上海市崇明县2014届高三数学二模试卷(理科_含答案)

崇明县 2014 年高考模拟高三数学(理科)
一、填空题
1、经过点 A (1, 0) 且法向量为 n ? (2, ? 1) 的直线 l 的方程是 .
? 1 ? 2、已知集合 A ? ? x | ? 1, x ? R ? ,集合 B 是函数 y ? lg ( x ? 1) 的定义域,则 A B ? . ? x ? x2 y2 3、方程 . ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 m 取值范围是 m?2 4 4、已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, Sn (n ? N ? ) 表示数列 ?an ? 的前 n 项和,则

Sn . ? n ?1 1 5、在 ( ? x2 )6 的展开式中,含 x 3 项的系数等于 x lim
n ?? 2

. (结果用数值作答)

6、方程 sin x ? cos x ? ?1 的解集是



7、实系数一元二次方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的一根为 x1 ?
a?b?

3?i (其中 i 为虚数单位) ,则 1? i



8、某高中共有学生 1000 名,其中高一年级共有学生 380 人,高二年级男生有 180 人.如果在 全校学生中抽取 1 名学生,抽到高二年级女生的概率为 0.19,现采用分层抽样(按年级分层) 在全校抽取 100 人,则应在高三年级中抽取的人数等于 .

9、已知 f ( x) ? 2 x 的反函数为 y ? f ?1 ( x), g ( x) ? f ?1 (1 ? x) ? f ?1 (1 ? x) ,则不等式 g ( x) ? 0 的解集是 . 10、已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们 的体积之比 V圆柱:V球 = (结果用数值作答) . 11、在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ?

?
6

( ? ? R) 的距离等于



? ? 2ax ? 1 x ? ? 0,1? 12、如果函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? log 2 x ,关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ? ?3ax ? 1 x ? ?1, ?? ?
对于任意 x ? (0, ? ?) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

13、已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ( x ? R) 同时满足:① 不等式 f ( x) ≤ 0 的解集有且只有一个 元素;② 在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.设数列 ?an ? 的前 n 项 和为 Sn ,且 Sn ? f (n) .规定:各项均不为零的数列 ?bn ? 中,所有满足 bi ? bi ?1 ? 0 的正整数 i 的个数称为这个数列 ?bn ? 的变号数.若令 bn ? 1 ? 于 .
a (n? N *) ,则数列 ?bn ? 的变号数等 an

14、已知圆 O : x2 ? y 2 ? c (0 ? c ≤1) ,点 P (a, b) 是该圆面(包括⊙O 圆周及内部)上一点,则 -1-

a ? b ? c 的最小值等于



二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的
相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 15、给出下列命题,其中正确的命题是………………………………………………………( A.若 z ? C ,且 z ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数
2



B.若 z1 、 z2 ? C 且 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 C.若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立
2

? z2

D.若 x ? C ,则方程 x 3 ? 2 只有一个根 16、已知 ?: x ≥ a , ?: x ? 1 ? 1 .若 ? 是 ? 的必要非充分条件,则实数 a 的取值范围是…( A. a ≥ 0 C. a ≥ 2 B. a ≤ 0 D. a ≤ 2 )

17、已知随机变量 ? 的分布律如右图,其中 a , b, c 成等差数列, ? 0 ?1 1 1 p(? ) 如果 E (? ) ? ,则 D (? ) 的值等于 ………………( ) b a c 3 4 1 A. B. 9 3 2 5 C. D. 3 9 sin x 18、某同学对函数 f ( x) ? 进行研究后,得出以下五个结论:① 函数 y ? f ( x) 的图像是轴对 x 称图形;②函数 y ? f ( x) 对任意定义域中 x 值,恒有 f ( x ) ? 1 成立;③函数 y ? f ( x) 的图 像与 x 轴有无穷多个交点,且每相邻两交点间距离相等;④对于任意常数 N ? 0 ,存在常 数 b ? a ? N ,函数 y ? f ( x) 在 ? a, b? 上单调递减,且 b ? a ≥1 ;⑤ 当常数 k 满足 k ? 0 时, 函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 ( A.① ② ③ ④ B.① ③ ④ ⑤ C.① ② ④ D.① ③ ④ )

-2-

三、解答题(本大题共有 5 小题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤。 19、 (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是矩形,AB ? 1 ,BC ? 2 ,AA1 ? 2 ,

E 是侧棱 BB1 的中点.
(1)求证: A1 E ? 平面 AED ; (2)求二面角 A ? A1 D ? E 的大小.
A D B z C

E D1 O A1 x C1 y B1

20、 (本题满分 14 分)本题共有2小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB ,其中 O 为扇形 OAB 所在圆的圆心, ?AOB ? 60? ,扇形绿地 OAB 的半径为 r .广场管理部门欲在绿地上修建观光 B 小路:在 AB 上选一点 C ,过 C 修建与 OB 平行的小路 CD ,与 OA 平行的小路 CE ,且所修建的小路 CD 与 CE 的总长最长. (1)设 ?COD ? ? ,试将 CD 与 CE 的总长 s 表示成 ? 的函数 s ? f (? ) ; (2)当 ? 取何值时, s 取得最大值?求出 s 的最大值.
O E D C A

-3-

21、 (本题满分 14 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 6 分. 1 ? ax 设 f ( x) ? log 1 ? x 为奇函数, a 为常数. 2 x ?1 (1)求 a 的值; (2)判断函数 f ( x) 在 x ? (1, ? ?) 上的单调性,并说明理由; 1 (3)若对于区间 ?3, 4? 上的每一个 x 值,不等式 f ( x) ? ( ) x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

22、 (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 平面直角坐标系 xoy 中,已知点 (n, an ) (n ? N *) 在函数 y ? a x (a ≥ 2, a ? N ) 的图像上, 点 (n, bn ) (n ? N *) 在直线 y ? (a ? 1) x ? b (b ? R) 上. (1)若点 (1, a1 ) 与点 (1, b1 ) 重合,且 a2 ? b2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:当 a ? 2 时,数列 ?an ? 中任意三项都不能构成等差数列; (3)当 b ? 1 时,记 A ? x | x ? an , n ? N ? , B ? x | x ? bn , n ? N ? ,设 C ? A 元素按从小到大的顺序排列组成数列 ?cn ? ,写出数列 ?cn ? 的通项公式 c n .

?

?

?

?

B ,将集合 C 的

23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. x2 y 2 3 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,且其右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦 2 a b 点 F 重合,过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 P, Q 两点. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 O 为坐标原点,线段 OF 上是否存在点 N (n, 0) ,使得 QP ? NP ? PQ ? NQ ? 若存在,求出 n 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)过点 P0 (4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A, B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为 E , 试证明:直线 AE 过定点.

-4-

参考答案
一、 填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分) 1、 2 x ? y ? 2 ? 0 ;2、 (?1, 0) (1, ??) ;3、 (??, ?2) ;4、 1 ;5、 ?20 ; 6、 {x | x ? 2k? ? 10、

?
2

或x ? 2k? ? ? , k ? Z } ;7、1 ;8、 25 ;9、 (0,1) ;

3 1 1 1 ;11、 3 ;12、 [ , ] ;13、 3 ;14、 ? . 4 3 2 2

二、 选择题 15、A; 16、B; 17、C; 18、C. 三、 解答题 19、 (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解:建立如图所示空间直角坐标系. (1) DA ? ( 2,0,0), AE ? (0,1, ?1), A 1E ? (0,1,1)

? A1E ? DA ? 0, A1E ? AE ? 0, ? A1E ? 平面ADE . A1E ? (0,1,1), A1D ? (? 2,0,2)
?? 2u ? 2w ? 0 ? ?? ? ?v ? w ? 0

? A1E ? DA, A1E ? AE,

(2)设 n1 ? (u, v, w) 是平面 A 1DE 的一个法向量,

解得 w ? 2u, v ? ?w ,取 w ? 1 ,得 n1 ? ( 2, ?1,1)

OC1 ? 平面AA1D ,? 平面AA1D 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0)
设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

n1 ? n2 1 ?? 2 | n1 || n2 |

结合图形,可判别得二面角 A ? A1D ? E 是锐角,它的大小为

? . 3

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解:设扇形的半径为 r .

r CD ? , sin ?CDO sin ?COD 2 3 2 3 ? (2) ? CD ? r sin ? ,同理 CE ? r sin( ? ? ) . 3 3 3 2 3 2 3 ? ? ?? ? s ? f (? ) ? r sin ? ? r sin( ? ? ) ? ? ? 0, ? 3 3 3 ? 3?
(1) 在 ?ODC 中, (2) s ?

? 2 3 ? r sin(? ? ) , ? ? (0, ) . 3 3 3 ? ? 2? ? ? ? (0, ), ?? ? ? ( , ), 3 3 3 3
-5-

? 当? ?

?
3

?

?
2

,即 ? ?

?
6

时, smax ? f ( ) ?

?

6

2 3 r . 3

21、 (本题满分 14 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)

f ( x) ? log 1

? f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域内的任意 x 都成立, 1 ? ax 1 ? ax ? log 1 ? x ? log 1 ? x ? 0, 2 ? x ?1 2 x ?1 1 ? ax 1 ? ax ? ? ? 1 , 解,得 a ? ?1 或 a ? 1 (舍去). ?x ?1 x ?1 1? x (2)由(1)知: f ( x) ? log 1 ?x, 2 x ?1
任取 x1 , x2 ? (1, ??) ,设 x1 ? x2 ,则:

1 ? ax ? x 为奇函数, 2 x ?1

1 ? x1 1 ? x2 x2 ? x1 ? ? ? 0, x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 ? ? ? 0 ,? log 1 ? log 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 1 ? x1 1 ? x2 ? log 1 ? x1 ? log 1 ? x2 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 ? f ( x) 在 x ? (1, ??) 上是增函数. 1 x (3)令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ) , x ?[3, 4] , 2 1 y ? ( ) x 在x ? [3, 4] 上是减函数, 2 1 ? 由(2)知, g ( x) ? f ( x) ? ( ) x , x ?[3, 4] 是增函数, 2 15 ? g ( x) min ? g (3) ? , 8 1 x 对于区间 [3, 4] 上的每一个 x 值,不等式 f ( x ) ? ( ) ? m 恒成立, 2 15 ?m ? 即 m ? g ( x) 恒成立, . 8
22、 (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解:(1)因为 a1 ? b1 ,所以 a ? a ? 1 ? b , b ? ?1 ,
2 由 a2 ? b2 ,得 a ? 2a ? 1 ? 0 ,所以 1 ? 2 ? a ? 1 ? 2 ,

* 因为 a ? 2 且 a ? N ,所以 a ? 2 ,

-6-

所以 bn ? 3n ? 1 , {bn } 是等差数列, (反证法) 假设存在数列 {an } 中的三项 2
q p r p

,2

q

r , 2 成等差数列,其中 p, q, r ? N * , p ? q ? r

则 2 ? 2 ? 2 ? 2 , 且 2q? p ? N ? , 2r ? p ? N ? 所以 2 ? 2
q? p

? 1 ? 2r ? p ,

因为等式左边为偶数,等式右边为奇数,所以等式不成立, 所以假设不成立. 所以数列 {an } 中的任意三项都不能构成等差数列. (2)由题意,得: an ? 2n (n ? N*) , (3)当 b ? 1 时,设 m0 ? C ,则 m0 ? A ,且 m0 ? B ,设 m0 ? at (t ? N* ) , m0 ? (a ? 1)s ? 1(s ? N* ) ,则

at ? (a ? 1)s ? 1 ,所以 s ?

at ? 1 , a ?1

t 因为 a, t , s ? N* ,且 a ? 2 ,所以 a ? 1 能被 a ? 1 整除.

1 当 t ? 1 时, s ? ○

a ?1 ? N* ; a ?1
1 ? C2 n (a ? 1) ? 1 ? 1,

* 2n 2 当 t ? 2n(n ? N ) 时, a ○ ?1 ? [(a ?1) ?1]2n ?1 ? (a ?1)2n ?
t 所以 a ? b 能被 a ? 1 整除.

3 当 t ? 2n ? 1(n ? N ) 时, ○

*

a2n?1 ?1 ? [(a ? 1) ?1]2n?1 ?1 ? (a ? 1)2n?1 ?
t 所以 a ? 1 不能被 a ? 1 整除.
2n * 综上, b ? 1 时, C ? { y y ? a , n ? N } ,

1 ? C2 n?1 (a ? 1) ? 2 ,

所以 cn ? a2n (n ? N*) . 23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)由题意,得: F (1, 0)

9 ? 2 ? 1 ? x2 y 2 ? 4 ?a ? 4 ? ?1 ; 所以 ? 2 ? 2 ? 1 , 解,得 ? 2 ,所以椭圆的方程为: a b 4 3 b ? 3 ? ? ? 2 2 ? ?a ? b ? 1 x2 y 2 ? ? 1 ,得: (2)设直线 PQ 的方程为: y ? k ( x ? 1), (k ? 0) ,代入 4 3 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ?12 ? 0

? ? (?8k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(8k 2 ?12) ? 0 恒成立.
-7-

设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ), 线段 PQ 的中点为 R( x3 , y3 ) 则 x3 ?



x1 ? x2 4k 2 3k ? , y3 ? k ( x3 ? 1) ? ? , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 由 QP ? NP ? PQ ? NQ 得: PQ ? (NQ ? NP) ? PQ ? (2NR ) ? 0 , 所以直线 NR 为直线 PQ 的垂直平分线, 3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ) , 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2 k2 1 ? 令 y ? 0 得: N 点的横坐标 n ? , 2 3 3 ? 4k ?4 k2 3 1 因为 k 2 ? (0, ??) , 所以 2 ? 4 ? (4, ??) ,所以 n ? (0, ) . k 4
直线 NR 的方程为: y ? 所以线段 OF 上存在点 N ( n, 0) 使得 QP ? NP ? PQ ? NQ ,其中 n ? (0, ) .

1 4

x2 y 2 ? ? 1 ,得: (3) 证明:设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4), (k ? 0) ,代入 4 3 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 , 1 1 由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 ,得: k ? ( ? , ) , 2 2 设 A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ), E( x4 , ? y4 ) ,则 32k 2 64k 2 ? 12 x3 ? x4 ? , x3 x4 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 y ? y4 则直线 AE 的方程为 y ? y3 ? 3 ( x ? x3 ) , x3 ? x4 x ? x4 x y ?x y x ? k ( x4 ? 4) ? x4 ? k ( x3 ? 4) 令 y ? 0 得: x ? ? y3 ? 3 ? x3 ? 3 4 4 3 ? 3 y3 ? y4 y3 ? y4 k ( x3 ? x4 ? 8)

64k 2 ? 12 32k 2 2? ? 4? 2 x ? x ? 4( x3 ? x4 ) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 1 , ? 3 4 ? 2 32k x3 ? x4 ? 8 ?8 3 ? 4k 2 所以直线 AE 过定点 (1, 0) .

-8-


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