用向量方法证明空间中的平行与垂直

用向量方法证明空间中的平行与垂直
1.已知直线 a 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n, 下列结论成立的是( C ) A.若 a∥n,则 a∥α B.若 a· n=0,则 a⊥α C.若 a∥n,则 a⊥α D.若 a· n=0,则 a∥α 解析:由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项 D,直线 a?平 面 α 也满足 a· n=0. 2.已知 α,β 是两个不重合的平面,其法向量分别为 n1,n2,给出下列结 论: ①若 n1∥n2,则 α∥β; ②若 n1∥n2,则 α⊥β; ③若 n1· n2=0,则 α⊥β; ④若 n1· n2=0,则 α∥β. 其中正确的是( A ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ → 平行的一个向量的坐 3.(原创)已知 A(3,-2,1),B(4,-5,3),则与向量AB 标是( C ) 1 A.(3,1,1) B. (-1,-3,2) 1 3 C.(-2,2,-1) D.( 2,-3,- 2 2) → =(1,-3,2)=-2(-1,3,-1), 解析:AB 2 2 → 平行的一个向量的坐标是(-1,3,-1),故选 C. 所以与向量AB 2 2 4.设 l1 的方向向量为 a=(1,2,-2),l2 的方向向量为 b=(-2,3,m),若 l1⊥l2,则 m 等于 2 . 5.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α ∥β,则 k= 4 . 解析:因为 α∥β,所以(-2,-4,k)=λ(1,2,- 2), 所以-2=λ,k=-2λ,所以 k=4. → =(1,5,-2),BC → =(3,1,z).若AB → ⊥BC → ,BP → =(x-1,y,-3), 6.已知AB 40 且 BP⊥平面 ABC,则实数 x= 7 ,y= → → 15 - 7 ,z= 4 .

BC=3+5-2z=0 ?AB· →· → =x-1+5y+6=0 解析:由已知?BP AB →· → =3?x-1?+y-3z=0 ?BP BC 40 15 解得 x= 7 ,y=- 7 ,z=4.



7.(原创)若 a=(2,1,- 3),b=(-1,5, 3),则以 a,b 为邻边的平行四 边形的面积为 2 58. 解析:因为 a· b=(2,1,- 3)· (-1,5, 3)=0, 所以 a⊥b,又|a|=2 2,|b|= 29,
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所以以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为 |a|· |b|=2 2× 29=2 58. 8.如图, 平面 PAC⊥平面 ABC, △ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E,F,O 分别为 PA,PB,AC 的中点,AC=16,PA=PC=10.设 G 是 OC 的中 点,证明:FG∥平面 BOE.

证明:如图,连接 OP,因为 PA=PC,AB=BC,所以 PO⊥AC,BO⊥AC, 又平面 PAC⊥平面 ABC,所以可以以点 O 为坐标原点,分别以 OB,OC,OP 所 在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.

则 O(0,0,0) , A(0 ,- 8,0) , B(8,0,0) , C(0,8,0) , P(0,0,6) , E(0 , - 4,3) , F(4, 0,3).由题意,得 G(0,4,0). → =(8,0,0),OE → =(0,-4,3), 因为OB 设平面 BOE 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ?n· OB=0 ?x=0 则? ,即? , → - 4 y + 3 z = 0 ? ? OE=0 ? n· 取 y=3,则 z=4,所以 n=(0,3,4). → =(-4,4,-3),得 n· → =0. 由FG FG 又直线 FG 不在平面 BOE 内,所以 FG∥平面 BOE.

9.如图,四棱锥 PABCD 的底面为正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA =AD=2,E,F,H 分别是线段 PA,PD,AB 的中点. (1)求证:PB∥平面 EFH; (2)求证:PD⊥平面 AHF.

证明:建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,
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所以 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1), H(1,0,0). → =(2,0,-2),EH → =(1,0,-1), (1)因为PB → =2EH →, 所以PB 因为 PB?平面 EFH,且 EH?平面 EFH, 所以 PB∥平面 EFH. → =(0,2,-2),AH → =(1,0,0),AF → =(0,1,1), (2)因为PD →· → =0×0+2×1+(-2)×1=0, 所以PD AF →· → =0×1+2×0+(-2)×0=0, PD AH 所以 PD⊥AF,PD⊥AH, 又因为 AF∩AH=A,所以 PD⊥平面 AHF.

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