上海市长宁区、嘉定区2015届高三第二次质量调研(二模)数学(文)试题

2014 学年嘉定区高三年级第二次质量调研

数学试卷(文)
考生注意:本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.解答必须写在答题纸上的规定 区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一.填空题(本大题有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分.
2 1.已知集合 A ? {x | x |? 2 , x ? R } , B ? {x x ? 1 ? 0 , x ? R } ,则 A ? B ? ________.

2.抛物线 x2 ? 8 y 的焦点到准线的距离是______________. 3.若 (1 ? ai)i ? 2 ? bi ,其中 a 、 b ? R , i 是虚数单位,则 | a ? bi |? _ ________. 4.已知函数 g ( x) ? 2 x ,且有 g (a) g (b) ? 2 ,若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab 的最大值是_______. 5.设等差数列 ?an ? 满足 a5 ? 11, a12 ? ?3 , ?an ? 的前 n 项和 Sn 的最大值为 M ,则 lg M =__________. 6.若 (a ? x)8 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ... ? a8 x8 ( a ? R ) ,且 a5 ? 56 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a8 ? _______________. 7. 方程 sin x ? 3 cos x ? 0 在 x ? [0, ? ] 上的解为_____________.

? y ? 0, ? 8. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为_____________. ? x ? y ? 3 ? 0, ?
9. 若一个正三棱柱的三视图如图所示, 则这个正三棱柱的表面积为 __________.
主视图 左视图

俯视图

10.已知定义在 R 上的单调函数 f ( x) 的图像经过点 A(?3 , 2) 、 B(2 , ? 2) ,若函数 f ( x ) 的 反函数为 f
?1

( x) ,则不等式 2 f ?1 ( x) ? 1 ? 5 的解集为



11. 现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________. 12.已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ?2 x ,若 a ? 0 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 9 有三个不相等的实 数解,则 a 的取值范围是__________.

13.在平面直角坐标系 xOy 中,点列 A1 ( x1 , y1 ) , A2 ( x2 , y2 ) ,?, An ( xn , yn ) ,?,满

1 ? ? xn ?1 ? 2 ( xn ? yn ) , ? 足? 若 A1 (1 , 1) ,则 lim (| OA1 | ? | OA2 | ?? ? | OAn |) ? ______ _. n ?? 1 ? y ? (x ? y ) , n ? 1 n n ? 2 ?
14.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数, 得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列

?an ? ,若 an ? 2015,则 n ? ____________.

二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.在△ ABC 中, “ sin A ? A.充分非必要条件 C.充要条件
?
?

1 ? ”是“ A ? ”的??????????????( 2 6
B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条 件
? ? ? ?



16.已知平面直角坐标系内的两个向量 a ? (1 , 2) , b ? (m , 3m ? 2) ,且平面内的任一向 量 c 都可以唯一的表示成 c ? ? a ? ? b (? , ? 为实数) ,则实数 m 的取值范围是( A. (??, 2)
2 2



B. (2, ??)

C. (??, ??)

D. (??, 2)

(2, ??)

17.设双曲线

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的虚轴长为 2 ,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐 2 a b

[来源: 学+科+网 Z+X+X+K]

近线方程为?????????????????????????????( A. y ? ? 2 x B. y ? ?2 x C. y ? ?

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

18.在四棱锥 V ? ABCD 中, B1 , D1 分别为侧棱 VB , VD 的中点,则四面体 AB 1CD 1 的体积与四棱锥

V ? ABCD 的体积之比为?????????????????( ) A. 1 : 6 B. 1 : 5 C. 1 : 4 D. 1 : 3
三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

在△ ABC 中,已知 2 sin (1)求角 C 的大小; (2)若角 A ?

2

A? B ? cos 2C ? 1 ,外接圆半径 R ? 2 . 2

?
6

,求△ ABC 面积的大小.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

?BAD ? 60? , 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形,PD ? 平面 ABCD ,PD ? AD ? 2 , E 、 E 分别为 BC 、 PA 的中点. (1)求证: ED ? 平面 PAD ; P
(2)求三棱锥 P ? DEF 的体积.
[来源:学_科_网]

F D A E B C

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分. 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数 f ( x) 与 时刻 x (时)的关系为 f ( x) ?

x 3 ? a ? 2a ? , x ?[0 , 24) ,其中 a 是与气象有关的参数,且 x ?1 4
2

? 1? a ? ?0 , ? .若用每天 f ( x) 的最大值为当天的综合污染指数,并记作 M (a) . ? 2? x (1)令 t ? 2 , x ?[0 , 24) ,求 t 的取值范围; x ?1
(2)求 M (a) 的表达式,并规定当 M (a) ? 2 时为综合污染指数不超标,求当 a 在什么范围内时,该 市市中心的综合污染指数不超标.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的焦距为 2 , 且椭圆 C 的短轴的一个端点与左、 右焦点 F1 、F2 a 2 b2

构成等边三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)设 M 为椭圆上 C 上任意一点,求 MF 1 ? MF 2 的最大值与最小值; (3) 试问在 x 轴上是否存在一点 B , 使得对于椭圆上任意一点 P ,P 到 B 的距离与 P 到直线 x ? 4 的 距离之比为定值.若存在,求出点 B 的坐标,若不存在,请说明理由.

[来源:学+科+网]

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? m ,其中 m ? R .定义数列 {an } 如下: a1 ? 0 , an ?1 ? f (an ) , n ? N .
*

(1)当 m ? 1 时,求 a2 , a3 , a4 的值; (2)是否 存在实数 m ,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列?若存在,请求出实数 m 的值; 若不存在,请说明理由; (3)求证:当 m ?

1 * 时,总能找到 k ? N ,使得 ak ? 2015. 4

2014 学年嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷(文)参考答案与评分标准
一.填空题(本大题有 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. {x ? 2 ? x ? ?1或 1 ? x ? 2 } 5. 2 9. 24 ? 8 3 12. ? 4 , 6. 256 7. x ? 2. 4 3. 5 8. 6 4.

2? 3
11. 544 14. 1030

1 4

10. (?2 , 2) 13. 2 ? 2 2

? ?

9? ? 2?

二.选择题(本大题共有 4 题,每题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.D 17.C 18.C

三. 解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. (1)由题意, 1 ? cos(A ? B) ? cos2C ? 1 ,
[来源:Zxxk.Com]

2 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos(A ? B) ? ? cosC ,故 2 cos C ? cosC ? 1 ? 0 ,??(2 分)

解得 cos C ? ?1 (舍) ,或 cos C ? 所以, C ?

?
3

1 . ??????(5 分) 2



??????(6 分)

(2)由正 弦定理,

c ? 2 R ,得 sin C

c sin

?

? 4 ,所以 c ? 4 sin

?
3

? 2 3 . ???(2 分)

3 a ? 2 R ,得 a ? 2 , ????(4 分) 因为 A ? ,由 6 sin A ? 1 又 B ? ,所以△ ABC 的面积 S ? ac ? 2 3 . ????(6 分) 2 2

?

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1)连结 BD ,由已知得△ ABD 与△ BCD 都是正三角形, 所以, BD ? 2 , DE ? BC , ??????(1 分) 因为 AD ∥ BC ,所以 DE ? AD ,?????(2 分) 又 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? DE ,??(4 分) 因为 AD ? PD ? D ,所以 DE ? 平面 PAD .?(6 分) (2)因为 S ?PDF ? P

F D A E B C

1 1 1 S ?PDA ? ? ? 22 ? 1 ,??(2 分) 2 2 2

且 DE ? 3 , ??????????(4 分) 所以, VP ? DEF ? VE ? PDF ?

1 1 3 S?PDF ? DE ? ? 1 ? 3 ? . ??????(8 分) 3 3 3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分. (1)当 x ? 0 时, t ? 0 ; ??????(2 分)
2 当 0 ? x ? 24 时,因为 x ? 1 ? 2 x ? 0 ,所以 0 ?

x 1 ? , ????????(4 分) x ?1 2
2

? 1? . ??????????????(5 分) ? 2? ? x ? 1? ? 1? (2)当 a ? ?0 , ? 时,由(1) ,令 t ? 2 ,则 t ? ?0 , ? , ????(1 分) x ?1 ? 2? ? 2? 3 ? 3a ? t ? , 0 ? t ? a , ? 3 ? 4 所以 f ( x) ? g (t ) ?| t ? a | ?2a ? ? ? ??????(3 分) 4 ? 3 1 t?a? , a?t ? , ? 4 2 ? ? 1? 于是 , g (t ) 在 t ? ?0 , a ?时是关于 t 的减函数,在 t ? ? a , ? 时是增函数, ? 2? 3 5 1 ?1? ?1? 因为 g (0) ? 3a ? , g ? ? ? a ? ,由 g (0) ? g ? ? ? 2a ? , 4 4 2 ?2? ?2? 1 5 ?1? 所以,当 0 ? a ? 时, M (a) ? g ? ? ? a ? ; 4 4 ?2? 1 1 3 当 ? a ? 时, M (a ) ? g (0) ? 3a ? , 4 2 4 5 1 ? a? ,0?a? , ? ? 4 4 即 M (a) ? ? ????????????(6 分) ?3a ? 3 , 1 ? a ? 1 . ? 4 4 2 ? 5 由 M (a) ? 2 ,解得 0 ? a ? . ????????????(8 分) 12 ? 5? 所以,当 a ? ?0 , ? 时,综合污染指数不超标. ??????????(9 分) ? 12?
即 t 的取值范围是 ?0 , 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)已知, c ? 1 , a ? 2c ? 2 , ????????(2 分) 所以 b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

??????????????(3 分)
2

x y2 ? ? 1 . ????????(4 分) 4 3 ( 2 ) F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) , 设 M ( x , y ) , 则 MF 2 ? (1 ? x , ? y) , 1 ? (?1 ? x , ? y) , MF
所以椭圆的标准方程为
2 2 ?2? x?2) , MF 1 ? MF 2 ? x ? y ? 1(

????????(2 分)

? x2 ? 1 2 x2 y 2 ? ? 1 ,所以, MF1 ? MF2 ? x 2 ? y 2 ? 1 ? x 2 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ? 4 x ? 2 ,?(4 分) 4 3 ? ? 2 2 3 由 0 ? x ? 4 ,得 MF 1 ? MF 2 的最大值为 ,最小值为 . ??????????(6 分)
因为 ( 3)假设存在点 B(m , 0) ,设 P( x , y) , P 到 B 的距离与 P 到直线 x ? 4 的距离之比为定值 ? ,则有

( x ? m) 2 ? y 2 ? ?, | x?4|
2 2

??????????????????(1 分)
2 2 2

整理得 x ? y ? 2mx ? m ? ? ( x ? 4) , ??????????????(2 分) 由

x2 y 2 ?1 ? ? ? 1 , 得 ? ? ?2 ? x 2 ? (8?2 ? 2m) x ? m 2 ? 3 ? 16?2 ? 0 对 任 意 的 x ?[?2 , 2] 都 成 4 3 ?4 ?

立. 令 F ( x) ? ?

??? ?????????????????????(3 分)

?1 ? ? ?2 ? x 2 ? (8?2 ? 2m) x ? m2 ? 3 ? 16?2 , ?4 ? 2 2 则由 F (0) ? 0 得 m ? 3 ? ?6? ? 0 ① 2 2 由 F (2) ? 0 得 m ? 4m ? 4 ? 4? ? 0 ② 2 2 由 F (?2) ? 0 ,得 m ? 4m ? 4 ? 36? ? 0 ③ 1 由①②③解得得 ? ? , m ? 1 . ??????????(5 分) 2 所以,存在满足条件的点 B , B 的坐标为 (1 , 0) . ?????????(6 分)
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)因为 m ? 1 ,故 f ( x) ? x2 ? 1 , ????????????(1 分) ????(3 分) ????(4 分) 因为 a1 ? 0 ,所以 a2 ? f (a1 ) ? f (0) ? 1 ,????(2 分)

a3 ? f (a2 ) ? f (1) ? 2 , a4 ? f (a3 ) ? f (2) ? 5 .

(2)解法一:假设存在实数 m ,使得 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列. 则得到 a2 ? f (0) ? m , a3 ? f (m) ? m2 ? m , a4 ? f ? a3 ? ? m ? m
2

?

?

2

? m .?(2 分)

因为 a2 , a3 , a4 成等差数列,所以 2a3 ? a2 ? a4 , 所以, 2 m ? m ? m ? m ? m

????3 分

?

2

?

?

2

?

2

? m ,化简得 m2 m2 ? 2m ? 1 ? 0 ,
?????????????(5 分)

?

?

解得 m ? 0 (舍), m ? ?1 ? 2 . 经检验,此时 a2 , a3 , a4 的公差不为 0,

所以存在 m ? 1 ? 2 ,使得 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列. ????(6 分) 方法二:因为 a2 , a3 , a4 成等差数列,所以 a3 ? a2 ? a4 ? a3 ,
2 2 即 a2 ? m ? a2 ? a3 ? m ? a3 ,

所以 a3 ? a2 ? ? a3 ? a2 ? ? 0 ,即 ? a3 ? a2 ?? a3 ? a2 ?1? ? 0 .
2 2

?

?

????????????????(2 分)

因为公差 d ? 0 ,故 a3 ? a2 ? 0 ,所以 a3 ? a2 ? 1 ? 0 解得 m ? ?1 ? 2 . ???(5 分) 经检验,此时 a2 , a3 , a4 的公差不为 0. 所以存在 m ? ?1 ?

2 ,使得 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列. ????(6 分)
2

1? ? 1? 1 ? ????(2 分) ? m ? an ? ? an ? ? ? ? m ? ? ? m ? , 2? ? 4? 4 ? 1 1 又 m ? , 所以令 t ? m ? ? 0 ??????????(3 分) 4 4 由 an ? an ?1 ? t , an ?1 ? an ? 2 ? t ,??, a2 ? a1 ? t , 将上述不等式全部相加得 an ? a1 ? (n ? 1)t ,即 an ? (n ? 1)t , ???????(5 分) 因此要使 ak ? 2015成立,只需 (k ? 1)t ? 2015, 2015 2015 ? 1,就有 ak ? (k ? 1)t ? ? t ? 2015 . 所以,只要取正整数 k ? t t 1 * 综上,当 m ? 时,总能找到 k ? N ,使得 ak ? 2015. 4
2 (3)因为 an?1 ? an ? an


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