2016-2017学年河北省邢台市第一中学高二上学期第三次月考数学(理)试题

2016-2017 学年河北省邢台市第一中学高二上学期第三次月考数学(理)试题 高二年级数学试题(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.“ m ? 0 , n ? 0 ”是“方程 mx 2 ? ny 2 ? 1 表示椭圆”的( A.充分不必要条件
2



B.必要不充分条件
2

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

2.方程 mx ? (m ? 1) y ? m(m ? 1)(m ? R ) 表示的曲线不可能是( A. 直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

3.有下列四个命题:①若“ xy ? 1 ,则 x, y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③若“ m ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有实数解”的逆否命题;④“若 A ∩ B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题.其 中真命题为( A.①② ) B.②③ C.①④ D.①②③ )

4.设 a、b、c 表示三条直线, ?、? 表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是( A.已知 c ? ? ,若 c ? ? ,则 ? / / ? C. 已知 b ? ? ,若 b ? ? ,则 ? ? ?

B.已知 b ? ? , c 是 a 在 ? 内的射影,若 b ? c ,则 b ? a D.已知 b ? ? , c ? ? ,若 c / /? ,则 c / / b

5.若双曲线 ( A.2 )

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则该双曲线的虚轴长是 3 b 4

B.1

C.

5 5

D.

2 5 5

6.已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的准线与抛物线 C2 : x 2 ? ?2 py ( p ? 0) 交于 A、B 两点, C1 的焦点为

F ,若 ?FAB 的面积等于 1,则 C1 的方程是(
A. x ? 2 y
2



B. x 2 ?

2y

C. x ? y
2

D. x 2 ?

2 y 2


7.已知 F 是抛物线 y ?
第页

1 2 x 的焦点, P 是该抛物线上的动点,则 PF 中点的轨迹方程是( 8
1

A. x 2 ? 4 y ? 2 ? 0

B. 2 x 2 ? 8 y ? 1 ? 0

C. x 2 ? 4 y ? 4 ? 0 )

D. 2 x 2 ? 8 y ? 6 ? 0

8.直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y 2 ? 8 x 只有一个公共点,则 k 的值为( A.1 B.0
2

C.1 或 0

D. 1 或 3

x2 y 2 9.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,两条曲线的 a b
交点的连线经过点 F ,则双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. 1 ? 2 ) D. 1 ? 3

10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线 4 b2


相交于 A, B, C , D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b ,则双曲线的方程为(

A.

x2 3 y 2 ? ?1 4 4

B.

x2 4 y 2 ? ?1 4 3

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3
2

D.

x2 y 2 ? ?1 4 12

11.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之 和的最小值是( A.2 ) C.

B.3

11 5

D.

37 16

12.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 a 2 b2


?F2 PF1 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是(
A. ( , )

1 2 3 3

B. ( ,1)

1 2

C.

2 ( ,1) 3

D. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.抛物线 y ? ?2 x 的准线方程是__________.
2

14.设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x ? 2 y ? 1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方
2 2

程为_____________.

AB ? BC ,AB ? BC ,AC ? 2a , BB1 ? 3a , 15.如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,
D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF =________时, CF ? 平面 B1 DF .
第页 2

16.直线 y ? x ? 3 与曲线

y2 x | x | ? ? 1 的公共点的个数为___________个. 9 4

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)
17.(本小题满分 12 分) 设命题 p : ?x0 ? R , 使得 x0 2 ? 2ax0 ? a ? 0 ; 命题 q : ?x ? R ,ax 2 ? 4 x ? a ? ?2 x 2 ? 1 ; 如果命题 “ p?q” 为真命题, “ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C 过点 P (3, 5) ,离心率为 2 . (1)求双曲线 C 的方程; (2) 过 C 的左顶点 A 引 C 的一条渐近线的平行线 l , 求直线 l 与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积. 19. (本小题满分 12 分)

?ACB ? 120° , 如图, 四边形 PCBM 是直角梯形,?PCB ? 90? , PM / / BC ,PM ? AC ? 1 ,BC ? 2 ,

AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? .

(1)求证:平面 PAC ? 平面 ABC ; (2)求锐二面角 M ? AC ? B 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A、B 两点.
2

第页

3

(1)求证: “如果直线 l 过点 T (3, 0) ,那么 OA ? OB ? 3 ”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知定点 F (0,1) 和直线 l1 : y ? ?1 ,过定点 F 且与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C . (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交动点 C 的轨迹于两点 P、Q ,交直线 l1 于点 R ,求 RP ? RQ 的最小值. 22.(本小题满分 12 分)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) ,过点 P (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线,切点分别为 A、B ,直线 AB a b 3
恰好经过椭圆 C 的右焦点和上顶点.

(1)求直线 AB 及椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M , N 两点( M , N 不是左右顶点) ,椭圆的右顶点为 D ,且满 足 DM ? DN ? 0 ,试判断直线 l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

???? ? ????

高二年级数学试题(理科)参考答案
一、 选择题 BDDCA 二、 填空题 ACCCD AD

1 13. y ? ; 8
三、解答题
第页

x2 ? y2 ? 1; 14. 2

15. a 或 2a ;

16.3

4

17 解:当命题 p 为真时,Δ =4a +4a≥0 得 a≥0 或 a≤-1,----2 分 当命题 q 为真时,(a+2)x +4x+a-1≥0 恒成立, ∴a+2>0 且 16-4(a+2)(a-1)≤0,即 a≥2.(6 分) 由题意得,命题 p 和命题 q 一真一假. 当命题 p 为真,命题 q 为假时,得 a≤-1 或 0 ? a ? 2 ;--------6 分 当命题 p 为假,命题 q 为真时,得 a ? ? ; ----------8 分 ------4 分
2

2

∴实数 a 的取值范围为 (??, ?1] ? [0, 2) .------------10 分 18 解: (Ⅰ)设双曲线的实轴长为 2a ,虚轴长为 2b ,则

b c2 ? a2 ? ? e 2 ? 1 ? 1 --2 分 a a

? a ? b ,故双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,----------4 分
将 x ? 3 代入 y ? x 得 y ? 3 ? 5 , 故双曲线的焦点在 x 轴上,
2 2 2

--------6 分

设其方程为 x ? y ? a ,代入 P (3, 5) 得 a 2 ? 4 , 故所求双曲线方程为 x ? y ? 4 。----------8 分
2 2

注:也可分焦点在 x 轴和 y 轴两种情况讨论 (II)双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的左顶点 A(?2, 0) ,渐近线方程为 y ? ? x 过点 A 与渐近线 y ? x 平行的直线方程为 y ? x ? 2 , 它与双曲线的另一渐近线 y ? ? x 交于 M (?1,1) ∴所求三角形的面积为. S ? --------10 分

1 1 OA yM ? ? 2 ? 1 ? 1 ---------------12 分 2 2

19.解: (Ⅰ)因为 PC ? AB, PC ? BC , AB I BC ? B ; 所以 PC ? 平面ABC . ???????????????2 分

又因为 PC ? 平面 PAC ,所以 平面PAC ? 平面ABC ???????4 分 (Ⅱ)在平面 ABC 内,过 C 作 Cx ? CB ,

第页

5

建立空间直角坐标系 C ? xyz (如图)????5 分 由题意有 C (0, 0, 0) , A(

3 1 , ? , 0) , 2 2

设 P (0, 0, z0 ) ( z0 ? 0) ,则 M (0,1, z0 ) ,

uur uuur 3 3 AM ? (? , , z0 ) , CP ? (0, 0, z0 ) . 2 2
由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 60? 得

?????????7 分

uuur uur uuur uur 1 AM ? CP ? AM ? CP ? cos 60?, z0 2 ? 3 ? z0 2 ? z0 ? 解得 z0 ? 1 ???9 分 2,
所以 CM ? (0,1,1) , CA ? (

uuur

uur

3 1 , ? , 0) 2 2

r uuur ? r ?n ? CM ? 0 设平面 MAC 的一个法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? r uur ,即 n ? CA ? 0 ? ?
取 x1 ? 1 ,得 n ? (1, 3, ? 3) . 平面 ABC 的法向量取为 m ? (0, 0,1)

? y1 ? z1 ? 0 ? ? 3 1 x1 ? y1 ? 0 ? ? 2 2



r

????????10 分 ?????????????11 分

u r

u r r u r r m?n 21 设 m 与 n 所成的角为 ? ,则 cos ? ? u r r ?? 7 m?n
因为二面角 M ? AC ? B 的平面角为锐角,

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.
? ?y =2x 由? ?y=k?x-3? ?
2

得 ky -2y-6k=0,则 y1y2=-6.

2

-------4 分

1 2 1 2 又∵x1= y1,x2= y2, 2 2 → → 1 2 ∴OA·OB=x1x2+y1y2= (y1y2) +y1y2=3. 4
第页 6

→ → 综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么OA·OB=3”是真命题. -----6 分 → → 2 (II) 解: 逆命题是: 设直线 l 交抛物线 y =2x 于 A、 B 两点, 如果OA·OB=3, 那么该直线过点 T(3,0). 该 命题是假命题.-------8 分 → → 1 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( ,1),此时OA·OB=3, 2 2 1 直线 AB 的方程为 y= (x- )+1,而点 T(3,0)不在直线 AB 上. 3 2 21、(I)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x =4y.----------4 分 (II)由题意知,直线的斜率存在且不为零,故直线 l2 的方程可设为 y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立 消去 y,得 x -4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 又易得点 R 的坐标为 (?
2 2

-------12 分

2 , ?1) k
k

------8 分

→ → 2 2 2 2 ∴RP·RQ= ( x1 ? , y1 ? 1) ? ( x2 ? , y2 ? 1) = ( x1 ? )( x2 ? ) +(kx1+2)(kx2+2)

k

k

k

4 4 2 2 2 2 =(1+k )x1x2+ ( ? 2k ) (x1+x2)+ 2+4=-4(1+k )+ 4k ( ? 2k ) + 2+4

k

k

k

k

= 4(

1 ? k 2 ) +8. 2 k
k

-------10 分

1 2 2 ∵k + 2≥2,当且仅当 k =1 时取等号, → → → → ∴RP·RQ≥4×2+8=16,即RP·RQ的最小值为 16. 22. (本小题满分 12 分) 解:(I)方法一 :过点 P 作圆的切线,

------12 分

第页

7

由题,其中一条切线方程为:x=1 ? A(1, 0) 由题意得, OP ? AB ,

? kOP ?

3 ,? k AB ? ? 3 3

?????2 分

所以,直线 AB 的方程为: y ? ? 3( x ? 1) ,即 3 x ? y ? 3 ? 0 ???3 分 直线 AB 与坐标轴交于 ∴椭圆 C 右焦点为 F(1,0) ,上顶点为 (0, 3) ??????????4 分 即 c ? 1, b ? 方法二 : 以 OP 为直径的圆的方程为: x( x ? 1) ? y ( y ?

3 ? a ? 2 ∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ?????5 分 4 3

3 3 ) ? 0 ,即 x 2 ? y 2 ? x ? y?0 3 3 3 y ?1 ? 0 , 3

? 2 3 y?0 ?x ? y2 ? x ? ? 3 ? x2 ? y 2 ?1 ? 0 ?
即 3x ? y ? 3 ? 0

两式相减,得到直线 AB 的方程为: x ?

(以下同方法一)

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (II)由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 , ???6 分 ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0 ,即 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8mk 4(m 2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m 2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2
??8 分

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

???? ? ???? ? DM ? DN ? 0 ,又椭圆的右顶点 D(2, 0),
???? ? ???? ? DM ? ( x1 ? 2, y1 ? 2), DN ? ( x2 ? 2, y2 ? 2) ???? ? ???? ? DM ? DN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? 0
∴ y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
第页 8

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7 m 2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 . ??10 分 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). ??????????12 分 7
当m ? ?

第页

9


相关文档

河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二下学期第三次月考数学(理)试题
2016-2017学年河北省邢台市第一中学高二上学期第三次月考理科数学(详细答案版)
河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二上学期第三次月考理科数学试卷 Word版含解析
河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二下学期3月月考数学(理)试题
河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二下学期第二次月考数学理试题 含答案 精品
河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二下学期第三次月考英语试题
【全国百强校word】河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二下学期第
河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二下学期第三次月考政治试题 含答案 精品
河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二上学期第三次月考数学(文)试题(图片版)含答案.doc
2016-2017学年河北省邢台市第一中学高一上学期第三次月考数学试题
电脑版