2015-2016学年高中数学 第3章 三角恒等变形基础知识检测 北师大版必修4

2015-2016 学年高中数学 第 3 章 三角恒等变形基础知识检测 北师 大版必修 4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 3 1.已知 α 为第二象限角,sinα = ,则 sin2α =( 5 24 A.- 25 12 C. 25 [答案] A [解析] 此题是给值求值题,考查基本关系式、二倍角公式. 3 π ∵sinα = ,α ∈( ,π ), 5 2 ∴cosα =- 3 2 4 1-? ? =- , 5 5 12 B.- 25 24 D. 25 )

3 4 24 ∴sin2α =2sinα cosα =2? ?(- )=- . 5 5 25 2.(2015?全国卷Ⅰ理,2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( A.- 3 2 B. 3 2 )

1 C.- 2 [答案] D [解析] 原式=sin 20°cos 3.下列等式中正确的是( A.sin
2

1 D. 2

1 10°+cos 20°sin 10°=sin 30° = ,故选 D. 2 )

α 1 2α +cos = 2 2 2

sinα B.若 α ∈(0,2π ),则一定有 tanα = cosα π C.sin =± 8 1-cos
2

π 8

1

π D.sinα =tanα ?cosα (α ≠kπ + ,k∈Z) 2 [答案] D [解析] 选项 A 中,sin
2

α 2α +cos =1,所以选项 A 不正确;利用同角的三角函数基本 2 2

π 关系时一定要注意其隐含条件,对于选项 B 中 cosα ≠0,也即 α ≠kπ + (k∈Z),因而选 2 π π 项 B 不正确;因为 0< < , 8 2 π 所以 sin >0,所以选项 C 不正确. 8 4.若 sin α +sinα =1,则 cos α +cos α 的值为( A.0 C.2 [答案] B [解析] ∵sin α +sinα =1,∴sinα =1-sin α =cos α , ∴cos α +cos α =sin α +sinα =1. 1 π π 5.已知 sinα cosα = ,且 <α < ,则 cosα -sinα 的值为( 8 4 2 A. 3 2 B.- 3 2 )
4 2 2 2 2 2 2 4 2

)

B.1 D.3

3 C. 4 [答案] B π π [解析] ∵ <α < ,∴cosα <sinα , 4 2 ∴cosα -sinα <0,

3 D.- 4

∵(cosα -sinα ) =cos α -2sinα cosα +sin α 1 3 =1-2? = , 8 4 ∴cosα -sinα =- 3 . 2 )

2

2

2

π 4 1 6.若 α ,β ∈(0, ),且 tanα = ,tanβ = ,则 α -β 的值为( 2 3 7 π A. 3 π C. 6 π B. 4 π D. 8

2

[答案] B 4 1 - 3 7 tanα -tanβ [解析] tan(α -β )= = =1. 1+tanα tanβ 4 1 1+ ? 3 7 π π π π 又 0<α < ,- <-β <0,∴- <α -β < . 2 2 2 2 π ∴α -β = . 4 π π 2 2 7.函数 y=cos (x- )-cos (x+ )的值域是( 4 4 A.[-1,0] C.[-1,1] [答案] C π π 2 2 [解析] y=cos (x- )-cos (x+ ) 4 4 π π 2 2 π =cos (x- )-sin [ -(x+ )] 4 2 4 π π 2 2 =cos (x- )-sin (x- ) 4 4 π =cos2(x- ) 4 π =cos(2x- ) 2 π =cos( -2x) 2 =sin2x, ∴函数的值域为[-1,1]. 8.若 3sinx- 3cosx=2 3sin(x+φ ),φ ∈(-π ,π ),则 φ =( π A.- 6 5π C. 6 [答案] A [解析] 3sinx- 3cosx=2 3? 1 ? 3 ? sinx- cosx? 2 2 ? ? π B. 6 5π D.- 6 ) B.[0,1] 1 D.[- ,1] 2 )

π ? π? =2 3sin?x- ?,又 φ ∈(-π ,π ),∴φ =- . 6 6 ? ?
3

9. (2014?浙江理, 4)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图像, 可以将函数 y= 2cos3x 的图像( )

π A.向右平移 个单位 4 π B.向左平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 π D.向左平移 个单位 12 [答案] C π [解析] 本题考查三角函数图像变换.y=sin3x+cos3x= 2sin(3x+ )= 2cos(3x 4 π π - )只需将 y= 2cos3x 向右平移 个单位,选 C. 4 12 π? 3 π? 2 ? ? 10.已知 tan(α +β )= ,tan?α + ?= ,则 tan?β - ?=( 4 ? 22 4? 5 ? ? 1 A. 5 13 C. 18 [答案] B π? π ?? ? ? ? [解析] tan?β - ?=tan??α +β ?-?α + ?? 4 4 ?? ? ? ? ? π? 2 3 ? - tan?α +β ?-tan?α + ? 4? 5 22 1 ? = = = . π? 2 3 4 ? 1+tan?α +β ?tan?α + ? 1+ ? 4 5 22 ? ? 1 11.已知 f(x)=cosx?cos2x?cos4x,若 f(α )= ,则角 α 不可能等于( 8 π A. 9 2π C. 7 [答案] B [解析] f(x)=cosx?cos2x?cos4x = 8sinx?cosx?cos2x?cos4x sin8x 1 = ,由 f(α )= ,可得 sin8α =sinα ,经验证, 8sinx 8sinx 8 2π B. 9 4π D. 7 ) 1 B. 4 13 D. 22 )

4

2π α = 时,上式不成立. 9 cosB-cosC 12.已知△ABC 中,tanA= 成立,则△ABC 为( sinC-sinB A.等腰三角形 B.A=60°的三角形 C.等腰三角形或 A=60°的三角形 D.不能确定 [答案] B sinA [解析] ∵tanA= , cosA ∴ sinA cosB-cosC = , cosA sinC-sinB )

即 sinA(sinC-sinB)=cosA(cosB-cosC), sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC. ∴cosAcosB+sinAsinB=cosAcosC+sinAsinC. ∴cos(A-B)=cos(A-C)(*). ∵在△ABC 中,0<A<π ,0<B<π ,0<C<π , ∴-π <A-B<π ,-π <A-C<π . 则(*)式为 A-B=A-C 或 A-B=-(A-C), 则 B=C ①或 2A=B+C ②. ∵A+B+C=π , π ∴由②得 A= . 3 若 B=C,则已知等式右边分母为 0,不合题意,故选 B. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.tan21°+tan39°+ 3tan21°?tan39°=________. [答案] 3

[解析] tan(21°+39°)=tan60°= 3, ∴ tan21°+tan39° = 3. 1-tan21°?tan39°

∴tan21°+tan39°+ 3tan21°tan39°= 3. π 2 14.函数 f(x)=sin (2x- )的最小正周期是________. 4

5

[答案]

π 2

[解析] 本题考查了倍角公式及三角函数的性质. π 1-cos?4x- ? 2 π f(x)=sin2(2x- )= 4 2 1 1 =- sin4x+ , 2 2 2π π ∴T= = . 4 2 15.计算 sin50°(1+ 3tan10°)=________. [答案] 1 [解析] 原式=sin50°(1+ 3sin10° ) cos10°

1 3 sin50°?2? cos10°+ sin10°? 2 2 = cos10° = 2sin50°??sin30°cos10°+cos30°sin10°? cos10°

sin40° sin80° cos10° =2cos40°? = = =1. cos10° cos10° cos10° 16.观察下列恒等式: ∵ tan α -1 2?1-tan α ? =- , tanα 2tanα
2 2

1 2 ∴tanα - =- .① tanα tan2α ∴tan2α - ∴tan4α - 1 2 =- .② tan2α tan4α 1 2 =- .③ tan4α tan8α

π π π 1 由此可知:tan +2tan +4tan - =______. 32 16 8 π tan 32 [答案] -8 π π π 1 [解析] tan +2tan +4tan - 32 16 8 π tan 32

6

π π π 1 =4tan +2tan +(tan - ) 8 16 32 π tan 32 π π 2 =4tan +2tan - 8 16 π tan 16 π 4 8 =4tan - =- =-8. 8 π π tan tan 8 4 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 tan α =2tan β +1,求证:sin β =2sin α -1. [证明] 方法一:tan α =2tan β +1, tan α -1 ∴tan β = . 2
2 2 2 2 2 2 2 2

sin β sin β 2 ∵tan β = = , 2 2 cos β 1-sin β ∴sin β =
2

2

2

tan β . 2 1+tan β
2 2

2

tan α -1 sin α -1 2 2 2 tan α -1 cos α 2 ∴sin β = = 2 = 2 2 tan α -1 tan α +1 sin α 1+ +1 2 2 cos α = sin α -cos α 2 =2sin α -1. 2 2 sin α +cos α
2 2 2 2

方法二:∵tan α =2tan β +1, ∴tan α +1=2(tan β +1), 即 即 sin α +cos α sin β +cos β =2? , 2 2 cos α cos β 1 2 = , 2 2 cos α cos β
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即 cos β =2cos α ,即 1-sin β =2(1-sin α ), 即 sin β =2sin α -1. 18.(本小题满分 12 分)已知 sin -2cos =0. 2 2 (1)求 tanx 的值; (2)求 cos2x 的值. π 2cos? +x?sinx 4
2 2

x

x

7

[解析] (1)由 sin -2cos =0,得 tan =2, 2 2 2 2?2 4 ∴tanx= = 2=- . 1-2 3 2x 1-tan 2 (2)原式= 2? = = cos x-sin x 2 2 cosx- sinx?sinx 2 2
2 2

x

x

x

2tan 2

x

?cosx-sinx??cosx+sinx? ?cosx-sinx?sinx cosx+sinx 1 3 1 = +1=(- )+1= . sinx tanx 4 4

19.(本小题满分 12 分)已知 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),(0<α <β <π ), 且 ka+b 与 a-kb 大小相等,求 β -α .(其中 k 为非零实数) [解析] ∵ka+b=(kcosα +cosβ ,ksinα +sinβ ),

a-kb=(cosα -kcosβ ,sinα -ksinβ ),
|ka+b|= k +2kcos?β -α ?+1, |a-kb|= 1-2kcos?β -α ?+k , 又∵|ka+b|=|a-kb|, ∴2kcos(β -α )=-2kcos(β -α ). 由 k≠0,则有 cos(β -α )=0, π 又∵0<α <β <π ,∴β -α = . 2 π 7 2 π 20. (本小题满分 12 分)(2015?烟台高三上学期期末)已知 sin(A+ )= , A∈( , 4 10 4 π ). 2 (1)求 cosA 的值; 5 (2)求函数 f(x)=cos2x+ sinAsinx 的值域. 2 π π π 7 2 [解析] (1)因为 <A< ,且 sin(A+ )= , 4 2 4 10 π π 3π π 2 所以 <A+ < ,cos(A+ )=- . 2 4 4 4 10 π π 因为 cosA=cos[(A+ )- ] 4 4
2 2

8

π π π π =cos(A+ )cos +sin(A+ )sin 4 4 4 4 =- 2 2 7 2 2 3 ? + ? = , 10 2 10 2 5

3 所以 cosA= . 5 4 (2)由(1)可得 sinA= . 5 5 所以 f(x)=cos2x+ sinAsinx 2 1 2 3 2 =1-2sin x+2sinx=-2(sinx- ) + . 2 2 因为 sinx∈[-1,1], 1 3 所以当 sinx= 时,f(x)取最大值 ; 2 2 当 sinx=-1 时,f(x)取最小值-3. 3 所以函数 f(x)的值域为[-3, ]. 2 π 5π 3 2 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ ),x∈R,且 f( )= . 3 12 2 (1)求 A 的值; π π (2)若 f(θ )-f(-θ )= 3,θ ∈(0, ),求 f( -θ ). 2 6 5π 5π π 3π 3 2 [解析] (1)f( )=Asin( + )=Asin = , 12 12 3 4 2 3 2 ∴A= ? 2=3. 2 π (2)由(1)得:f(x)=3sin(x+ ), 3 π π ∴f(θ )-f(-θ )=3sin(θ + )-3sin(-θ + ) 3 3 π π π =3(sinθ cos +cosθ sin )-3[sin(-θ )cos + 3 3 3 π cos(-θ )sin ] 3 π =6sinθ cos =3sinθ ,而 f(θ )-f(-θ )= 3, 3 所以 sinθ = 3 π ,又因为 θ ∈(0, ) 3 2
9

所以 cosθ = 1-sin θ =

2

1-?

3 2 6 ?= , 3 3

π π π 所以 f( -θ )=3sin( -θ + ) 6 6 3 π =3sin( -θ )=3cosθ = 6. 2 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和最小值; 2 6 π π (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos2x0 的值. 5 4 2 [解析] (1)由 f(x)=2 3sinxcosx+2cos x-1, 得 f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos x-1) = 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ π ). 6
2 2 2

所以函数 f(x)的最小正周期为 π . π π π π 因为 f(x)=2sin(2x+ )在区间[0, ]上为增加的,在区间[ , ]上为减少的.又 6 6 6 2

f(0)=1,f( )=2,f( )=-1,所以函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2,最小值为
-1. π (2)由(1)可知 f(x0)=2sin(2x0+ ). 6 6 π 3 又因为 f(x0)= ,所以 sin(2x0+ )= . 5 6 5 π π π 2π 7π 由 x0∈[ , ],得 2x0+ ∈[ , ]. 4 2 6 3 6 π 从而 cos(2x0+ )=- 6 π 4 2 1-sin ?2x0+ ?=- . 6 5

π 6

π 2

π 2

π π 所以 cos2x0=cos[(2x0+ )- ] 6 6 π π π π =cos(2x0+ )cos +sin(2x0+ )sin 6 6 6 6 = 3-4 3 . 10

10


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