2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5课件:第一章 §3 平均值不等式_图文

理解教 材新知 § 3 第 一 章 平 均 值 不 等 式 把握热 点考向 考点一 考点二 应用创 新演练 § 3 平均值不等式 [自主学习] 1.定理 1 对任意实数 a,b,有 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取 “=”号. 2.定理 2(两个正数的平均值不等式) a+b ≥ 对任意两个正数 a,b,有 2 时取“=”号. ab,当且仅当 a=b a+b 我们称 为正数 a 与 b 的算术平均值, ab为正数 a 与 b 的几 2 何平均值;因此定理 2 又可叙述为:两个正数的算术平均值不小于 它们的几何平均值 . 3.定理 3 对任意三个正数 a,b,c,有 a3+b3+c3 ≥ 3abc,当且仅当 a=b=c 时取“=”号. 4.定理 4(三个正数的平均值不等式) a+b+c 3 对任意三个正数 a,b,c,有 ≥ abc,当且仅当 3 a=b=c 时取“=”号. 这个定理可以叙述为:三个正数的算术平均值不小于它们 的几何平均值 . 5.定理 2,4 的推广 n a1+a2+…+an n 一般地, 对 n 个正数 a1, a2, …, an(n≥2), 数值 , a1a2…an ,分别称为这 n 个正数的算术平均值与几何平均值.且 a1+a2+…+an n a1a2…an . n 有: ≥ 当且仅当 a1=a2=…=an 时,取“=”号,即 n 个正数的算术 平均值 不小于 它们的几何平均值. [合作探究] 1.如何利用求差法证明定理 2? a+b ? a- b?2 提示:因为 - ab= ≥0, 2 2 a+b 所以 ≥ ab. 2 2.由定理 1 与定理 2 能得到以下结论吗? b a (1)a+b≥2(a,b 同号); a+b (2) ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 a+b 2 a2+b2 (a,b∈R+); 2 2 2 ?a+b? a + b ?2 (3)ab≤? ? 2 ? ≤ 2 (a>0,b>0). ? ? 提示:可以. 3.利用定理 2,4 求最值需满足什么条件? 提示:“一正二定三相等”. 用平均值不等式证明不等式 [例 1] b2c2+c2a2; bc ac ab (2)设 a,b,c 都是正数,求证: a + b + c ≥a+b+c. [思路点拨] 本题考查平均值不等式及不等式的性质等 基础知识,同时考查推理论证能力.解答此题需要先观察所 求式子的结构,然后拆成平均值不等式的和,再进行证明. (1)已知 a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+ [精解详析] (1)a4+b4≥2a2b2, 同理 a4+c4≥2a2c2,b4+c4≥2b2c2, 将以上三个不等式相加得: a4+b4+a4+c4+b4+c4≥2a2b2+2a2c2+2b2c2, 即:a4+b4+c4≥a2b2+a2c2+b2c2. (2)∵当 a>0,b>0 时,a+b≥2 ab, bc ac ∴ a + b ≥2 bc ac a· b =2c. bc ab 同理: a + c ≥2 ac ab b + c ≥2 bc ab a· c =2b, ac ab b· c =2a. 将以上三个不等式相加得: ?bc ac ab? 2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ? bc ac ab ∴ a + b + c ≥a+b+c. 平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩 功能,常常用于证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边 的结构特点,选择好利用平均值不等式的切入点.但应注意连续 多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致. 若将本例(1)中 a,b,c∈R,变为 a,b,c∈R+, 求证:a+b+c≥ ab+ bc+ ca. 证明:∵a,b,c 为正实数, ∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca. 由上面三式相加可得 (a+b)+(b+c)+(c+a)≥2 ab+2 bc+2 ca, 即 a+b+c≥ ab+ bc+ ca. 1.已知实数 a,b,c,d 满足 a>b>c>d,求证: 1 1 1 9 + + ≥ . a-b b-c c-d a-d 证明:因为 a>b>c>d,所以 a-b>0,b-c>0,c-d>0. ? 1 ? 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? 所以 ?a-b+b-c+c-d? (a - d) = ?a-b+b-c+c-d? ? [(a - b) ? ? ? ? +(b-c)+(c-d)]≥3 3 3 1 1 1 · · a-b b-c c-d 1 1 1 9 ×3 ?a-b??b-c??c-d?=9.即 + + ≥ . a-b b-c c-d a-d 利用平均值不等式求最值 [例 2] 1 9 (1)已知 x>0,y>0,且x+y=1,求 x+y 的最小值. 2 (2)求函数 y=x ? 1? (1-5x)?0≤x≤5?的最大值. ? ? [思路点拨 ] 本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不 等式知识分析、解决问题的能力.解答此题(1)可灵活使用“1”的代 换或对条件进行必要的变形,再用平均值不等式求得和的最小值; ? 5 ?2 而解答题(2)需要将两项积 x (1-5x)改变成三项积 x· x? -2x?,再 2 ?5 ? 2 对它使用平均值不等式,即可获得所求. [精解详析] 1 9 (1)法一:∵x>0,y>0,x+y =1, ?1 9? y 9x ? ? ∴x+y= x+ y (x+y)=x+ y +10≥6+10=16. ? ? y 9x 1 9 当且仅当x= y ,又x+y=1, 即 x=4,y=12 时,上式取等号. 故当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16. 1 9 法二:由x+ y=1 得(x-1)(y-9)=9(定值), 可知 x>1,y>9, 而 x+y

相关文档

2017_2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式课件北师大版选修4_5
2017-2018学年北师大版高中数学选修4-5课件: 1.3平均值不等式
2017-2018学年高中数学选修4-5课件北师大版1.3平均值不等式(共36张PPT)
2017-2018学年高中数学选修4-5课件北师大版1.4不等式的证明1.4.3
2017-2018学年高中数学选修4-5课件北师大版2.3数学归纳法与贝努利不等式2.3.1
2017-2018学年北师大版高中数学选修4-5课件: 第二章 几个重要的不等式 复习整合
电脑版