三角恒等变形讲义

高一必修四第三章

三角恒等变换专题讲义

三角恒等变换专题讲义 李 霞
知识点 1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.两角和与差的余弦公式

cos(? - ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?
cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?
注: 1.公式中两边的符号正好相反(一正一负) 2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后 3.会逆用及其变形 2.两角和与差的正弦

sin(? - ? ) ? sin?cos? - cos?sin? sin(? ? ? ) ? sin?cos? ? cos?sin?
注: 1.公式中两边的符号相同 2.式子右边异名三角函数相乘再加减 3.会逆用及其变形 3.两角和与差的正切公式 tan(α+β)=
tan? ? tan ? , 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

tan(α-β)=

注:1.两角和时,上加下减 2.两角差时,上减下加 3.会逆用及其变形
考点 1:求值问题
1

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【例】求下列各式的值

(1)cos75°

(2)cos75° cos15° -sin255° sin15°

(3) sin47° -sin47° cos30 cos17°

(4) 1+tan75° 1-tan75°

(5)tan20° +tan40° + 3 tan20° tan40°

考点 2:化简问题 【例】化简下列各式

(1)-

1 3 sinx+ cosx 2 2

(2)

1 3 sinx- cosx 2 2

2

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知识点 2:两倍角的正弦、余弦和正切公式

1.两倍角的正弦公式 Sin2α=2sinαcosα 2.两倍角的余弦公式 Cos2α=.cos?α-sin?α=2cos?α-1=1-2sin?α 3.两倍角的正切公式
2 t an?
tan2α=

1 ? t an2 ?

注:对以上三个公式会逆用及其变形

考点:求值问题

(0,?) 【例 1】已知:sinα-cosα= 2 ,α ? ,则 sin2α=

【例 2】计算求值

1 3 - ? sin 10 cos10?

知识点 3:简单的三角恒变形

1.半角公式
(1) sin

?
2

??
?

1 ? cos? 2

(2) cos

?
2

??

1 ? cos? 2

(3) tan

?
2

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

2. 和差化积 (1) sin ? ? sin ? ? 2 sin (2) sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
? ??
2

2

cos
sin

? ??
? ??
2
3

2

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(3) cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ??
2

cos

? ??
? ??
2

(4) cos ? ? cos ? ? ?2 sin

? ??
2

2

sin

3. 积化和差
(1) sin ? cos ? ?

1 [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2

1 [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 (3) cos ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 1 (4) sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2
(2) cos ? sin ? ?

4. 辅助角公式 辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a, b 的 符号确定, ? 角的值由 tan ? ?
考点 1:化简求值问题

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用 a

(1)升幂化简
【例 1】若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

1 1 1 1 ? ? cos 2? 2 2 2 2

【例 2】化简: 1 ? sin 440
2

?

【例 3】α 是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

4

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【例 4】化简

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos?

? ? ? ( ,? )
2

(2)降幂化简
【例 1】求函数 y ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值
2

【例 2】函数 y ? 2cos ? x ?
2

? ?

??

? ?1 最小正周期为 4?
2

【 例 3 】 函 数 f ( x? )5 ___________

sin x c ?o5 s x 3

5 ? ) 单调递增区间为 c o s 3( x x? R 的 2

(3)切化弦
【例 1】求 sin50° (1+ 3 tan10° )的值

【例 2】(tan10° - 3)

cos10? sin 50?

(4)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的 变换、两角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ,
5

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2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
???
2 ? ??

? ??
2



?

?
2

? ? ? ? ? 等)
? 2 ?

【例 1】已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,求 tan(? ? ) 的值 5 4 4 4

【例 2】已知 0 ? ? ?

?

2 cos( ? ? ? )

? ? ? ? ,且 cos( ? ?

?

1 ? 2 ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求的值 2 9 2 3

【例 3】已知:锐角α 和β ,满足 sin(α -β )=

3 4 ,sinα = ,求 sinβ 的值 5 5

【例 4】已知:tan(α +

? 1 ? 1 )= ,tan(β - )= ,求 tan(α +β )的值 6 2 6 2

(5)辅助角
【例 1】已知函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ?

?
3

)?

3 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及取得最大值时 x 的取值集合
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(2)求函数 f ( x) 图像的对称轴方程

【例 2】已知函数 f ( x) ? 2a cos x ? b sin x cos x ?
2

? 1 3 3 ,且 f (0) ? , f( )? 。 4 2 2 2

(1)求 f ( x) 的单调递减区间 (2)函数 f ( x) 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数

【例 3】已知函数 y=

1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R) 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合 (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到

【例 4】已知函数 f ( x) ? cos( (1)求 f ( x) 的最小正周期;

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 。 3 3 2 4

(2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值,并求使 h( x) 取得最大值的 x 的集合。

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(6)关于 sin ? ? cos?与sin ? cos? (或 sin 2? ) 的关系的推广应用 ( 由 于 (sin? ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? 1 ? 2 sin ? cos? 故 知 道
(sin ? ? cos? ) ,必可推出 sin ? cos? (或 sin 2? ) )
【例】已知 sin ? ? cos? ?

3 , 求 sin 3 ? ? cos3 ? 。 3

(7)利用公式: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 及“托底”方法求值

【例 1】 已知:tg ? = -3,求 sin ? cos ? -cos

2

? 的值

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【例 2】 已知:tg ? =3,求

sin ? ? 3 cos ? 的值 2 sin ? ? cos ?

考点 2:证明问题

证三角恒等式时,先观察左右两边: ①是否同名函数?如果不是同名函数,一般保留正弦和余弦,把其它的变为 正弦和余弦(异名化同名) ②是否同角函数?如果不同角,就要考虑利用倍角、半角公式,(异角化同 角); ③次数是否相同?如果两边不同次,就要注意是否有必要“升次”或“降次”; ④是繁还是简?一般从较繁的一边往较简的一边变(化繁为简),如果两边 都繁,则变两边(左右归一), ⑤有时还需要用三角函数值来替换数字, 根据角来对三角函数加以配凑和拆 项

(1)异名化同名
【例 1】 求证:

1 ? sin? 1 ? csc? ? ? cot 3 ? 1 ? cos? 1 ? sec?

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【例 2】求证

1 ? 2 sin ? cos ? 1 ? tan ? = cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan ?

【例 3】求证:

1 ? sec x ? tan x 1 ? sin x ? . 1 ? sec x ? tan x cos x

【例 4】求证:tanA+cotA=

2 . sin A

【例 5】求证: ctg ? ? tg ? ?
2 2

2 sin 4? sin 3 2?

(2)异角化同角
【例 1】求证:

tg 5? ? tg 3? ? 4 cos 2? cos 4? tg 5? ? tg 3?

3 x 2 sin x 【例 2】求证: tan x ? tan ? . 2 2 cos x ? cos 2x

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(3)降次
【例 1】求证

1 ? sin 6 ? ? cos 6 ? 3 ? 1 ? sin 4 ? ? cos 4 ? 2

【例 2】求证

1 ? cos4 ? ? sin 4 ? ? 1 - 3sin2?cos2? 6 6 1 ? cos ? ? sin ?

(4)化繁为简
【例 1】求证:

1 3 ? ?4 sin 10? cos10?

【例 2】求证: tg 20? ? tg 40? ? 3tg 20?tg 40? ? 3

(5)角的配凑
【例 1 求证: cos 36 ? ? cos 72 ? ?

1 4

【例 2】求证:cos20° cos40° cos80° =

1 8
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