5502666:高中数学必修四教学课件:2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》PPT课件(新人教A版必修4)_图文

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2.4.1《平面向量数量积 的物理背景及其含义》 问题1:如图所示,一物体在力F的作用下产生位移为S, (1)力F所做的功W= 。 (2) 请同学们分析这个公式的特点: W(功)是 量, F(力)是 量, S(位移)是 量 ? θ是 。 F S 活动一:探究数量积的含义 1、概念的抽象 问题2:你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,其结 果又该如何表述? 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积; 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 2、明晰数量积的定义 ? ? ? ? (1)定义 :a ? b ? a b cos? (2)定义的简单说明: 问题3:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么 不同?影响数量积大小的因素有哪些?并完成下表: 夹角 的范围 ? ? a ? b 的正负 ? 0? ? ? ? 90 ? ? ? 90? 90? ? ? ? 180 ? 3、研究数量积的几何意义 (1)给出向量投影的概念 B O ? ?? b?? cos ? B1 A (2)问题4:数量积的几何意义是什么? 4、研究数量积的物理意义 问题5:(1)功的数学本质是什么? (2)尝试练习 一物体质量是10千克,分别做以下运动,求重力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米; ②、竖直下降10米;; ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米; ①、在水平面上位移为10米; G S W ?0 ②、竖直下降10米; S G S W?GS ③、竖直向上提升10米; G W ? ?G S ④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米; S ? G W ? G S cos( 180 ? ? 30?) 活动二:探究数量积的运算性 质 1、性质的发现 问题6: (1)将问题①②③的结论推广到一般向量, 你能得到哪些结论? ? ? ? ? (2)比较 a ? b 与a ? b 的大小,你有什么 结论? 2、明晰数量积的性质 设向量 a 与 b 都是非零向量,则 ? ? ? ? a ·b =0 (1) a⊥ b ? ? ? ? ? ? a ·b=|a|| b| (2)当 a 与 b 同向时, ? ? ? ? ? ? a ·b =-| a||b | 当 a 与 b 反向时, ? ? 2 ? ? a = a 或︱︱ a =︱︱ a · 特别地, ? a?a ? ? ? (3)︱a ·b ︱≤ | a || b| ? ? 3、性质的证明 活动三:探究数量积的运算律 1、运算律的发现 问题7: 我们学过了实数乘法的那些运算律? 这些 运算律对向量是否也适用? 学生可能的回答: ① a·b= b·a ②(a·b)c= a (b·c) ③(a + b)·c=a·c +b ·c 2、明晰运算律 ? ? ? ? ?已知向量 和实数λ,则: (1) a ? b ? b ?a ? ? ? ? ? ? (2)??a ?? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? ? a, b , c ? ? ? ? ? ? 3、运算律的证明 学生独立证明运算律(2) ? ? ? ? 证明反思:当λ<0时,向量a 与? a 、 与?b b ? ? ? 的方向的关系如何?此时,向量? a 与 b 、 a 与 ? ? ? ?b的夹角与向量 a 与 b 的夹角相等吗? 师生共同证明运算律(3) 活动四:应用与提高 ? ? ? ? ? ? ? ? 例1、已知a ? 6, b ? 4,a与b 的夹角为 60?,求 a ? 2b ? a ? 3b . 并思考此运算过程类似 于哪种实数运算? ? ?? ? ? ? 例2、对任意向量 a,b 是否有以下结论: ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1) a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? ? ? ? ?2 ?2 (2) a ? b ? a ? b ? a ? b ? ? ? ? 例3、已知 a ? 3, b ? 4,a与b 不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb 与a ? kb 互相垂直? ? ? ? ?? ? 学生练习 1、判断下列各命题是否 正确,并说明理由 ? ? ? ? (1)若a ? 0,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? ? (2)若a ? 0,a ? b ? a ? c , 则b ? c ? ? ? ? 2、已知 ?ABC中, AB ? a , AC ? b ,当a ? b ? 0 ? ? 或a ? b ? 0时,试判断 ?ABC的形状。 活动五、课堂小结与布置作业 1、本节课我们学习的主要内容是什么? 2、平面向量数量积的两个基本应用是什么? 3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究?在运算律的探究过程中, 渗透了哪些数学思想? 4、类比向量的线性运算,我们还应该怎样研 究数量积? 返回 作业: 课本P121习题2.4A组1、2、3。 拓展与提高: ? ? ? ? ? ? 已知 a与 b 都是非零向量,且 与 a ? 3 b 7 a ? 5 b ? ? ? ? ? ? 垂直,a ? 4b与7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。

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