1.4.1正弦函数,余弦函数的图象(教、学案)

§1.4.1 正弦函数,余弦函数的图象
【教材分析】 《正弦函数,余弦函数的图象》是高中新教材人教 A 版必修四的内容,作为函数,它是 已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容,是在已有三角函数线知识 的基础上,来研究正余弦函数的图象与性质的,它是学习三角函数图象与性质的入门课,是 今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数 的图象的知识

基础和方法准备。 因此, 本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与 作用。 本节共分两个课时,本课为第一课时,主要是利用正弦线画出 的

图象,考察图象的特点,用“五点作图法”画简图,并掌握与正弦函数有关的简单的图象平 移变换和对称变换;再利用图象研究正余弦函数的部分性质(定义域、值域等) 【教学目标】 1.学会用单位圆中的正弦线画出正余弦函数的图象, 通过对正弦线的复习, 来发现几何 作图与描点作图之间的本质区别,以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。 2. 掌握正余弦函数图象的“五点作图法”; 3. 渗透由抽象到具体的思想,使学生理解动与静的辩证关系, 培养辩证唯物主义观点。 【教学重点难点】 教学重点:“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象 教学难点:运用几何法画正弦函数图象。 【学情分析】 本课的学习对象为高二下学期的学生, 他们经过近一年半的高中学习, 已具有一定的学 习基础和分析问题、解决问题的能力,思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索,学习 欲望强的学习特点。 【教学方法】 1.学案导学:见后面的学案。 2.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1.学生的学习准备:预习“正弦函数和余弦函数的性质” ,初步把握性质的推导。 2.教师的教学准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 3.教学手段:利用计算机多媒体辅助教学. 【课时安排】1 课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 1.创设情境: 问题 1:三角函数的定义及实质?三角函数线的作法和作用? 设置意图: 把问题作为教学的出发点, 引起学生的好奇, 用操作性活动激发学生求知欲, 为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境, 关注学生动手能力培养, 使教学目标与实验
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的意图相一致。 学生活动:教师提问,学生回答,教师对学生作答进行点评 多媒体使用:几何画板;PPT 问题 2:根据以往学习函数的经验,你准备采取什么方法作出正弦函数的图象?作图过 程中有什么困难? 设置意图:为学生提供一个轻松、开放的学习环境,有助于有效地组织课堂学习,有助 于带动和提高全体学习的积极性、主动性,更有助于培养学生的集体荣誉感,以及他们的竞 争意识 学生活动:给每位同学发一张纸,组织他们完成下面的步骤:描点、连线。 加入竞争机制看谁画得又快又好! 2.探究新知:根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次:

引导学生画出点

问题一:你是如何得到

的呢?如何精确描出这

个点呢? 问题二:请大家回忆一下三角函数线,看看你是否能有所启发?什么是正弦线?如何

作出点

展示幻灯片

设置意图:由浅入深、由易到难,帮助学生体会从三角函数线出发,“以已知探求未知” 的数学思想方法,培养学生的思维能力。通过对正弦线的复习,来发现几何作图与描点作图 之间的本质区别,以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。 数形结合,扫清了学生的思维障碍,更好地突破了教学的重难点 学生活动:引导学生由单位圆的正弦线知识,只要已知角 x 的大小,就可以由几何法作 出相应的正弦值 来。

(教师在引导学生分析问题过程中,积极观察学生的反映,适时进行激励性评价) 多媒体使用:几何画板;PPT

问题三:能否借用点

的方法,作出

的图像呢?

课件演示:正弦函数图象的几何作图法 设置意图:使学生掌握探究问题的方法,发展他们分析问题和解决问题的能力,老师的 点拨,学生探究实践,进一步加深学生对几何法作正弦函数图象的理解。 通过课件演示让学生直观感受正弦函数图象的形成过程。 并让学生亲自动手实践, 体会数与 形的完美结合。 学生活动:一方面分组合作探究,展示动手结果,上台板演,同时回答同学们提出的问 题。 利用尺规作出 问题四:如何得到 图象,后用课件演示 的图象?
2

展示幻灯片 设置意图:引导学生想到正弦函数 是周期函数,且最小正周期是

问题五:这个方法作图象,虽然比较精确,但不太实用,如何快捷地画出正弦函数的图 象呢? 学生活动:请同学们观察,边口答在 点有几个?引导学生自然得到下面五个: 的图象上,起关键作用的

组织学生描出这五个点,并用光滑的曲线连接起来,很自然得到函数的简图,称为“五 点法”作图。 “五点法”作图可由师生共同完成 设置意图: 积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系,有助于知识的重组和迁 移。 把学生推向问题的中心,让学生动手操作,直观感受波形曲线的流畅美,对称美,使学生 体会事物不断变化的奥秘。 通过讲解使学生明白“五点法”如何列表,怎样画图象。 小结作图步骤:1、列表 2、描点 3、连线 思考:如何快速做出余弦函数图像? 根据诱导公式 cos x ? sin( x ?

?
2

) ,还可以把正弦函数 x=sinx 的图象向左平移

? 单位即 2

得余弦函数 y=cosx 的图象. 三、例题分析 例 1、画出下列函数的简图:y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕 解析:利用五点作图法按照如下步骤处理 1、列表 2、描点 3、连线 解: (1) 按五个关键点列表:
x Sinx 1+ Sinx 0 0 1

π 2
1 2

π 0 1

3 π 2
-1 0

2π 0 1

描点、连线,画出简图。

3

f ? x? = 1+sin? x?
2

g? x? = s in ? x?

O
-2

? 2

π

3 2

5

π



变式训练:y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕 解:按五个关键点列表: 点 3 π π 评: x 0 π 2π 2 2 目的 有 Cosx 1 0 1 0 1 二: (1) 巩 -1 0 1 0 -1 固 新 - Cosx 知; (2)从层次上逐层深化、拾级而上,为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础。 四、反思总结与当堂检测: 1、五点(画图)法 (1)作法 先作出五个关键点,再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。 (2)用途 只有在精确度要求不高时,才能使用“五点法”作图。 (3)关键点 横坐标:0 π /2 π 3π /2 2π 2、图形变换 平移、翻转等 设置意图:进一步提升学生对本节课重点知识的理解和认识,并体会其应用。 学生活动:学生分组讨论完成 3、画出下列函数的简图:(1) y=|sinx|, (2)y=sin|x| 五、发导学案、布置预习 思考:若从函数 1. 的图像变换分析的图象可由 的图象怎样得到?

2.可用什么方法得到 六、板书设计

的图像? 1、“五点法”2、翻折变换 正弦函数和余弦函数的图像

一、正弦函数的图像 二、作图步骤 1、列表 2、描点 3、连线 三、余弦函数 教学反思

例1 练习:

学生的学习是一个积极主动的建构过程, 而不是被动地接受知识的过程。 由于学生已具 备初等函数、三角函数线知识,为研究正弦函数图象提供了知识上的积累;因此本教学设计 理念是:通过问题的提出,引起学生的好奇,用操作性活动激发学生求知欲,为发现新知识
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创设一个最佳的心理和认识环境, 引导学生关注正弦函数的图象及其作法; 并借助电脑多媒 体使教师的设计问题与活动的引导密切结合,强调学生“活动”的内化,以此达到使学生有 效地对当前所学知识的意义建构的目的,感觉效果很好。 学生们大多数都能完成得很好,但学生对自己的评价还比较保守,表现不太自信,另外 我应肯定一下普遍完成任务的所有同学,不只是肯定那几个高手。 但有些同学还是忽视理论探讨,急于动手做,因此总会出现这样或那样的问题,如何让 学生少走弯路,对知识理解透彻,在正确的理论引导下顺利完成任务,这是个值得研究的问 题。 九、学案设计(见下页)

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§1.4.1 正弦函数,余弦函数的图象
课前预习学案 一、预习目标 理解并掌握作正弦函数图象的方法,会用五点法作正余弦函数简图. 二、复习与预习 1.正、余弦函数定义:____________________ 2.正弦线、余弦线:______________________________ 3. 1 .正弦函数 y=sinx, x∈[0, 2π ]的图象中, 五个关键点是: 、 20.作 y ? cos x 在 [0, 2? ] 上的图象时,五个关键点是
、 、 、
0

、 、





.

.

步骤:_____________,_______________,____________________. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的形状; (2)根据关系 cos x ? sin( x ? ? ) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;
2

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题; 学习重难点:

重点: : “五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象; 难点:运用几何法画正弦函数图象。
二、学习过程 1.创设情境: 问题 1:三角函数的定义及实质?三角函数线的作法和作用? 问题 2:根据以往学习函数的经验,你准备采取什么方法作出正弦函数的图象?作图过 程中有什么困难? 2.探究新知: 问题一:如何 作出 的图像呢?

问题二:如何得到

的图象?

问题三:这个方法作图象,虽然比较精确,但不太实用,如何快捷地画出正弦函数的图 象呢? 组织学生描出这五个点,并用光滑的曲线连接起来,很自然得到函数的简图,称为“五 点法”作图。

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“五点法”作图可由师生共同完成 小结作图步骤: 思考:如何快速做出余弦函数图像? 例 1、画出下列函数的简图:y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕 解析:利用五点作图法按照如下步骤处理 1、列表 2、描点 3、连线 变式训练:y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕 三、反思总结 1、数学知识: 2、数学思想方法: 四、当堂检测 画出下列函数的简图:(1) y=|sinx|, 思考:可用什么方法得到 (2)y=sin|x|

的图像? 课后练习与提高

1. 用五点法作 y ? 2sinx, x ? [0,2? ] 的图象. 2. 结合图象,判断方程 sinx ? x 的实数解的个数.

3.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1) sin x ? ; 2

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

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