广东省云中2011-2012学年高一下学期第一次阶段考试数学试题

………………………………………密…………………………………………封………………………………线…………………………………

座号

姓名

广东省云中 2011~2012 学年度第二学期高一数学第一次

阶段考试

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题恰.有.一.项.是符合题目要求。

1、以下各角中与 200 角终边相同的角是( )

A. ?3400

B. 3400

C. k ?1800 ? 200, k ? z D. k ?3600 ? 200 , k ? z

2、如果点 P(tan? , cos? ) 位于第三象限,那么角? 所在象限是( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3、若 a =(1,2), b =(-3,2),且(k a + b )∥( a -3 b ),则实数 k 的值是 ( )

1

11

A.-

B.19

C.

D.-2

3

9

4、在 ABCD 中, AB + AC + DA + CD + BC + BD = ( )

A. AB

B.2 AB

C. AD

D.2 AD

5、在△ABC 中, cos Acos B ? sin Asin B ,则△ABC 为(

A.锐角三角形 B.直角三角形

C. 钝角三角形

6、 1? 2sin(? ? 2)cos(? ? 2) 等于( )

) D.无法判定

A.sin2-cos2 B.cos2-sin2 C.±(sin2-cos2) D.sin2+cos2

7、已知 f(x)=sin(x+ ? ),g(x)=cos(x- ? ),则 f(x)的图象 ( )

2

2

A.与 g(x)图象相同

B.与 g(x)图象关于 y 轴对称

C.向左平移 ? 个单位得到 g(x)图象 2

D.向右平移 ? 个单位得到 g(x)图象 2

8、在△ABC 中,已知 tanA、tanB 是方程 2x2+6x-1=0 的两个根,则 tanC 等于( )

A.2

B.6

C.-2

D.-6

9、若 sin?,cos? 是方程 4x2 ? 2mx ? m ? 0 的两根,则 m 的值为( )

A.1 ? 5

B.1 ? 5

C.1 ? 5

D. ?1 ? 5

10、把函数 y=sin( ? -3x)的周期扩大为原来的 2 倍,再将所得到的函数的图象向右 6

平移 ? 个单位,则所得到的图象的函数解析式为 3

()

A.y=sin( 2? - 3x ) 32

B.y=cos 3x 2

C.y=sin( 7? - 3x ) 10 2

D.y=sin( ? -6x) 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

班 学号

高一

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

11、在扇形中,已知半径为 12cm,则圆心角是 30o,扇形面积是



?

?

?

12 、 向 量 a ? (2,?1) , b ? (1,?2) , c ? (?1,?4) , 若 用 a 和 b 表 示 c , 则

?

c=



13 平 面 向 量 a, b 中 , 若 a ? ( 4?, 3,) b =1 , 且 a ? b =0 , 则 向 量

b=



14、方程 lgx = sin(x+ ? )的实根的个数为

个。

3

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.

15.(1)已知角? 的终边过点 P(1,?2) ,求角? 的正弦、余弦和正切值。

(6 分)

(2)化简:

sin(540 0 tan(900 0

? ?

x) x)

?

cos(x ? 270 0 ) tan(450 0 ? x) sin(900

?

x)

?

cos(360 0 ? s in(? x )

x)

(6 分)

16、已知 tan? ? 3,求下列各式的值,

(1)求

sin(? sin(?

? ?) ? 2 cos(? ? ?) ? cos(3?

??) ??)

的值;(6

分)

2

2

分)

(2)求 2 sin2 ? ? 1 的值。(6

17、(14 分)已知| a |=3,| b |=4,(2 a - b )·(2 a +3 b )= -36,

(1)求 a 与 b 的夹角? ;

(2)求| a + b |的值;

(3)求| a - b |的值。

18、若 y ? cos2 x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。 (14 分)

??

??

19、已知 i , j 是直角坐标系中 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量,设 a =(m+1) i -3 j ,

………………………………………密…………………………………………封………………………………线…………………………………

?
b = i +(m-1) j ;(1)若( a +2 b )⊥(2 a - b ),求 m;(2)若 m=-2 时,求 a 与 b 的夹角θ ;
(3)是否存在实数 m,使 a ∥ b ,若有则求出 m,没有则说明理由。(14 分)

20、已知函数 f ( x) ? 2 cos(? ? 2x) , x ?R ,(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递 4
增区间;(2) 若函数 f (x) 向右平移? ( 0 ? ? ? ? )个单位后变为偶函数,求? 的值;
2 (3)求函数 f (x) 在区间[? ?,?] 上的最小值和最大值,并求出取得最值时 x 的值。 (14 分)
82
云中 2011~2012 学年度第二学期高一数学第一次阶段考试答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

B

C

D

C

B

A

D

B

C

11、12? cm2

12、

?
c

=-2

?
a

+3

?
b

13、(3 , 4)或(? 3 ,? 4)

55 5 5

15.(1)已知角? 的终边过点 P(1,?2) ,求角? 的正弦、余弦和正切值。

14、 3
(6 分)

解: ? P(1,?2) ,则 r ? o p ? 12 ? (?2)2 ? 5 .

? sin? ? y ? ? 2 ? ? 2 5 , cos? ? x ? 1 ? 5 , tan? ? y ? ? 2 ? ?2 ;

r5

5

r 55

x1

(2)化简:

sin(540 0 tan(900 0

? ?

x) x)

?

cos(x ? 270 0 ) tan(450 0 ? x) sin(900

?

x)

?

cos(360 0 ? s in(? x )

x)

(6 分)

解:原式 ?

sin(180 0 ? tan(? x )

x)

?

? sin x tan(900 ? x) cos

x

?

cos x ? sin x

=

sin x ? tan x

?

cos (90 0 s in(90 0

? ?

x) x)

? sin x ? cosx ? sin x ? ? sin x ? sin x cosx

16、已知 tan? ? 3,求下列各式的值,

(1)求

sin(? sin(?

? ?) ? 2 cos(? ? ?) ? cos(3?

??) ??)

的值;(6

分)

2

2

(2)求2sin2 ? ? 3的值。(6 分)

(1) 解:原式= sin? ? 2 cos? cos? ? sin?

(2) 解:原式= 2sin2 ? ? 3 cos2 ? ? sin2 ?

=

tan ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 1

1? tan ? 1? 3 4

? 2 tan 2 ? ? 3 ? 2? 32 ? 3 ? ? 6

1? tan 2 ?

1? 32

5

17、(14 分)已知| a |=3,| b |=4,(2 a - b )·(2 a +3 b )=-36,

(1)求 a 与 b 的夹角? ; (2)求| a + b |的值;

(3)求| a - b |的值。

解:(1)(2 a - b )·(2 a +3 b )=4 a 2+4 a ·b -3 b 2 =4| a |2+4| a || b |·cos? -3| b |2
=-36
? | a |=3,| b |=4,? 4×32+4×3×4·cos? -3×42 =-36
? cos? ? ? 1 ,则? ? 1200 2

(2)? cos? ? ? 1 , ? | a + b |= (a ? b)2 ?

2

2

a ? 2 a b cos? ? b

2

? 32 ? 2 ? 3? 4 ? (? 1) ? 42 ? 13 2

(3)? cos? ? ? 1 , ? | a - b |= (a ? b)2 ?

2

2

a ? 2 a b cos? ? b

2

? 32 ? 2 ? 3? 4 ? (? 1) ? 42 ? 37 2

18、若 y ? cos2 x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。
解:令 sin x ? t,t ?[?1,1] , y ? 1? sin2 x ? 2 p sin x ? q

(14 分)

y ? ?(sin x ? p)2 ? p2 ? q ?1 ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ?1

y ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ?1对称轴为 t ? p

(1)当 ?1 ? p ? 1时, ymax ? y |t?p ? p2 ? q ?1? 9 ,再当 p ? 0 ,

ymin ? y |t??1? ?2 p ? q ? 6 ,得 p ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3 ;

当 p ? 0 , ymin ? y |t?1? 2 p ? q ? 6 ,得 p ? ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3

(2)当 p ? ?1时,[?1,1]是函数 y 的递减区间, ymax ? y |t??1? ?2 p ? q ? 9

ymin

?

y

|t ?1 ?

2

p

?

q

?

6

,得

p

?

?

3 4

,q

?

15 2

,与

p

?

?1 矛盾;

(3)当 p ?1时,[?1,1]是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t?1? 2 p ? q ? 9

ymin

?

y

|t ??1 ?

?2 p

?

q

?

6

,得

p

?

3,q 4

?

15 2

,与

p

? 1 矛盾;

综上所述:

? p? ??q ? 4

3 ?1 ?2 3



?p ? ? 3?1 ??q ? 4 ? 2 3

??

??

19、已知 i , j 是直角坐标系中 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量,设 a =(m+1) i +3 j ,

?

?

b = i +(m-1) j ; (1)若( a +2 b )⊥(2 a - b ),求 m;(2)若 m=3 时, a 与 b 的夹角为θ ,

求 cosθ ; (3)是否存在实数 m,使 a ∥ b ,若有则求出 m,没有则说明理由。(14 分)

??

?

?

解:依题意得: a =(m+1) i +3 j =(m+1,3) , b = i +(m-1) j = (1,m-1)

(1) a +2 b =(m+1,3)+ (2,2m-2)= (m+3,2m+1) ,

2 a - b =(2m+2,6)- (1,m-1)= (2m+1,7-m)

? ? ( a +2 b )⊥(2 a - b ), (m+3,2m+1)·(2m+1,7-m)= (m+3)(2m+1)+ (7-m) (2m+1)

=10(2m+1)=0

? m??1 2

(2)当 m=3 时, a =(m+1,3)=(4,3) , b = (1,m-1)=(1,2)

? cos? ? a ?b ? (4,3) ? (1,2) ? 4 ? 6 ? 2 5

ab

42 ? 32 1 ? 22 5 5

5

? ? (3)假设存在实数 m 使得 a ∥ b , a =(m+1,3),b = (1,m-1), (m+1)(m-1)-3×1=0

?m2 ? 4,则m ? ?2

?存在实数 m ? ?2时,使得 a ∥ b .

20、已知函数 f ( x) ? 2 cos(? ? 2x) , x ?R ,(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递 4

增区间;(2) 若函数 f (x) 向右平移? ( 0 ? ? ? ? )个单位后变为偶函数,求? 的值;
2

(3)求函数 f (x) 在区间[? ?,?] 上的最小值和最大值,并求出取得最值时 x 的值。(14 分) 82

解:(1)? f ( x) ? 2 cos(? ? 2x) ,? f (x) ? 2 cos(2x ? ?) ,?函数 f (x) 的最

4

4

小正周期为T ? 2? ? ? , 由 ?? ? 2k? ? 2x ? ? ? 2k? ,得 ? 3? ? k? ? x ? ? ? k? ,?

2

4

8

8

函数 f (x) 的递调递增区间为[? 3? ? k?, ? ? k?] ( k ? Z );

8

8

(2) ? f (x) ? 2 cos(2x ? ?) , 4

? 函 数 f (x) 向 右 平 移 ? 个 单 位 后 得 :

f (x) ? 2 c o s2[(x ? ? ) ? ? ] ? 2 c o s2(x ? 2? ? ? ) ? 2 cos[2x ? (2? ? ? )]

4

4

4

为偶函数,? 2? ? ? ? k? , (k ? Z )
4

又? 0 ? ? ? ? ? ? ? 3?

2

8

(3) ? f (x) ? 2 cos(2x ? ?) 在区间 [? ?,?] 上为增函数,在区间 [ ?,?] 上为减函数,

4

88

82

又 f (? ?) ? 0 , f ( ?) ? 2 , f ( ?) ? 2 cos(? ? π) ? ? 2 cos ? ? ?1 ,

8

8

2

4

4

? 函数 f (x) 在区间[? ?,?] 上的最大值为 2 ,此时 x ? ? ;最小值为 ?1,此时 x ? ? .

82

8

2


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