学案:正弦定理、余弦定理解三角形(1)

学案:正弦定理、余弦定理解三角形(1) 班级:__105______ 学习 主题


姓名:_______________

题:正弦定理、余弦定理解三角形(1)

正弦定理、余弦定理解三角形( 1)是在学生系统学习三角函数的概
本知识 点背景
在预习任务中,我们复习了初中的三角形有关知识点,具备了接受新知识的基础;另一 方面 105 班基础比较薄弱,对初中所学的公式等运用还不够熟练,所以现在解直角三角形上 面还要加强。 念和加法定理基础上进行研究的,它在生产实际运用中起着重要作用,也是今后研究各类三 角形工具,应重点研究。

教 学 目 的 重点

1 初步掌握正、余弦定理内容; 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化; 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状; 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式
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利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

难点

三角函数公式变形与正、余弦定理的联系

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教法与 学法的 选 择

学习过 程:

本节课是以学案为载体,采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法,通过设置主题 任务激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动,以独立思考和相互交流的形式,在教 师的指导下发现、分析和解决问题。 学法上以课前自学为主要方式,在引导分析时,留出学生的思考空间,让学生去联想、探 索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,让学生自己出题,把思路方法和需要解决 的问题弄清。 利用学案导学,让学生明确课前要做的作业,课堂采用的方法,需要达到的要求,在尝试 练习中,让学生通过练习,类比,引入新课。

教学过程:

1、 课前 一、引主题:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已

主 题

知的边和角求出未知的边和角 那么斜三角形怎么办?
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——提出课题:正弦定理、余弦定理 二、主题探究:
1

任 务 ( 自 主 学 习)
自主学习 →互助探 究→展示 交流→多 元评价→ 能力生成

正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即
a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C a b ,sinB= , sinC=1 c c

1.直角三角形中:sinA= 即 ∴ c=

a b , c= , sin A sin B

c=

c . sin C

a b c = = sin A sin B sin C

2.斜三角形中 证明一: (等积法) 证明二: (外接圆法)

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1. 2. ⑴若 A 为锐角时:

2、课堂 主题任 务:
任务 1 : 公式特点 (自主探 究)

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b

有两个解 仅有一个解 任务 2: 公 式 自 主 ⑵若 A 为直角或钝角时: 应 用 应 三、讲解范例: 用,变式 0 0 探究 例 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求a, b和B

仅有一个解

解:? c ? 10, A ? 45 , C ? 30
0 0

0

∴ B ? 180 ? ( A ? C) ? 105

0



a c ? 得 sin A sin C

a?

c sin A 10 ? sin 450 ? ? 10 2 sin C sin 300
2



b c ? 得 sin B sin C

b?

学习成 果交流


c sin B 10 ? sin 1050 6? 2 ? ? 20sin 750 ? 20 ? ?5 6 ?5 2 0 sin C 4 sin 30

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C 解:∵

b c c sin B 1 ? sin 600 1 ? ,? sin C ? ? ? sin B sin C b 2 3

? b ? c, B ? 600 ,?C ? B, C为锐角, ?C ? 300 , B ? 900
∴a ? b ?c ? 2
2 2

例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

a c c sin A 解:? ? ,? sin C ? ? sin A sin C a

6 ? sin 450 3 ? 2 2

? c sin A ? a ? c,?C ? 600 或1200
?当C ? 600 时,B ? 750 , b ? c sin B 6 sin 750 ? ? 3 ? 1, sin C sin 600 c sin B 6 sin 150 ? ? 3 ?1 sin C sin 600

?当C ? 1200 时,B ? 150 , b ?

?b ? 3 ? 1, B ? 750 , C ? 600 或 b ? 3 ? 1, B ? 150 , C ? 1200
例 4 已知△ABC,BD为 B 的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC 分析: 前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题, 而 B 的平分线 BD 将△ABC 分成了两个三角形:△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶AD=BC∶ DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可 利用正弦定理将所证继续转化为

AB AD BC DC ? , ? , 再根据相等角 sin ABD sin ABD sin BDC sin DBC
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正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论 证明:在△ABD 内,利用正弦定理得:

AB AD AB sin ADB ? 即 ? sin ADB sin ABD AD sin ABD
在△BCD 内,利用正弦定理得:

BC DC BC sin BDC ? ,即 ? . sin BDC sin DBC DC sin DBC
∵BD 是 B 的平分线 ∴∠ABD=∠DBC ∴sinABD=sinDBC ∵∠ADB+∠BDC=180°
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3

∴sinADB=sin(180°-∠BDC)=sinBDC

AB sin ADB sin BDC BC ? ? ? AD sin ABD sin DBC CD AB AD ? ∴ BC DC


相互评价

评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的 正弦值相等这一特殊关系式的应用 四、课堂练习:
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1 在△ABC 中,
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A 2R
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a b c ? ? ? k ,则 k 为( ) sin A sin B sin C 1 BR C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2
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2 △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形 3 在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
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任务 3:

4 在△ABC 中,求证:
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思想方 法提炼

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

五、小结

正弦定理,两种应用

学生自主出题,自主完成 让学生自己尝试举例、出题,学习小组成员交流评价。

师生共同小结,内容、方法与手段、提炼思想

三、课 后任务

作业布置

4


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