[精品]4-2同角三角函数的基本关系式及诱导公式_图文

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

第2课时

同角三角函数的基本关系式 及诱导公式

第 1页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

2016 考纲下载

第 2页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式:sin2α sinα +cos α =1, =tanα ,掌握已知一个角的三角函数值求其 cosα
2

他三角函数值的方法. π 2.借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式( ±α , 2 π ±α 的正弦、余弦、正切),经历并体验用诱导公式求三角函 数值,感受诱导公式的变化规律.

第 3页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

请注意 本课内容是高考热点之一,通常出现在选择或填空题中, 复习时应注意控制难度.

第 4页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

课前自助餐

第 5页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:sin2α +cos2α =1. sinα (2)商数关系:tanα = . cosα

第 6页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

角的对称
相关角的终边 α与π +α α 与π - α α 与-α π α与 -α 2 对称性 关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称 关于y=x对称

第 7页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

诱导公式
sin 2kπ +α -α π +α π -α π -α 2 π +α 2 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα cos cosα cosα -cosα -cosα sinα -sinα tan tanα -tanα tanα -tanα

第 8页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1.(课本习题改编)sin2 490°=________; 35 cos(- 3 π )=________.
1 1 答案 - 2 2

第 9页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

5 2.(2015· 福建)若sinα =- ,且α为第四象限角,则tanα 13 的值等于( 12 A. 5 5 C.12
答案 解析 D 5 12 因为sinα=- ,且α为第四象限角,所以cosα= , 13 13

) 12 B.- 5 5 D.-12

5 所以tanα=-12,故选D.
第10页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

3. cos2600°等于________.
1 答案 2 解析 1 1 cos2600°=|cos120°|=|-2|=2.

第11页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1 4.若sin(π +α)=- ,则sin(7π -α)=________,cos(α+ 2 3π 2 )=________.

第12页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1 1 答案 2 2 1 1 解析 由sin(π+α)=-2,得sinα=2, 3π 1 则sin(7π-α)=sin(π-α)=sinα= ,cos(α+ ) 2 2 3π π =cos(α+ 2 -2π)=cos(α- 2 ) π 1 =cos( -α)=sinα= . 2 2

第13页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

5.已知tanθ =2,则sin2θ +sinθ cosθ -2cos2θ =( 4 A.-3 3 C.- 4 5 B.4 D. 4 5

)

第14页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

答案 D 解析 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ tan2θ+tanθ-2 4+2-2 = = sin2θ+cos2θ tan2θ+1 4+1 4 =5.

第15页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

授人以渔

第16页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

? 题型一 诱导公式 例1 化简:

π 11π sin(2π -α)cos(π +α)cos( 2 +α)cos( 2 -α) (1) . 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(-π -α)sin( 2 +α)

第17页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

【解析】 (1)原式= (-sinα)(-cosα)(-sinα)(-sinα) (-cosα)· sinα·sinα·cosα =-tanα. 【答案】 -tanα

第18页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

sin(kπ -α)· cos(kπ +α) (2)若k∈Z,化简: . sin[(k+1)π +α]·cos[(k+1)π -α]
sinα·(-cosα) 【解析】 方法一:k为奇数时,原式= = sinα·cos(-α) -1. sin(-α)· cosα k为偶数时,原式= =-1. -sinα(-cosα) 综上可知,原式=-1.

第19页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

sin(kπ-α)· cos(kπ+α) 方法二:原式= sin[π+(kπ+α)]cos[π+(kπ-α)] sin(kπ-α)cos(kπ+α) = sin(kπ+α)cos(kπ-α) sin[2kπ-(kπ+α)]cos(kπ+α) = sin(kπ+α)· cos[2kπ-(kπ+α)] -sin(kπ+α)cos(kπ+α) = =-1. sin(kπ+α)cos(kπ+α) 【答案】 -1

第20页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

探究1 (1)诱导公式的两个应用方向与原则 ①求值,化角的原则与方向:负化正,大化小,化到锐角 为终了. ②化简,化简的原则与方向:统一角,统一名,同角名少 为终了.

第21页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三 角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如 cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.

第22页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

思考题1 已知α是第三象限角,且 sin(π -α)cos(2π -α)tan(α+π ) f(α)= . tan(-α-π )sin(-α-π ) 3π 1 (1)若cos(α- )= ,求f(α)的值; 2 5 (2)若α=-1 860°,求f(α)的值.

第23页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

【解析】

sinα·cosα·tanα f(α)= =-cosα. (-tanα)· sinα

3π 1 1 (1)cos(α- 2 )=-sinα=5,∴sinα=-5. ∵α是第三象限角,∴cosα=- 2 f(α)=-cosα=5 6. 1 (2)f(α)=-cos(-1 860°)=-cos(-60°)=- . 2 1 2 2 6 1-(-5) =- 5 .

第24页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

2 1 【答案】 (1)5 6 (2)-2

第25页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

? 题型二 例2

同角三角函数的基本关系式

1 (1)已知sinα = ,且α为第二象限角,求tanα . 3

1 (2)已知sinα =3,求tanα . (3)已知sinα =m(m≠0,m≠±1),求tanα .

第26页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1 【解析】 (1)∵sinα=3,且α是第二象限角, ∴cosα=- 1-sin2α=- sinα 2 ∴tanα= =- 4 . cosα 1 2 2 1-( )2=- . 3 3

第27页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1 (2)∵sinα=3,∴α是第一或第二象限角. 当α是第一象限角时, ∴cosα= 1-sin α= sinα 2 ∴tanα= = ; cosα 4 2 当α是第二象限角时,tanα=- 4 .
2

1 2 2 2 1-(3) = 3 .

第28页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1), ∴cosα=± 1-sin2α =± 1-m2 (当α为第一、四象限角时 取正号,当α为第二、三象限角时取负号). ∴当α为第一、四象限角时,tanα= m 2; 1-m

m 当α为第二、三象限角时,tanα=- 2. 1-m

第29页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

2 2 2 【答案】 (1)- (2) 或- 4 4 4 m m (3) 2或- 1-m 1-m2

第30页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

探究 2 本例属同角三角关系式中的基本题,关键是掌握住 “先开方,后作商”的原则,先求与 sinα的平方关系相联系的 cosα,再由公式求 tanα.(2)(3)中 α 的范围不确定,须讨论确定 开方的符号.

第31页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

5 思考题2 (1)已知cosα =13,且α是第四象限角,求 sinα 和tanα . 5 (2)已知tanα =12,求sinα .

第32页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

5 【解析】 (1)因为cosα=13,且α是第四象限角, 所以sinα=- 1-cos α=- 12 sinα -13 12 所以tanα= = =- . 5 5 cosα 13
2

5 2 12 1-( ) =- . 13 13

第33页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

sinα 5 5 (2)∵tanα=12,∴ = . cosα 12 ∵sin2α+cos2α=1, 12 5 2 ∴sin α+( 5 sinα) =1,∴sinα=± 13.
2

5 ∴当α为第一象限角时,sinα= ; 13 5 当α为第三象限角时,sinα=-13.

第34页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

12 12 【答案】 (1)sinα =-13,tanα =- 5 5 (2)sinα =± 13

第35页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

? 题型三 例3

sinx+cosx,sinx-cox,sinxcosx 之间的关系

7 已知 sinθ +cosθ = ,θ ∈(0,π ),则 13

(1)sinθ -cosθ =________; (2)sin3θ +cos3θ =________; (3)tanθ =________.

第36页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

【解析】

7 (1)∵sinθ+cosθ=13,
2

49 ∴(sinθ+cosθ) = . 169 120 ∴2sinθcosθ=- . 169 又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0. ∴sinθ-cosθ= (sinθ-cosθ)2 = sin2θ-2sinθcosθ+cos2θ 17 =13.
第37页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

(2)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+ cos2θ) 7 60 1 603 =13×(1+169)=2 197.

第38页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

7 ? ?sinθ+cosθ=13, (3)方法一:由? ?sinθ-cosθ=17, 13 ? 12 5 12 解得sinθ= ,cosθ=- .∴tanθ=- . 13 13 5

第39页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

7 60 方法二:因为sinθ+cosθ= ,sinθcosθ=- , 13 169 7 60 由根与系数的关系,知sinθ,cosθ是方程x - x- =0 13 169
2

12 5 的两根,所以x1=13,x2=-13. 60 又sinθcosθ=-169<0,所以sinθ>0,cosθ<0. 12 5 所以sinθ=13,cosθ=-13. sinθ 12 所以tanθ= =- 5 . cosθ
第40页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

60 方法三:同方法二,得sinθcosθ=- , 169 sinθcosθ 60 所以 2 =-169. sin θ+cos2θ tanθ 60 齐次化切,得 2 =- , 169 tan θ+1 即60tan2θ+169tanθ+60=0, 12 5 解得tanθ=- 5 或tanθ=-12.

第41页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

7 又θ∈(0,π),sinθ+cosθ= >0,sinθcosθ= 13 60 -169<0, π 3π 12 所以θ∈( , ),所以tanθ=- . 2 4 5 17 1 603 12 【答案】 (1)13 (2)2 197 (3)- 5

第42页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

探究3 (1)已知asinx+bcosx=c可与sin2x+cos2x=1联立, 求得sinx,cosx. (2)sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx之间的关系为 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx, (sinx-cosx)2=1-2sinxcosx, (sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,便可 求其余两个代数式的值.

第43页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

思考题3 sinθ 的值.

π π 1 (1)已知sin2θ = 4 ,且 4 <θ< 2 ,求cosθ -

第44页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

【解析】

因为(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=1-

3 sin2θ= 4 ,因而求cosθ-sinθ,只需判断cosθ-sinθ的符 号. π π ∴ 4 <θ< 2 ,∴cosθ<sinθ,即cosθ-sinθ<0. 3 ∴cosθ-sinθ=- (cosθ-sinθ) =- . 2
2

【答案】

3 -2

第45页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1 (2)已知α是三角形的内角,且sinα +cosα =5,则 1 =________. cos2α -sin2α

第46页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1 7 【解析】 由sinα+cosα= ,可求得sinα-cosα= . 5 5 1 1 ∴ 2 = = cos α-sin2α (cosα-sinα)(cosα+sinα) 25 =- . 1 7 7 ×(- ) 5 5 25 【答案】 - 7 1

第47页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

? 题型四 例4

齐次式下弦切互化

已知 tanα =3,求 sin2α -3sinα cosα +1 的值.
方法一:∵tanα=3>0,∴α是第一、三象限角.

【解析】

2 2 ? ?sin α+cos α=1, 由? ? ?sinα=3cosα,

3 ? ?sinα=10 10, 得? (α为第一象限角), ?cosα= 10 10 ?

第48页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

3 ? ?sinα=-10 10, 或? (α为第三象限角). 10 ?cosα=- 10 ? 3 ∴sinαcosα= . 10 9 3 ∴sin α-3sinαcosα+1=10-3×10+1=1.
2

第49页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

方法二:∵tanα=3,sin2α+cos2α=1,
2 sin α-3sinαcosα 2 ∴sin α-3sinαcosα+1= +1 sin2α+cos2α

tan2α-3tanα 32-3×3 = +1= +1=1. 1+tan2α 1+32 【答案】 1

第50页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

探究4

这是一组在已知tanα=m的条件下,求关于sinα、

cosα的齐次式的问题,解这类问题有两个方法,一是直接求出 sinα和cosα的值,再代入求解,但这种方法较繁琐.二是将所 求式转化为只含tanα的代数式,再代入求解,这是常用的解 法.但应用此法时要注意两点:①一定是关于sinα和cosα的齐 次式(或能化为齐次式)的三角函数式;②因为cosα≠0,可用 cosnα(n∈N)除之,这样可以将所求式化为关于tanα的表达式, 从而可以整体代入tanα=m的值进行求解.

第51页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

思考题4

sinα +3cosα (1)(2016· 沧州七校联考)已知 = 3cosα -sinα ) 2 B.-5 D.2

5,则sin2α -sinα cosα 的值是( 2 A.5 C.-2

3π (2)已知α∈(π , 2 ),tanα =2,则cosα =________.

第52页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

【思路】 (1)先根据已知条件得tanα,再把所求式变为用 tanα表示的式子求解; (2)切化弦,结合sin2α+cos2α=1求解.

第53页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

sinα+3cosα tanα+3 【解析】 (1)由 =5,得 =5, 3cosα-sinα 3-tanα 即tanα=2. 所以sin2α-sinαcosα sin2α-sinαcosα tan2α-tanα 2 = = =5. sin2α+cos2α tan2α+1

第54页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

sinα ? ?tanα= =2, 1 cos α (2)依题意得 ? 由此解得cos2α= 5 .又 2 2 ? ?sin α+cos α=1, 3π 5 α∈(π, ),因此cosα=- . 2 5 【答案】 5 (1)A (2)- 5

第55页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1.诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数, 基本思路是:负化正、大化小,化到锐角为止. 2.同角三角函数关系式要注意: (1)巧用“1”的变通,如1=sin2α+cos2α=2sin30°= tan45°等;

第56页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

(2)尽量少用平方关系式.若需用到,开方时慎重考虑符号 的选取; (3)理解sinθ±cosθ,sinθcosθ的内在联系,必要时可用 方程思想或整体代换方法解决.

第57页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

自 助 餐

第58页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1.tan240°+sin(-420°)的值为( 3 3 A.- 2 3 C. 2
答案 C

)

3 B.- 2 3 3 D. 2

第59页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

2.(2016· 北京大兴区月考)已知sinα +2cosα =0,则 2sinα cosα -cos2α 的值是________.
答案 解析 -1 sinα+2cosα=0?tanα=-2,所以2sinαcosα-

2 2sin α cos α- cos α 2tanα-1 -4-1 2 cos α= = 2 = =-1. sin2α+cos2α tan α+1 4+1

第60页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

3.已知f(cosx)=cos2x,则f(sin15°)的值等于( 1 A.2 C. 3 2 1 B.-2 D.- 3 2

)

第61页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

答案 D 3 解析 f(sin15°)=f(cos75°)=cos150°=- 2 .故选D.

第62页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

π 4.(2016· 江南十校联考)已知2tanα ·sinα =3,- 2 π <0,则cos(α- 6 )的值是( A.0 C.1 ) 3 B. 2 1 D.2



第63页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

答案 A 2sin2α 解析 依题意得 =3,即2cos2α+3cosα-2=0,解 cosα π π 1 得cosα= 或cosα=-2(舍去).又- <α<0,因此α=- , 2 2 3 π π π π 故cos(α- 6 )=cos(- 3 - 6 )=cos 2 =0.

第64页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

5.已知tanx=2,则sin2x+1的值为( A.0 4 C. 3 9 B.5 5 D. 3

)

第65页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

答案 B
2 2 2 2sin x + cos x 2tan x+1 9 2 解析 sin x+1= 2 = = ,故选B. sin x+cos2x tan2x+1 5

第66页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

6.化简 1-sin8=__________.
答案 解析 cos4-sin4 1-sin8= (sin4-cos4)2

=|sin4-cos4|=cos4-sin4.

第67页

请做:题组层级快练(十九)


相关文档

2010届高三一轮复习数学精品资料:4.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式
高考数学理一轮复习 4-2同角三角函数的基本关系式及诱导公式 精品课件
2010届高三一轮复习数学精品资料:4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
【高考调研】高考数学 4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式精品复习课件
【精品含答案】高考一轮复习4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式基础训练题(理科)
【志鸿优化设计】高考数学一轮总复习 4.2 同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式精品课件
2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 4-2同角三角函数基本关系式与诱导公式
数学高考复习名师精品教案:第28课时:第四章 三角函数-同角三角函数的基本关系式及诱导公式
创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
电脑版