变 量的方差

肥城一中高二数学组

一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望

X P

x1

p1

p2

x2

· · · xi · · · pi

· · · xn · · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平

2、数学期望的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b

三、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0

P

p

1- p



EX ? p

四、如果随机变量X服从二项分布,即X~ B(n,p),则

EX ? np

二、互动探索
某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1, 2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是多少?
1?1?1?1? 2? 2? 2? 3? 3? 4 X? 10 4 3 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 10 10 10
X P 1
4 10

2
3 10

3
2 10

4
1 10

某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2 2,2,3,3,4;则这组数据的方差是多少? 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 1 2 2 2 2 s ? [( x1 ? x ) ? ? ? ( xi ? x ) ? ? ? ( xn ? x ) ] n
1 2 2 2 2 2 s ? [(1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? ( 2 ? 2) 10 加权平均 ? ( 2 ? 2) 2 ? ( 2 ? 2) 2 ? ( 3 ? 2) 2 ? ( 3 ? 2) 2 ? ( 4 ? 2) 2 ] ? 1
2

4 3 2 1 2 2 2 s ? ? (1 ? 2) ? ? ( 2 ? 2) ? ? ( 3 ? 2) ? ? (4 ? 2)2 10 10 10 10
2

离散型随机变量取值的方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X P
则称
n

x1

p1

p2

x2

· · · xi · · · pi

· · · xn · · · pn

DX ? ( x1 ? EX )2 p1 ? ?? ( xi ? EX )2 pi ? ?? ( xn ? EX )2 pn

? ? ( xi ? EX ) pi 为随机变量X的方差。
2

称 ?X ?

i ?1

DX 为随机变量X的标准差。

它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离 于均值的平均程度越小,即越集中于均值。

三、几个常用公式:

可证明几个结论

D(aX ? b) ? a DX
2

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

四、例题

? [例1] 已知随机变量X的分布列为

? 求X的均值、方差和标准差.

[ 解析 ]

1 1 1 1 1 E(X) = 1× 7 + 2× 7 + 3× 7 + 4× 7 + 5× 7 +

1 1 1 1 6×7+7×7=7×(1+2+3+…+7)=7×28=4. 1 1 1 2 2 D(X) = (1 - 4) × 7 + (2 - 4) × 7 + (3 - 4) × 7 + (4 -
2

1 1 1 1 2 2 2 4) × +(5-4) × +(6-4) × +(7-4) × 7 7 7 7
2

1 =(3 +2 +1 +0+1 +2 +3 )×7=4,
2 2 2 2 2 2

∴ D(X)= 4=2.

例题2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你 能获得如下信息:
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:EX 1 ? 1400 , EX 2 ? 1400

DX1 ? 40000, DX 2 ? 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下, 如果认为自己能力很强,应选择工资方差大 的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位。

? ? ? ?

[例3] 已知某运动员投篮命中率p=0.6. (1)求一次投篮命中次数X的期望与方差; (2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差. [分析] (1)投篮一次可能投中,也可能不中,投中次数X 服从两点分布. ? (2)重复五次投篮的投中次数η服从二项分布.

? [解析] (1)投篮一次命中次数X的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6,
D(X)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24. (2)由题意,重复5次投篮,命中次数η服从二项分布, 即η~B(5,0.6).

由二项分布期望与方差的计算公式,有 E(η)=5×0.6=3,D(η)=5×0.6×0.4=1.2.

? [ 点评 ] 求离散型随机变量的期望与方差 的关键环节是以下两点: ? (1)写出离散型随机变量的分布列; ? (2) 正确应用均值与方差的公式进行计算 (要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与 方差的公式).

? [例4] 有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某 重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府 到两建材厂抽样检查,从中各取等量的样品检查 它们的抗拉强度指数如下表:

ξ P η P

110 0.1 100 0.1

120 0.2 115 0.2

125 0.4 125 0.4

130 0.1 130 0.1

135 0.2 145 0.2

其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使 用时要求抗拉强度不低于120的条件下, 比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.

? [解析] E(ξ)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1 +135×0.2=125, ? E(η) = 100×0.1 + 115×0.2 + 125×0.4 + 130×0.1 + 145×0.2=125, ? D(ξ)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125- 125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50, ? D(η)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-

125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165,
? 由于E(ξ)=E(η),而D(ξ)<D(η), ? 故甲厂的材料稳定性较好.

? [例5] 某人有5把钥匙,其中只有一把能打开某 一扇门,今任取一把试开,不能打开者除去,求 打开此门所需试开次数X的均值和方差. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息:①某人有 5把钥匙及其各自的功能;②不放回地取钥匙打 开门. ? 解答本题可先设出试开此门所需的次数,再逐一 试开,求出分布列,然后根据公式求解.

[解析]

设 X 为打开此门所需的试开次数,则 X 的可

能取值为 1,2,3,4,5. X=k 表示前 k-1 次没打开此门,第 k 次才打开了此 门. 1 1 P(X=1)=C1=5, 5
1 C4 1 1 P(X=2)=C1· 1= , C 5 5 4 1 1 C4 C3 1 1 P(X=3)= 1· 1· 1= , C5 C4 C3 5 1 1 1 C4 C3 C2 1 1 P(X=4)=C1· 1· 1· 1= , 5 5 C4 C3 C2

1 1 1 C4 C3 C2 1 1 P(X=5)= 1· 1· 1· 1· 1= , C5 C4 C3 C2 5

故随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 P 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 E(X)=1×5+2×5+3×5+4×5+5×5=3. 1 1 1 2 2 D(X) = (1 - 3) × 5 + (2 - 3) × 5 + (3 - 3) × 5 + (4 -
2

1 1 1 2 3) ×5+(5-3) ×5=5×(22+12+02+12+22)=2.
2

三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求D(X)和σ(X)。 解: E( X ) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

D( X ) ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? (2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

?(3 ? 2) ? 0.2 ? (4 ? 2) ? 0.1 ? 1.2
2 2

? ( X ) ? D( X ) ? 1.2 ? 1.095

2、若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为 常数,求E(X)和D(X)。

解: 离散型随机变量X的分布列为:
X P c 1

E(X)=c×1=c D(X)=(c-c)2×1=0

五、方差的应用
例:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 X1, X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解: E( X1 ) ? 9, E( X 2 ) ? 9D( X1 ) ? 0.4, D( X 2 ) ? 0.8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8 -10环。

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

E( X1 ) ? 9, E( X 2 ) ? 9D( X1 ) ? 0.4, D( X 2 ) ? 0.8
问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右, 应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右, 应派哪一名选手参赛?

相关练习:

1 1、已知? ? 3? ? ,且D(? ) ? 13, 则D(? ) ? 117 8

2、已知X ~B(n, p),E(X) ? 8,D(X) ? 1.6, 则n ?10 , p ? 0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占1 %,现从中任意地连续取出200件商品, 设其次品数为X,求E(X)和D(X)。 2,1.98

练习:

4.已知随机变量?的分布列为则E?与D?的值为( D )
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3

(C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21

? P

1 0.3

2 0.7

25 ?(?)?__. 50 ?)=___, 5 5.已知?~B(100,0.5),E(?)=__,D( 99 D(2?-1)=____, E(2?-1)=____, 100 ?(2?-1)=_____ 10

? 一、选择题 ? 1 .甲,乙两个运动员射击命中环数 ξ , η 的分布列如下 表.其中射击比较稳定的运动员是( ) ? A.甲 B.乙 C.一样 D.无法比较

环数k
P(ξ=k)

8
0.3

9
0.2

10
0.5

P(η=k)

0.2

0.4

0.4

? [答案] B ? [ 解析 ] E(ξ) = 9.2 , E(η) = 9.2 = E(ξ) , D(ξ) =0.76,D(η)=0.56<D(ξ),乙稳定.

? 2 .设随机变量 X ~ B(n , p) ,且 E(X) = 1.6 , D(X)=1.28,则( ) ? A.n=8,p=0.2 ? B.n=4,p=0.4 ? C.n=5,p=0.32 ? D.n=7,p=0.45 ? [答案] A

[解析]

因为 X~B(n, p), 所以 E(X)=np, D(X)=np(1 ,

? ?np=1.6 -p),从而有? ? ?np(1-p)=1.28

解之得 n=8,p=0.2.

3.设随机变量 X 服从二项分布 值为

? 1? B?4,3?,则 ? ?

D(X)的

( 4 A.3 8 C. 9
[答案] C

)

8 B.3 1 D. 9

? 二、填空题 ? 4 .某射手击中目标的概率为 p ,则他射击 一次击中目标的次数 X的均值是 ________, 方差是________. ? [答案] p 1-p

5随机变量X的分布列如下表:

X P

0 x

1 y

2 z

其中x、y、z成等差数列,若E(X)=

,则D(X)

的值是______.

[解析]

1 E(X)=0×x+1×y+2×z=y+2z= , 3

2 1 又 x+y+z=1,且 2y=x+z,∴x=3,y=3,z=0, 12 2 12 1 12 2 ∴D(X)=(0- ) × +(1- ) × +(2- ) ×0= . 3 3 3 3 3 9

? 三、解答题 ? 6.设在15个同类型的零件中有 2个是次品, 每次任取 1 个,取出后不再放回,共取 3 次.若以X表示取出次品的个数,求X的均 值和方差. ? [ 分析 ] 首先求出各种情况的概率,写出 概率分布,注意零件取后不放回.

1 2 C3 22 C 12 13 2C13 [解析] P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C15 35 C15 35 2 1 C2 C13 1 P(X=2)= C3 =35, 15

故 X 的分布列为: X P 0 22 35 1 12 35 2 1 35

22 12 1 2 则 E(X)=0× +1× +2× = , 35 35 35 5 ? 2?2 22 ? 2?2 12 ? 2?2 1 52 D(X)=?0-5? × +?1-5? × +?2-5? × = . 35 ? 35 ? 35 175 ? ? ? ?

六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a 2 DX
若X 服从两点分布,则D( X ) ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则D( X ) ? np(1 ? p)


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