2016_2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.3反证法和放缩法学业分层测评

第 1 章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩 法学业分层测评 新人教 B 版选修 4-5
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用( ①结论相反的判断,即假设; ②原命题的条件; ③公理、定理、定义等; ④原结论. A.①② C.①②③ B.①②④ D.②③ )

【解析】 由反证法的推理原理可知, 反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推 理,同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等. 【答案】 C 3 3 2.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时,假设的内容是( 3 3 A. a= b 3 3 3 3 C. a= b且 a> b 3 3 【解析】 应假设 a≤ b, 3 3 3 3 即 a= b或 a< b. 【答案】 D 3.已知 p=a+ A.p>q C.p≥q 【解析】 ∵p=(a-2)+ 1 1 3 3 B. a< b 3 3 3 3 D. a= b或 a< b )

a-2

,q=-a +4a(a>2),则( B.p<q D.p≤q

2

)

a-2

+2,又 a-2>0,
2

∴p≥2+2=4,而 q=-(a-2) +4, 由 a>2,可得 q<4,∴p>q. 【答案】 A

1

1 1 1 1 4.设 M= 10+ 10 + 10 +?+ 11 ,则( 2 2 +1 2 +2 2 -1 A.M=1 C.M>1
10 10, 10 10

)

B.M<1 D.M 与 1 大小关系不定
11 10

【解析】 ∵2 +1>2 2 +2>2 ,?,2 -1>2 , 1 1 1 1 ∴M= 10+ 10 + 10 +?+ 11 2 2 +1 2 +2 2 -1 < 1 1 1 10+ 10+?+ 10=1. 2 2 2

2 个 【答案】 B 1 1 1 5.设 x,y,z 都是正实数,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c 三个数(

10

y

z

x

)

【导学号:38000027】 A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 1 1 1 【解析】 ∵a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥2+2+2=6, 当且仅当 x=y=z=1 时等号

x

y

z

成立, ∴a,b,c 三者中至少有一个不小于 2. 【答案】 C 二、填空题 6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°矛盾,故假设 错误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC 中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°. 上述步骤的正确顺序为________. 【解析】 由反证法的步骤可知,正确顺序为③①②. 【答案】 ③①② 7.给出下列两种说法: ①已知 p +q =2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2; ②已知 a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程 x +ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1,用
2 3 3

2

反证法证明时,可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1. 以上两种说法正确的是________. 【解析】 反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是 p+q>2,所以①错误; 对于②,其假设正确. 【答案】 ② 8.已知 a 为正数,则 1 2 a , 1 , 从大到小的顺序为________. 2 a+1 a+ a+1 1

【解析】 ∵ a+ a+1> a+ a=2 a,

a+ a+1< a+1+ a+1=2 a+1,
∴2 a< a+ a+1<2 a+1, ∴ 1 2 a > 1 > . a+ a+1 2 a+1 1 2 a > 1 > a+ a+1 2 a+1 1 1

【答案】

三、解答题 1 1 1 1 9.设 n 是正整数,求证: ≤ + +?+ <1. 2 n+1 n+2 2n 【证明】 由 2n≥n+k>n(k=1,2,?,n), 得 1 1 1 ≤ < . 2n n+k n

1 1 1 当 k=1 时, ≤ < ; 2n n+1 n 1 1 1 当 k=2 时, ≤ < ; 2n n+2 n ? 1 1 1 当 k=n 时, ≤ < . 2n n+n n 1 n 1 1 1 n ∴ = ≤ + +?+ < =1, 2 2n n+1 n+2 2n n 即原不等式成立. 10.已知 0<a<3,0<b<3,0<c<3. 9 求证:a(3-b),b(3-c),c(3-a)不可能都大于 . 2 9 9 9 【证明】 假设 a(3-b)> ,b(3-c)> ,c(3-a)> . 2 2 2 ∵a,b,c 均为小于 3 的正数,

3

∴ a?3-b?>

9 , b?3-c?> 2

9 , c?3-a?> 2 ①

9 , 2

9 从而有 a?3-b?+ b?3-c?+ c?3-a?> 2. 2 但是 a?3-b?+ b?3-c?+ c?3-a? ≤ =

a+?3-b? b+?3-c? c+?3-a?
2 + 2 + 2 ② 9+?a+b+c?-?a+b+c? 9 = . 2 2

显然②与①相矛盾,假设不成立,故命题得证. [能力提升] 1.当 n>2 时,logn(n-1)?logn(n+1)与 1 的大小关系是( A.logn(n-1)?logn(n+1)>1 B.logn(n-1)?logn(n+1)<1 C.logn(n-1)?logn(n+1)≤1 D.不能确定
2

)

【 解 析 】
2 2

logn(n - 1)?logn(n + 1) < ?
2 2

?logn?n-1?+logn?n+1?? ? 2 ? ?



?logn?n -1?? <?lognn ? =1. ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ?
【答案】 B 9.x,y∈R,且 x +y =1,则(1-xy)(1+xy)有(
2 2

) 【导学号:38000028】

3 A.最小值 ,而无最大值 4 B.最小值 1,而无最大值 1 C.最小值 和最大值 1 2 3 D.最大值 1 和最小值 4 【解析】 可设 x=cos θ ,y=sin θ , 则(1-xy)(1+xy)

? 1 ?? 1 ? =?1- sin 2θ ??1+ sin 2θ ? 2 ? ?? 2 ?
1 2 =1- sin 2θ . 4
4

∵-1≤sin 2θ ≤1, ∴0≤sin 2θ ≤1, ∴sin 2θ =0 时,取得最大值为 1, 3 sin 2θ =±1 时,取得最小值为 . 4 【答案】 D 3.用反证法证明“已知平面上有 n(n≥3)个点,其中任意两点的距离最大为 d,距离为
2

d 的两点间的线段称为这组点的直径,求证直径的数目最多为 n 条”时,假设的内容为
________. 【解析】 对“至多”的否定应当是“至少”,二者之间应该是完全对应的,所以本题 中的假设应为“直径的数目至少为 n+1 条”. 【答案】 直径的数目至少为 n+1 条 4.用反证法证明:已知|a|<1,|b|<1,则? 【证明】 假设?
2

? a+b ?<1. ? ?1+ab?

? a+b ?≥1,则|a+b|≥|1+ab|, ? ?1+ab?
2

∴(a+b) ≥(1+ab) , ∴(a -1)(1-b )≥0, 即 a 和 b 一个比 1 大,一个比 1 小. 从而|a|和|b|一个比 1 大,一个比 1 小,这与已知条件矛盾,故假设错误,∴原不等式 成立.
2 2 2 2

5


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