讲义—抽象函数与分段函数


抽象函数
1. 求定义域 1 ○. 函数 y? f (x 的定义域为 (? ,],则函数 y flgx?] ? 1 ?[ 2 2 2的定义域是___。 o( ) )
2 2 ○. 已知函数 f(x+1)的定义域为[1,2],求(1)f(x)的定义域.(2) f(x-3) 的定义域; (3) f(x )的定 义域 2. 判断奇偶性

1 ○.已知 f ( x ) 的定义域为 R,且对任意实数 x,y 满足 fx ? ? ,求证: f ( x ) 是偶函数。 ( ) fx fy y () () 3. 判断单调性 1 ○ 如果奇函数 f ( x ) 在区间 [3,7] 上是增函数且有最小值为 5,那么 f ( x ) 在区间 [ 7 ?3 上是 ?, ] 2 ○ 已知偶函数 f ( x ) 在 ( , )上是减函数,问 f ( x ) 在 (? , )上是增函数还是减函数,并证明 0 ?? ? 0 你的结论。 4. 求函数值
? 1 ○ 已知 f ( x ) 定义域为 R ,且 fxy fx fy (?? ) ( 一切正实数 x,y 都成立,若 f ( ) ?4,则 ) (? ) 8

f (2) ? _______。
2 ○ 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, 且满足:f ( x ? 2)[1 ? f ( x )] ? 1 ? f ( x ) , f (1) ? 1997 , f(2013) 求 的值。 5. 讨论不等式的解 1 ○ 已知函数 f ( x ) 是定义在 (? ,]上的减函数,且对一切实数 x,不等式 fksx fk s x ? 1 (? ) (2 i2 i ? ? n n) 恒成立,求 k 的值。 分析:由单调性,脱去函数记号,得
?k 2 ? sin2 x ? 1 ? ? ?k ? sin x ? k 2 ? sin2 x ? ?k 2 ? 1? sin2 x (1 ) ? ?? 2 1 1 2 ?k ? k ? 4 ? (sin x ? 2) ?

?2? ?i 2xm ? ? k ( s )i 1 1 n n ? ? ? ?2 ? k 1 1 1 9? ? 2 k k (i ? ) a n x ? ? ? ?s x 2m ? ? 4 4 ? ?
(2)

6. 研究函数的图象 1 ○. 若函数 y f( ? ) ? x 2是偶函数,则 y? f (x 的图象关于直线_______对称。 ) 2 ) ○. 若函数 f ( x ) 的图象过点(0,1) ,则 f (x?4 的反函数的图象必过定点______。

分段函数
? 2e x ?1 , x?2 1、设 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为( ? 2 log 3 ? x ? 1? , x ? 2 ? ? A. 0 B. 1 C. 2

) D. 3 )

2、 (2009 山东卷)定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) = ? 3、给出函数 f ( x) ? ?( ) x ? 2 4、函数 f ( x) ? ?
? 1 ( x ? 4) ,则 ( x ? 4)

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f (3) 的值为 ( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0


f (log 2 3) ? (

? f ( x ? 1) ?

?sin(? x 2 ), ?1 ? x ? 0, ? ,若 f ?1? ? f ?a ? ? 2 ,则 a 的所有可能值为( x ?1 ?e , x ? 0. ?
? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ,则不等式 f ( x) ? ? ? x ? 6, x ? 0

) )

5、 (2009 天津卷)设函数

f ( x) ? f (1) 的解集是(


6、设函数

?2? x ? 1, x ? 0, ? f ( x) ? ? 1 ?x 2 , x?0 ?

若f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是(

2 7、 (2010 天津卷)设函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是( ? log 1 (? x) ( x ? 0)

?log x ? ?
2

( x ? 0)



8、 (2010 天津卷)设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) , f ( x) ? ? g ( x) ? x ? 4 , ?
2

x ? g ( x ) ,则 x ? g ( x)

? g ( x) ? x ,

f (x) 的值域是



) B. [0,?? ) C. [?

9 A. [? ,0] ? (1,??) 4

9 ,??) 4

D. [?

9 ,0] ? (2,??) 4


1 ? , x ? 0, ?log 2 9、已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为 x?2 ?3 x , x ? 0, ?
10、设函数 f ( x ) ? ?

? x ? 3, ( x ? 10) ,则 f (5) = ? f ( f ( x ? 5)), ( x ? 10)




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