(北师大版)高一数学必修1全套教案 2

第一章 集合



题:§0 高中入学第一课 (学法指导) 教

学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新 课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本 方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和 安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努 力,进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行动,圆满 完成高中三年的学习任务,并祝愿同学们取得优异成绩,实现 宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐劳、严 肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定 一年,? 4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么要学数学? 如何学数学?高中数学知识结构?新课程标准的基本思路?本 期数学教学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么 要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑, 训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法 → 共同完善归纳为 四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业; 及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学 习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精 通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后 练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一 些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料 . 3. 高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②) ,高一下

期(必修③、 ④ ) ,高二上期(必修 ⑤、选修系列) ,高二下 期(选修系列) ,高三年级:复习资料。 知识:密切联系,必

修(五个模块)+选修系列(4 个系列,分别有 2、3、6、10 个模块) 能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分 析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理 念: ①构建共同基础,提供发展平台; ②提供多样课程,适 应个性选择; ③倡导积极主动、勇于探索的学习方式; ④注 重提高学生的数学思维能力; ⑤ 发展学生的数学应用意识; ⑥与时俱进地认识 “双基”; ⑦强调本质,注意适度形式化; ⑧体现数学的文化价值; ⑨注 - 1 重信息技术与数学课程的整合; ⑩建立合理、科学的评价体 系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、 ②,共 72 课时,必修① 第一章 13 课时(4+4+3+1+1)+第二章 14 课时(6+6+1+1)+第三章 9 课时(3+4+1+1);必修②第一章 8 课时(2+2+2+1+1)+第二章 10 课时(3+3+3+1)+第三章 9 课 时(2+3+3+1)+第四章 9 课时(2+4+2+1). 上课方式:每周新 授 5 节,问题集中 1 节。 学习方式:预习后做节后练习;补充 知识写在书的边缘; 主要活动:学校、全国每年的数学竞赛; 数学课外活动(每期两次) 。 6.作业要求: (期末进行作业评 比) ① 课堂作业设置两本;② 提倡用钢笔书写,一律用铅笔、 尺规作图,书写规范;③ 墨迹、错误用橡皮擦擦干净,作业本 整洁; ④ 批阅用“? ”号代表错误,一般点在错误开始处; ⑤

更正自觉完成;⑥ 练习册同步完成,按进度交阅,自觉订正; ⑦ 当天布置,当天第二节晚自习之前交(若无晚自习,则第二 天早读之前交) 。⑧ 每次作业按 A、B、C、D 四个等级评定, 分别得分 5、4、3、1,每本作业本完成后自行统计得分并上交 科代表审核、教师评定等级,得分 90%~98%为优良等级,98% 及以上为优秀等级; 三、了解情况:初中数学开课情况;暑假 自学情况;作图工具准备情况。 课题: §1.1 集合的含义与表

示(一) 一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合 的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专 用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用 集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2.

过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特 征的过程,感知集合的含义 . (2)让学生归纳整理本节所学知识 . 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增 重点:集合的含义与表

强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 示方法.

难点:表示法的恰当选择. 教学过程: 一、新课引入:

集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建 立在集合理论 - 2 的基础上,它还渗透到自然科学的许多领域,其术语的科技文 章和科普读物中比比皆是,学习它可为参阅一般科技读物和以 后学习数学知识准备必要的条件。 二、讲授新课: 1.集合有关 概念的教学: 考察几组对象:① 1~20 以内所有的质数;②

到定点的距离等于定长的所有点;③所 2322 有的锐角三角形; ④x, 3x+2, 5y-x, x+y;⑤东升高中高一级全体学生; ⑥方程
2

的所有实数根;⑦ 隆成日用品厂 2005 年 8 月生产

的所有童车;⑧2005 年 1 月,广东所有出生婴儿。 A.提问:各 组对象分别是一些什么?有多少个对象?(数、点、形、式、 体、解、物、人) B.概念:一般地,我们把研究对象统称为元 素( element ) , 把一些元素组成的总体叫作集合( set ) (简称 集) 。 C.讨论集合中的元素的特征: 分析“好心的人”与“1,2,1”是 否构成集合? →结论:对于一个给定的集合,集合中的元素是 确定的,是互异的,是无序的。即集合元素三特征。 确定性: 某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是 该集合的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 互异性: 同一集合中不应重复出现同一元素。 无序性:集合中的元素没 有顺序。 D.分析下列对象,能否构成集合,并指出元素: 不

等 式 x-3>0 的 解 ; 3 的 倍 数 ; 方 程 2x - 2x + 1 = 0 的 解 ; a,b,e,x,y,z;最小的整数;周长为 10cm 的三角形;中国古代四 大发明;全班每个学生的年龄;地球上的四大洋;地球的小河 流 E. 集合相等:构成两个集合的元素是一样的. 2.集合的字母

表示: ① 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小 写的拉丁字母表示。 ② 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 (belong to)集合 A,记作:a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,

就说 a 不属于(not belong to)集合 A,记作:aA。 ③ 练习:设 B

={1,2,3,4,5},则 5

B,0.5

B, 3

B, -1

B。 3.最常见的

数集: ① 分别写出全体自然数、全体整数、全体有理数、全 体实数的集合。 ② 这些数集是最重要的,也是最常见的,我 们用符号表示:N、Z、Q、R。 ③ 正整数集的表示,在 N 右上 角加上“*”号或右下角加上“+”号。 或:0 N,0 R,3.7 N,3.7 Z, Q, ④ 练习: 填∈ R 三.小结:①概

念:集合与元素;属于与不属于;②集合中元素三特征;③常 见数集。 四、巩固练习: 1.口答:P5 思考;P6 1 题。 - 3 22.思考:x∈R,则{3,x,x-2x}中元素

x 所应满足的条件?(变:

-2 是该集合元素) 3.探究:A={1,2},B={{1},{2},{1,2}},则 A 与 B 有何关系?试试举同样的例子 课 题:§1.2 集合的含义与表示

(二) 教学要求:更进一步理解集合、元素等概念,掌握集合 的表示方法,会用适当的方法表示集合。 教学重点:会用适当 的方法表示集合。 教学难点:选择恰当的表示方法。 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:集合概念?什么叫元素?集合中元素 有什么特征?集合与元素有何关系? 22.集合 A={x+2x+1}的元 素是 ,若 1∈A,则 x= 。 3.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、

{2,1}的元素分别是什么?有何关系? 二、讲授新课: 1. 列举法 的教学:
22

① 比较:{方程的根}、 、 ② 列举法:

把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来。→P4 例 1
2

③ 练习:分别表示方程 x(x-1)=0 的解的集合、15 以内质数的

集合。 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同。 2. 描述法的

教学:

① 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合

的方法,一般形式为,其中 x 代表元素,p 是确定条件。 →P5 例 2 2② 练习: A.“不等式 x-3>0 的解”与“抛物线 y=x-1 上的点 的坐标”用描述法表示 的解的集合、方程组解集。
2

B. 用描述法表示方程 x(x-1)=0 C.用描述法表示:所有等 ③ 简写原则: ,
22

边三角形的集合、方程 x+1=0 的解集。 从上下文关系来看, 、明确时可省略,如

强调:

描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x+3x+2}与 {y|y= x+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略, 例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有” 的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}, - 4 {R}也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据 具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多 或有无限个元素时,不宜采用列举法。 3④练习:试用适当的 方法表示方程 x-8x=0 的解集。 三、巩固练习: 1. P5 3,4 题。 2. 用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 43.集合 A={x|∈Z, x∈N},则它的元素是 。

24.已知集合 A={x|-3<x<3,


x∈Z},B={(x,y)|y=x+1,x∈A},则集合 B 用列举法表示是

2

5.已知集合 A={x|x=2n,且 n∈N},B={x|x-6x+5=0}, A,4 B, 5 A,5 B 6.设 A={x|x=2n,

用∈或填空: 4

n∈N,且 n<10},B={3 的倍数},求属 A 且属 B 的元素集合。
2

7. 若集合,集合,且,则

a=

, b=

。 四.小结:集合的两种表示方法,关键是会用适 课 题:§2 集合间的基本关系 一. 教学

当的方法表示集合。

目标: 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识 别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。

venn(3)能使

用图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本 关系,体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合 的思想 . (2)体会类比对发现新结论的作用. 二.教学重点.难点 重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点: 难点是属于关系与包含关系的区别. 三.学法 1.学法:让学生

通过观察.类比.思考.交流.讨论,发现集合间的基本关系. 教学过 程: 一、复习准备: - 5 1.提问:集合的两种表示方法? 如何用适当的方法表示下列集 合? (1)10 以内 3 的倍数; N; (2)1000 以内 3 的倍数 2.用 R。 3.导入:类比实数

适当的符号填空: 0

Q; -1.5

的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关 系呢? 二、讲授新课: 1. 子集、空集等概念的教学: ①比较 下 面 几个 例子 , 试发 现两 个 集合 之间 的 关系 :

且 乡 一 中 学 生

与;

西


西 乡 一 中 高 一 学 生 ;

与 AB② 定义:如果集合的 任何一个元素都是集合的元素,我们说这两个集合有包含关系,





集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。记作: 读

作: A 包含于( is contained in ) B ,或 B 包含( contains ) A

A? B 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作
示两个集合间的“包含”关系: B

A ③用 Venn 图表




的,因此.

④集合相等定义: ,则中的元素是一样



⑤真子集定义:若集合,存在 B

元素,则称集合是集合的真子集(proper subset) 。记作:A

(或 B A) 。 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 。 ⑥练习:举例子集、真子集、集合相等;探讨。 ⑦空集定义:不含有任何元素的集合称为空集( empty set) , 记作: 。并规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集。 ⑧填空:1 N, N。 → 比较:与。

⑨ 讨论: A 与 A 有和关系? ,则由什么结论?

{a,b,c}2.教学例题: (1)写出集合的所有的子集,并指出其中哪
些是它的真子集。 A、 (2)已知

集合, ,并表示的关系。 出示例题 → 师生共练 → 推广:n 个元 素的子集个数
2

3. 练习:已知集合 A={x|x-3x+2=0},B= B, A C,{2}

{1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空: A C,2

C 三、巩固练习: 1. 练习: 书 P9 1,2,3,4,5 题。 2. 探究:已知集合, ,且满

a
足,求实数的取值范围。 - 6 -

四.小结: 子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn 图

图示;一些结论。注意包含与属于



题:§3.1 集合的基 1. 知识与技能 (1)

本运算(一) 交集、并集 一. 教学目标:

理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集 与并集. (2)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理 解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比,借助

Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树 立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为 一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确 . 二.教学重点.难点 重点:交集与并集的概念. 别与联系. 三.学法 难点:理解交集概念.符号之间的区

1.学法:学生借助 Venn 图,通过观察.类

比.思考.交流和讨论等,理解集合的基本运算 .教学过程: 一、 复习准备: 且 xA}= 0,X∈R} {x>2} 。 1.已知 A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则 A
22.用适当符号填空:0

S, {x|x∈S

{0} 0

Φ Φ {x|x+1=

{0} {x|x<3 且 x>5} {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5} {x|x>-3} 二 、 讲 授 新 课 : 1. 教 学 交 集 、 并 集 概 念 及 性 质 : ① 探讨:设, ,试用 Venn 图表示集

合、后,指出它们的公共部分(交) 、合并部分(并). ② 讨论: 如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并? ③ 定义交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所 组成的集合,叫作 A、B 的交集(intersection set) ,记作 A∩B, 读“A 交 B”,即:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}。 ④ 讨论:A∩B 与 A、 B、B∩A 的关系? → A B B B A(B) A A B A A∩A=

A∩Φ= ⑤ 图示五种交集的情况:? - 7 ⑥ 练习(口答) : A={x|x>2},B={x|x<8},则 A∩B= ={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ; A

。 ⑦定义并

集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫 做 A 与 B 的并集(union set) 。记作:A∪B,读作:A 并 B。用 描述法表示是:? ⑧分析:与交集比较,注意“所有 ”与“或 ”条 件;“x∈A 或 x∈B”的三种情况。 ⑨讨论:A∪B 与集合 A、B 的关系?→ A∪A= A∪Ф= A∪B 与 B∪A ⑩练习(口答) : A ={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= B={钝角三角形},则 A∪B= ; A∪B= ,A∩B= ; 设 A={锐角三角形},

A={x|x>3},B={x|x<6},则

。 2.教学例题: 1.出示例 1:设 A={x|-

1<x<8},B={x|x>4 或 x<-5},求 A∩B、A∪B。 格式 → 结果分 析 → 数轴分析 → 比较:解方程组 → 变:A={x|-5≤x≤8} 2. 指导 看书 P11 例 1、P12 例 2。 3.练习: 设 A={(x,y)|4x+y=6},B ={(x,y)|3x+2y=7},求 A∩B。 格式 → 几何意义 → 注意结果
2

→ 变题:B:4x+y=3 或 B:8x+2y=12 若{-2,2x,1}{0,x,1}={1,4},则 x 的值

三、巩固练习: 1. 。 222.已知 x∈R,集

合 A={-3,x,x + 1} , B={x - 3 , 2x - 1,x + 1} ,如果 A∩B={-3} ,求 A∪B。 (解法:先由 A∩B={-3}确定 x) 3.已知集合 A={x|a4.

1<x≤a},B={x|0<x<3},且 A∩B=Ф,求 a 的取值范围。 若 A={(x,y)|y=},B={(x,y)|y=x+1},则 AB=

; x 四.小

结:交集与并集的概念、符号、图示、性质;熟练求交集、并

集(数轴、图示) 。 与补集 一. 教学目标:



题: §3.2 集合的基本运算(二)全集 1. 知识与技能 (1)会求两个简单集合的

交集与并集 . (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会 求给定子集的补集. (3)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直 观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和

类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. - 8 (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确 . 二 .教学重点 .难点 重点:交集与并集,全集与补集的概念 .

难点:理解交集与并集的概念 .符号之间的区别与联系. 三.学 法与教学用具 1.学法:学生借助 Venn 图,通过观察.类比.思

考.交流和讨论等,理解集合的基本运算 .教学过程: 一、复习 准备: 1. 提问:.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别

是怎样的? 2. 提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3. 讨论:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B、R 有何 关系? 二、讲授新课: 1.教学全集、补集概念及性质: ① 预 备题:U={全班同学 }、 A={全班参加足球队的同学 }、 B={全班没 有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? ②结论:集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 → 画图分析 ③ 定义全集(universe set) :含有我们所研究问题中所涉及的所有 元素构成的集合,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相 对概念。 ④定义补集(complementary set) :已知集合 U,

集合 AU,由 U 中所有不属 UACA 于 A 的元素组成的集合,叫作 A 相对于 U 的补集,记作: ,读作:“A 在 UCAU


中补集”,即。补集的 Venn 图表示如右: U(说明:补集 的概念必须要有全集的限制) CACB 练: U={2,3,4} , A={4,3} , B=φ,则= ,= ; → 图形分析 UU ⑤ 讨论:A.在解不等式

时,把什么作为全集?在研究图形集合时,把什么作为全集? B. Q 的补集如何表示?意为什么? ⑥ 练习(口答) : CA 设 U ={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则= 设 U={三角形},A={锐角三角形},则= ; U CA

。 U 2.教学例题:

课本 P13 例 3 例 4 CACB 补充例题:U={x|x<13,且 x∈N},A= {8 的正约数},B={12 的正约数},求、 。 UU 出示 → 学生试逐个 求 → 再试用图示求 3.练习: CACB 设 U=R,A={x|-1<x<2},B ={x|1<x<3},求 A∩B、A∪B、 、 。 UU - 9 独立练习 → 方法小结:如何数轴分析 4.探究:结合图示分 析,下面的一些集合运算基本结论。 A∩B=B∩A, A∩BA, A∩BB, A∩φ=φ; A∪B=B∪A, A∪BA, A∪BB, A∪φ=A;

A∩CA=φ, A∪CA=S, C(CA)=A UUUU5.小结: 补集、全集的 概念;补集、全集的符号;图示分析(数轴、Venn 图) 。 三、 巩固练习: 1.已知 U={x∈N|x≦10},A={小于 10 的正奇数}, B={小于 11 的质数},则 CA= 、CB= 。 UU 2.已知集合 。 ( 解法:

A={0,2,4,6}, CA={-1,-3,1,3},CB={-1,0,2},则 B= VennUU 图法

3. 定 义 A—B={x|x∈A , 且 xB} , 若

M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M= §4.1-2 高中数学第一章测试题 班级



四.小结:全集与补集 姓名 学号

1 、集合,那么 ( A、 C、 合 D、 , 那 么 ( A、 D、 则 ( D、 A、 4 ) A、 ) B、

2、集 ) B、 C、 3 、若集合, B、 C、 )

M4、 满足条件的集合的个数是 (
B 、3 C 、2

D 、1 痧 5 、设全集,集合,

那么是( D、



A、

B、

C、 6、设集合,

则中元素的个数是( ) - 10 A、11 B、10 C、16 D、15 7、已知全集, 则集合等于( C、 ( D、 ) D、 )





A、

B、

8、如果集合,那么 A、 B、 C、

9 、设全集,

集合,则( d }

) UA、{ b }

B、 { d }

C、{ a, c }

D、{b,





10 、 设 全 集 , 集 合 , 则 ( B 、 )

,4,5,61,3,4,5A、
C 、 D 、 11 、设全集,集合,

集合,则 B、

(

)

A、

C 、 D、


) A、15

A12、
B、16 D 、 4 13 、 已 知 集

已知集合,那么的真子集的个数是( C 、 3

合,那么集合为( B 、

) C 、

A、 D 、 14 、 设 集 合 ,

则 ( ) U{2}{2,3}{3}{1,3}A、

B、

C、 15、若,则(

D、 )

U{1,2,3}{2}{1,3,4}{4}A、

B、

C、

D、

R|2≤x≤6}16 、设集合,那么下列结
论正确的是( B、 C、 D、 R ,,, 则 等 于 ( A、 ) A、 17、 ) B、

设 全 集 是 实 数 集
R

C、

D、 - 11 18、已知集合,若,则实数等

于( )

A、

B、

C、或

D、或或 0

19 、已知集合且则实数的取值范围是 20 、 设 集 合 , 集 合 。 若 , 则 21 、设集合,若,则的取值范围 是 22、增城市数、理、化竞赛时,高一某班有 24 名学生参

加数学竞赛,28 名学生参加物理竞赛,19 名学生参加化学竞赛, 其中参加数、理、化三科竞赛的有 7 名,只参加数、物两科的 有 5 名,只参加物、化两科的有 3 名,只参加数、化两科的有 4 名。若该班学生共有 48 名,问没有参加任何一科竞赛的学生 有多少名?
第二章函数

§2.1 函数的概念 教材分析:函数是描

述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看 成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数, 高中阶段更注重函数模型化的思想. 教学目的: (1)在上一小 节学习的基础上理解用集合与对应的语言来刻画函数,体会对 应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用 “区间”的符号表示某些函数的定义域; 教学重点:理解函数的 模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数; 教学难点:符号 “y=f(x)” 的含义,函数定义域和值域的区间表示; 教学过程: 一.引入课题 复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思

想。 思考: (1) y=1(x∈R)是函数吗? 数吗? 2x
x

(2) y=x 与 y=

是同一函

几百年来,随着数学的发展,对函数概念的理解不

断深入,对函数概念的描述越来越清晰。现在,我们从集合的 观点出发,还可以给出以下的函数定义。 (先认识几个对应) 二.新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念: - 12 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数. 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函 数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1 函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”○; 2 “y=f(x)”是 函数符号

“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,是一个数,而不是 f 乘 以 x. ○③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别 完全相同. ④有时给出的函数没有明确说明定义域 ,这时它的定 义域就是自变量的允许取值范围. 2. 构成函数的三要素: 定义 域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区 (3)区间

间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; 的数轴表示. 实 数 的 x

(1)满足不等式的 集 合 叫 做 闭 区 间 , 表 示 为 ; (2)满足不等式的实数的 x 集合叫

做开区间,表示为;



(3)满足不

等式的实数的 x 集合叫做半开半闭区间,表示为; (4)满足不等式的实数的 x 集合叫 做 也 叫 半 开 半 闭 区 间 , 表 示 为 ;

,ba,b

说明:

① 对于, , ,都称数 a 和数 b 为区间的端点,其中 a 为左端点, b 为右端点,称 b-a 为区间长度; ② 引入区间概念后,以实数 为 元 素 的 集 合 就 有 三 种 表 示 方 法 :

73, ;不等式表示法:3<x<7
(一般不用) ;集合表示法: ;区间表示法: ③ 在数轴上,这 些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示,在图中, 用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区 间内的端点; ④ 实数集 R 也可以用区间表示为(-∞,+∞) , “∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负 无穷大”,“+∞”读作“正

无穷大”,还可以把满足 xa, x>a, xb, x<b 的 实数 x 的集合分别表 示为[a,+∞]、 (a,+∞) 、(-∞,b)、(-∞,b)。 (见演示) (二)例题讲 解 1. 一次函数 y=ax+b(a≠0)定义域是 R,值域是 R.。 2 二次函数 y=ax+bx+c (a≠0)的定义域是 R,值域是 当 a>0 时,为:
2
2

当 a<0 时,为:

4a 4a

2. 某山海拔 7500m, 海平面温度为 25°C,气温是高度

的函数, 而且高度每升高 100m, 气温下降 0.6°C.请你用解析表达 式表示出气温 T 随高度 x 变化的函数,并指出其定义域和值域. 2

2 3.

已知 f (x)=3x-5x+2, 求 f (3),f (-

), f (a), f (a+1) , f [f (a)].

- 13 -

4. 下 列 函 数 中 与 函 数 y=x 相 同 的 是 (

B

).

2

x A.
习 1,

B.

C . 三.课堂练习

P31. 练

2 (解答见课件). 四.小结 在初中函数定义的基础上

进一步用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念, 介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目,引入了区间 的概念来表示集合。 五.作业 2 2-2 A 组 1,2. 2. 若 f (x) = ax- ,且 1. P38.习题 求 a.

§2.2 函数的表示法

教学目标: 1.使学生掌握函数的常

用的三种表示法; 2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法 表示函数,了解函数不同表示法的优缺点; 3.使学生理解分段 函数及其表示法,会处理某些简单的分段函数问题; 4.培养学 生数形结合与分类讨论的数学思想方法,激发学生的学习热情。 教学重点: 函数的三种表示法及其相互转化,分段函数及其表 示法 教学难点: 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,分 段函数及其表示法。 教学过程: 一、新课引入 复习提问:函数 的定义及其三要素是什么? 函数的本质就是建立在自变量x的

集合A上对应关系,在研究函数的过程中,我们常用不同的方 法表示函数,可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质,是 研究函数的重要手段。 请同学们回忆一下函数有哪些常用的表 示法? 答:列表法是、图像法、解析法 二、新课讲解 请同学们 阅读课本 P28-P29 例 2 以上部分内容,思考下列问题: 1. 列表 法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的? 2. 这三种表示法 各有什么优、缺点? 在学生回答的基础上师生共同总结 :(多媒 体课件显示) 列表法 图像法 解析法 定 用表格的形式把两

个变量间的用图像把两个变量间的函一个函数的对应关系可以 用自变义 函数关系表示出来的方法 数关系表示出来的方法 量的 解析式表示出来的方法 不必通过计算就能知道两个变可以直

观地表示函数的局能叫便利地通过计算等手段研究优 量之间的 对应关系,比较直观 部变化规律,进而可以预测函数性质 点 它 的整体趋势 缺 只能表示有限个元素的函数关有些函数的图像难 以精确一些实际问题难以找到它的解析点 系 作出 式 函数的三 种表示法并不是相互独立的,它们可以相互转化,是有机的一 个整体,像我们 - 14 非常熟悉的一次函数、二次函数,我们都可以用列表法是、图 像法、解析法来表示和研究它们。 下面我们再通过几个具体实 例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。 例 1、 请画出下列函数的图像。 解:图像为第一和第二象限的角平分线,

y 如图 2-5 所示 图 2-5 结合的数学思想方法。

0

x

本题体现的是由数到形的变化,是数形 问 1.如何作出函数的图像? 3. 如 4.思考:如何由函 5.试求函数与函数 y=1 的

2.如何作出函数的图像? 何作出函数的图像? 数的图像得到函数的图像?

图像围成的图形的面积。 例 2、 国内跨省市之间邮寄信函,每 封信函的质量和对应的邮资如表 2-5: (多媒体课件显示) 表 2-5 信 函 质 量 (m)/g

1.20 2.40 3.60 4.80 6.00 邮资(M)/元 画出图像, 并写出函数的解析式。 分析:要让学生明白当信

函质量时邮资 M=1.20 是信函质量 m 的函数,是一种典型的多 对一的函数,可以通过多媒体动画演示让学生体会。 解:邮资 M 是信函质量 m 的函数,函数图像如图 2-6 所示 - 15 图 2-6 函 数 解 析 式 为 :

1.

注:像这 样在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数叫分段 函数 1. 分段函数是一个函数,而不是几个函数; 2. 分段函数的 定义域是所有区间的并集,值域是各段函数值域的并集; 3. 分

段函数的求解策略:分段函数分段解。 例 3、 某质点在 30s 内 运动速度 v 是时间 t 的函数,它的图像如图 2-7。用解析法表示 这 个 函 数 , 并 求 出 9s 时 质 点 的 速 度 。 ( 多 媒 体 课 件 显 示 ) 解:速度是时间的函数,且在不同的区间上对应这不同的解析 式,因此速度是时间的分段函数,我们应当分段处理。 1.当时,可设 ,将(0,10)和(5, 15)代入,得 - 16 -

请同学们拿出笔和纸算 出 , , 时 所 对 应 的 解 析 式 。 由上式可 得, t=9s 时,质点的速度是 问 1.如何求质点在 t=19s、20s 、0.2s 时的速度呢? v(v(9)) 2.求的值; 当时, 当时, 当时, 当时, 综上可知或 解法 2: (数形结合)由 v 与 t 图像可知只有和时, 当时,对应的 解得(舍) 解得 无解 解得 时间 t 是多少? 3 解法 1 : (分段函数分段解)

才可能成立,故 或 解得或 21 三、思考交流 第 1、2 题。 堂练习 第 1、2、3 题。 五、课堂小结 点; 四、课 师生共同归

纳本节主要内容 1. 函数的三种表示法和各自的优缺
- 17 -

2. 分段函数及其解法; 3. 函数解析式的求法。 业 P34 习题 2-2 A 组 第 1、2 题。

六、布置作

七、板书设计 §2.2 函 一、函数的三种表示法及 §2.23 函数解析式的求法

数的表示法 二、例题 三、分段函数 其各例 1 自优缺点 例2例3

教学目标:让学生了解函数解析式的求法。 重点:对 f 的了解, 用多种方法来求函数的解析式 难点:待定系数法、配凑法、换 元法、解方程组法等方法的运用。 教学过程 例 1.求函数的解析 式 2 (1) f9[(x+1)= , 求 f (x); 练习 1:已知 f( +1)= x+2 ,求 f(x) 答案:f (x)=x-x+1(x≠1) 答案:f (x)=x2-1(x≥1) (2)

f (x) = 3x2+1, g (x) = 2x -1 , 求 f[g(x)];答案:f[g(x)]=12x2-12x +4 练习 2:已知:g(x)=x+1,f[g (x)]=2x2+1,求 f(x-1) 答案:f(x(3)如果函数 f (x)满足 af (x)+f()=ax,x∈R 且 x≠0,a

1)=2x2-8x+9

为常数,且 a≠±1,求 f (x)的表达式。答案:f (x)= (x∈R 且 x≠0) 练 习 3 : 2f (x) - f ( - x) = lg (x+1), 求 f (x). 答案: f(x)= lg(x+1)+lg(1-x) (-1<x<1) 例 2.已知 f (x)是一次函数,并且

满足 3f (x+1) - 2f (x-1)=2x+17,求 f (x). 答案:f (x)=2x+7. 练习 4: 已知 f (x)是二次函数,满足 f(0)=1 且 f (x+1) - f (x)=2x,求 f (x) 答

案:f (x) = x2- x+1 例 3.设 f(x)是 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并 且对任意实数 x,y (x) =x2+x+1 - 18 练习 5:函数 f(x)对任何 x∈R 恒有 f(xx)=f(x1)+f(x2),已知 f(8)=3, 则 f()= 例 4.已知函数 y=f(x)的图像如图所示,求 f(x) 练习 6: 有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求 f(x) 答案:f

已知函数 f(x)的图像是由两条射线和开口向下的抛物线组成, 求 f(x)解析式 例 5.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)关于直线 x=2

对称并且 x∈[0,2]上的解析式为 y=2x-1,则 f(x)在 x∈[2,4]上的解 析式为 y=7-2x 若当 x≤1 时,y=x+1,
2 2

练习 7:设函数 y=f(x)关于直线 x=1 对称, 则当 x>1 时,f(x)= x-4x+5

课堂小结:求函数的解析式的方法较多,应根椐题意灵活选择, 但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围,对于实际问题 材,同样需注意这一点,应保证各种有关量均有意义。 布置作 业: 1、若 g(x)=1-2x , f[g(x)] = (x≠0),求 f()的值。 2、已知 f(x )=x + , 求 f(x-1) 的表达式 . 3 、已知 f(x)=9x+1,g(x)=x, 则满足

f[g(x)]= g[f(x)] 的 x 的值为多少? 4、已知 f(x)为一次函数且 f[f(x)] = 9x+4,求 f(x). 教后反思: 2.3 映 射 教学目标:1.

使学生了解映射的概念、表示方法; 2.使学生了解象、原象的 概念; 3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念; 4. 使学生认识到事物间是有联系的,对应、映射是一种联系方式。 教学重点:映射、一一映射的概念 教学难点:映射、一一映射 的概念 教学方法:讲授法 教学过程: (I)复习回顾 在初中

学过一些对应的例子(投影) ; - 19 ( 1 )对于任何一个实数,数轴上都有唯一的点和它对应; ( 2 )对于坐标平面内的任何一个点,都有唯一有序实数对 (x,y)和它对应; (3)对于任意一个三角形,都有唯一确定 的面积和它对应; (4)对于任意一个二次函数,相应坐标平 面内都有唯一的抛物线和它对应。 (Ⅱ)新课讲授 一.实例分 析 1. 集合A={全班同学} ,集合B=(全班同学的姓} ,对 应关系是:集合A中的每一个同学在集合B中都有一个属于自 己的姓. 2. 集合A={中国,美国,英国,日本} ,B= {北京, 东京,华盛顿,伦敦} ,对应关系是:对于集合A中的每一个国 家,在集合B中都有一个首都与它对应. 3. 设集合A={1,- 3 ,2 ,3 ,-1 ,-2} ,集合B={9,0,4,1,5} ,对应 关系是:集合A中的每一个数,在集合B中都有一个其对应的 平方数. 三个对应的共同特点: (1)第一个集合中的每一个 元素在第二个集合中都有对应元素; (2)对于第一个集合中 的每一个元素在第二个集合中的对应元素是唯一的. 二.抽象

概括 1. 映射的概念 两个集合A与B间存在着对应关系,而且对 于A中的每一个元素 x,B中总有唯一的一个元素 y 与它对应, 就称这种对应为从A到B的射映,A中的元素 x 称为原像,B 中的对应元素 y 称为 x 的像, 记作 f:x y . 注意: (1)映射有

三个要素:两个集合,一种对应法则,缺一不可; (2)A,B 可以是数集,也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后

顺序:符号“f:A→B”表示 A 到 B 的映射,符号“f:B→A”表示 B 到 A 的映射,两者是不同的; (3)集合 A 中的元素一定有象, 并且象是唯一的,但两个(或两个以上)元素可以允许有相同 的象;例:“A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒数”就不可以构成映射, 因为 A 中元素 0 在 B 中无象 (4)集合 B 中的元素在 A 中可以 没有原象,即使有也可以不唯一; (5)A={原象},B{象}。

2.思考交流 (1) P37 练习1 (2) 函数与映射有什么区别 和联系? 结论: 1. 函数是一种特殊的映射;(数集到数集的映射) 2. 映射是函数的推广。 3. 一一映射(一种特殊映射) (1)A 中每一个元素在 B 中都有唯一的像与之对应; (2)A 中的不 同 元 素 的 像 也不同 ; ( 3 ) B 中 的 每 一 个 元 素都有 原 像 。 三.知识应用 1. 已知集合 A={x│x≠0,x∈R},B=R,对应法则 是“取负倒数” - 20 (1) 画图表示从集合 A 到集合 B 的对应(在集合 A 中任取四个 元素) ; (2) 判断这个对应是否为从集合 A 到集合 B 的映射;是 否为一一映射? (3) 元素-2 的象是什么?-3 的原象是什么? (4) 能不能构成以集合 B 到集合 A 的映射? f 下的象是(2x-y,2x+y), 2. 点(x,y)在映射

(1) 求点(2,3)在映射 f 下的

像; (2)求点(4,6)在映射 f 下的原象. 答案:(1) 点(2,3)在映 射 f 下的像是(1,7); (2) 点(4,6)在映射 f 下的原象是(5/2,

1) 42 3. 设集合 A={1,2,3,k},B={4,7,a,a+3a},其中 a,k∈N,映射 f:A→B,使 B 中元素 y=3x+1 与 A 中元素 x 对应,求 a 及 k 的

值 . ( a= 2 , k= 5 )

四.问题探究 判断下列对应是否A到B ( 答 案 见 教 材 全 解 p70 )

的映射和一一映射?

五.小结:

本节课我

们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射 的定义。强调注意的问题(前面所述)指出:映射是一种特殊 的对应:多对一、一对一;一一映射是一种特殊的映射: A 到 B 是映射,B 到 A 也是映射。 六.课后作业 §3 函数的单调

性 教学目的: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解 函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和 研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上 的的单调性. 教学重点:函数的单调性及其几何意义. 教学难 点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过 程: 阅读与思考 、阅读教材
- 21 -

的 实 例 分 析 及 思 考 交 流 止 。 180

160140120100806040200135791357913579122222000001 111544444555555555
、思考问题 (1)从 P36 图 2-

15 (北京从 20030421-20030519 每日新增非典病例的变化统计 图)看出,形势从何日开始好转? (2)从 P36 图 2-16 你

能否说出 y 随 x 如何变化? 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数 据 时间间隔 记忆保持量 44.2% 1 小时之后 100% 刚刚记忆完毕 35.8% 8-9 小时之后 58.2% 20 分 33.7% 1 天后

钟之后

27.8% 2 天后

25.4% 6 天后

21.1% 一个月后

… … 艾宾浩斯

遗忘曲线 保持量(百分数)

100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

天数

问:什么是增函数、减函数、函数的单调性? 问

题 1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势: 1
2

(1)

x

- 22 -

y
2

-1

1

问题 2、你能明确地说出

“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗? 在某一区间内, 图象在该区间呈上升趋势 当 x 的值增大时,函数值 y 也增 大 图象在该区间呈下降趋势 当 x 的值增大时,函数值 y y

反而减小 如何用 x 与 f(x)来描述上升的图象?

在给 取
函数 f








结论:
21


O

(x)1xx 在给定区间上为递增的。x
来描述下降的图象?

如何用 x 与 f(x)

在 给 定 区 间 上 任 取 x,x, 结论: 函数 f (x)f(x)f(x)12x 在给定

区间上为递减的。x O x2 1 - 23 y y=f(x) f(x) f(x) 1x x x O 12

, 一般地,设函数 y=f(x)的定

义域为 A 区间 I

A. 如果对于区间 I 内的任意两个值 x,x,当

x <x 时,都有 f(x)<f(x) 1212 12 那么就说 y= f(x)在区间

I 上是单调增函数.

y y=f(x)

f(x) f(x) 1x x x O 12 一般地,设函 A. 如果对于区间 I 内的任意两

数 y=f(x)的定义域为 A, 区间 I

个值 x,x,当 x <x 时,都有 f(x)<f(x) 1212 12 那么就 说 y= f(x)在区间 I 上是单调增函数. 单调区间 如果函数 y=f(x) 在区间 I 是单调增函数或单调减函数 ,那么就说函数 y=f(x)在区 间 I 上具有单调性.
- 24 -

单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

[例 1] 证明函数 上是增函数。证明:

在区间
设 x,x 是区间 两 个 实 数 ,







内任意 12(条 且 。

件 )

即 函数
2

(论证结果) (结论)

x 2x(

12 则
- 25 -

在区间

是增函数。

[例 2] 判断函数

单调性,并加以
, 1)1

证明。y 单调递减区间: 2f(x)

单调递增

区间: o x 2 [1 ,
断函数 论.

)【练习】 : 1、判断函数

f(x)=1/x 在(-∞,

0)上是增函数还是减函数?并证明你的结论.
f(x)=1/x 在(0,+∞)上

减函数

2、判

是增函数还是减函数?并证明你的结

减函数

【想一想】 :能否说函数 f(x)=1/x 在(-∞,
:不能. 因为 x=0 不属于 f(x)=1/x 的定义域.
(1).

+∞) 上是减函数?



解题步骤 用定义证明函数的单调性的步骤:

设 x<x,

并且是某个区间上任意二个值;

12 (2).

作差 f(x)-f(x) ;

12 (3).

判断

f(x)-f(x) 的符号: 12① 分解因式, 得出因式 x-x 12 . ② 配成非负实

数和.

(4).

作结论. 小结 - 26 -

1. 概念 定义法

2. 方法 图象法

§4.1 二次函

数的图像 教学目的:理解二次函数的图像中 a,b,c,h,k 的 作用;领会二次函数图像移动的方法 教学重点:二次函 数的图像中 a,b,c,h,k 的作用 教学难点:领会二次函数图 像移动的方法 教学方法:逐层推进 教学过程: 一.复 习引入 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点 222(1) y = (x+2)-1, 二.问题探索 (2) y = - (x-2)+2 , 探索问题 1: (3) y = a (x+h)+k 和的图 实践探究 1: 2 观察发现 1:

像之间有什么关系? 在同一坐标系中做出下列函数的图像; ; ; 221.二次函数

的图像可由的 y=x 图像各点纵

坐标变为原来的 a 倍得到. 2.a 决定了图像的开口方向: a>o 开口向上,a<0 开口向下. 3. a 决定了图像在同一直 角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 巩固性 训练一: 下列二次函数图像开口,按从小到大的顺序排 列 为 (4),(2),(3),(1). 423 探 索问题 2: 和 的图

像之间有什么关系? 实践探究 2:在同一坐标系中做出











图 ; ;





观察发现 2:

2

二次函数
- 27 -

决定了二次函数图像的

开口大小及方向;

而且“a 正开口向上,a 负开口向下”;|a|越大开口越小; h 决定了二次函数图像的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”; k 决定了二次函数图像的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”。 巩固性训练二: 21.将二次函数 y=3x 的图像平行移动,顶点移到 (-3,2) ,则它的解析式为 2 Y=3(x+3) +2 。 22.二次函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函 数 g(x)=x+1,2f(x)图像的顶点为(3,2),则 f(x)的表达式为 Y=(x-3) +2 。 探索问题 3: ,和的图像之 观察发现 3:一般的,二次函数, 式: 。 移就可以得到。 发展

间有什么关系?

通过配方就可以得到它的恒等形 从而知道,由 的图像经过平

性训练 22 1. 由 y=3(x+2)+4 的图像经过怎样的平移变换,可以得 到 y=3x 的图像. 右移 2 单位,下移 4 单位 2 2. 把函数 y=x-2x 的 图像向右平移2个单位,再向下平移3个单位所得图像对应的 函数 222 解析式为 : Y =(x-2)-2(x-2)-3 = x- 6x+5 = (x-3)-4 。 三.课堂小结: 2 1.a,h,k 对二次函数 y =a(x+h)+k 图像的影响。

222. y = x 与 y =a(x+h)+k 的图像变换规律。 四.课后作业: §4.2 二次函数的性质 教学目的:结合图像进一步掌握二次函

数的性质,领会二次函数的应用 教学重点:结合图像掌握二次 函数的性质 教学难点:对性质的应用 教学方法:讲练结合 - 28
-

教学过程: 一.阅读与思考 2.

1.

阅读教材.

思考函数 的性质 二.问题探究 1. 求证:a<0 时, 在区间

上是减小的。 2a 结 合 图 像

2. 例 2,例 3 三.归纳 1、二次函数的问题, 可 以 更 直 观 形 象 。

a
之后,就可通过 , 质,并依此画出图像。 , 4a2a 四.练习实践 习 1、2、3、4.

2、 将 配方得 , 直接得函数的主要性 1. 教材 P53 练

2 2. 函数 y =4x- mx+5 的对称轴为 x=-2 , 则 b .1 c .17 d. 25 23. y = -x - 6x + k

x=1 时 y =__D__ a .–7

图像顶点在 x 轴上,则 k= __-9__ 。 五.课堂小结 1. 二次函 数的几大性质 2. 二次函数的几大性质的应用 六.课后作业 §4.3 课题:二次函数在闭区间上的最值 使学生通过对知识的

运用加深对知识的理解与掌握;在问题解教学目标 决的过程中 渗透数形结合的思想方法和运动、变化的观点;引导学生挖掘 知识的作用,提高运用知识分析问题和解决问题的能力。 知识 重点 掌握闭区间上二次函数的最值的求法 教学难点 了解并会 处理含参数的二次函数的最值的求法 数学思想 数形结合思想、 分类讨论思想 教学过程 教学方法和手段 - 29 -

① 复述函数单调性的概念

② 函数最值的定义

复习 通过
2 引例:求

引例,激发学生进一步研究的兴趣,并引入本课
的最值

的主题。

通过(1) 、 (2) 、改变此函数的定

义域,分别确定函数的最值 (3)逐步引导学引入 (1)[0,3] 生 利用一元二次 函数的图象分析下面逐步给出 二次函数在闭区 在闭区间[m,n]
(一)配方 2a 2求 且函数在[0,2]上 max 时, min

(2)[2,3] 间上的最值。 (3)[-1,0] 上,求二次函数的一般步骤: 概念分析
单调递减 b

(二)判断
课堂练习

是否属于闭区间[m,n]

在[0,2]上的最值

2解
时,

- 30 -

【例 1】

2

求函数
学生积极主动地

在 值和最小值,并指出取得最
【例 2】

下列条件下的最大 值时 x 的值。

利用数形结合的 思想解决问题。

2

已知 值
值则要 因为函数

求函数的最
(定义域固定,对称轴变化) 例题讲解 解:

2

的对称轴为 x=-a。要求最 【例 3】
2

看 x=-a 是否在区间[-2,2]之内

已知

的最小值为 g(t),试 写出 g(t)的解析式
化) 解: 的对称轴为 x=1 (对称轴固定,定义域变 因为函数 固定不变,要求函数的最值,即要看区间[t,t+2]

与对称轴 x=1 的

位置

小结 解决实际问题及求函数最 §5 幂 函 数 教学目标 1、通过

值的常用思想方法。

对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括, 让学生体验数学概念的形成过程,培养学生的抽象概括能力。 2、使学生理解并掌握幂函数的图像与性质,并能初步运用所学 知识解决有关问题,培养学生的灵活思维能力。 教学难点 幂函 数图像和性质的发现过程 教学重点 - 31 幂函数的性质及运用 教学过程 一、教学导入 数学和日常生活 是密不可分的,观察下列问题中的函数个有什么共同特征? (1)如果李斯在超市买了每支 1 元的水笔 n(支) ,那么他应 支付 p=n 元。这里 p 是 n 的函数。 2(2)如果正方形的边长 a, 那么正方形的面积为 S=a ,这里 S 是 a 的函数。 3 (3)如果

立方体的边长 a,那么立方体的体积为 V=a ,这里 V 是 a 的函 数。

1 2 (4)如果正方形的面积为 S,那么这个正方形的边
(5)如果壮壮 t(s)

长为 a=S ,这里 a 是 S 的函数。 -1kms

内骑车行进了 1(km) ,那么他骑车的平均速度为 v=t ( ) ,这 里 v 是 t 的函数。 1 223-1 由学生讨论,总结,即可得出:

p=n,S=a ,V=a ,a=S ,v=t 都是自变量的若干次幂的形式。 这 节课,我们将来共同学习另一种函数 —— 幂函数(老师板书课 题) 二、讲授新课 a1、定义:一般地,函数 y=x 叫做幂函数,

其中 x 是自变量,a 是实常数。 判断一个函数是否是幂函数? 注意:①是否为幂的形式;②自变量是幂的底数,指数可以是

任意实数。 ax 例 1、 (1)y=x 与 y=a 一样吗? 122

(2)在函

数 y=x+2,y=1,y=x+x,y=2x+3,y= 中,哪几个函数是幂函数?
4

x1

(3)已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2, ) ,试求出这

个函数的解析式。 8 1a2、对于幂函数 y=x ,讨论当 a=1,2, 3, ,-1 时的函数性质 y=x 2y=x 定义域

2 表格如下:
值 域 奇偶性

123-1

y=x y=x y=x 定 点

单调性

下面先请五位同学分别在黑板上画出每个函数的图像,其他同 学可以在同一坐标系内作五个幂函数的图像。 (要给学生留出充 分时间去研究函数性质) 通过观察图像与表格 1 223-1(1)函 数 y=x,y=x ,y=x ,y=x 和 y=x 的图像都通过(1,1) ;
- 32 -

3-12(2)函数 y=x ,y=x ,y=x 是奇函数,函数 y=x 是偶函数; 1 223-1(3)在第一象限内,函数 y=x,y=x ,y=x 和 y=x 是增
函数,函数 y=x 是减函数; -1(4)在第一象限内,函数 y=x 的 图像向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。 例 2、求下 列函数的定义域,并判断函数的奇偶性 54 ( 1 ) f ( x ) =-2x (2)g(x)=x+2 12 =5x+ x

35(3)f(x)=-x+ x

(4)g(x)

3、拓展题 3 证明幂函数 f(x)= x 在 R 上是增函数 三、 教学后记 本节课主要从五个具体幂函数中认识幂函

课外作业

数的一些性质,画五个幂函数的图像并由图像概括其性质是教 学中可能遇到的困难,所以要注意引导学生亲自动手画图像、 分组讨论等形式,让学生自己去探究,把主动权交给学生。 6.1-6.2 高中数学第二章测试题 班级 姓名 学号

成绩

一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共

60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 4 的有 C、 ( ) 1、若,则 D、10 ( ) 22A、2 B、

2、对于函数,以下说法正确 ①是的函数;②对于不同的

的值也不同;③表示当时函数的值, f(x)是一个常量; ④一定 可以用一个具体的式子表示出来。 A、1 个 C、3 个 B、2 个 )

D、4 个 3、下列各组函数是同一函数的是 ( ① 与; ② 。 ;④与 B、①③ C、③④ D、①④

320
与;③与
0

xA、①②

4 、二次函数的对称轴为,则当 时,的值为 ( ) 25 A、 B、1 ( A、 D、 6、下列四个图像中,是函数图像的是 B、 (1) 、 (3) 、 (4) C、 (1) 、 (2) 、 (3) ( C、17 ) - 33 B、 C、 D、

5、函数的值域为

) A、 (1) D、 (3) 、 (4) ) (1)A

7、若能构成映射,下列说法正确的有 (

中的任一元素在 B 中必须有像且唯一; (2)B 中的多个元素可 以在 A 中有相同的原像; (3)B 中的元素可以在 A 中无原像; (4)像的集合就是集合 B。 A、1 个 个 B、2 个 C、3

D、4 个 f(x)8、是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,

不 ( ). . .









0A 、
2

B 、

C 、

D 、 9、如果函数在区 ) D、 ( )

a
A、 B、

间上是减少的,那么实数的取值范围是( C、

10、设函数是上的减函数,则有 B、 C、

D、 A、

11 、定义在上的函数对任意两个不 相等实数,总有成立,则必 增加后减少 是增函数 有( ) f(x)f(x)A、函数是先

B、函数是先减少后增加 f(x)f(x)RRC、在上 D、在上是减函数 12、下列所给 4 个图象中,

与所给 3 件事吻合最好的顺序为 ( ) (1)我离开家不久, 发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本 再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一 次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松, 缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。 离开家的距离 的距离 离开家的距离 离开家的距离 OOOO 时间 时间 (4) (1) (2) (3)
- 34 -

离开家

时间 时间

A、 (1) (2) (4) B、 (4) (2) (3)

C、 (4) (1) (3)

D、

(4) (1) (2) 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 , 请 把 答 案 填 写 在 答 题 纸 上 )

13 、 已 知 , 则 。 14、将二次函数的顶点移 。 15 、已知在定义域 上是减函数,且,则的取值范围是
2

到后,得到的函数的解析式为

。 16、

设,若,则



三、解答题:

(本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演 算 步 骤 . ) 17 、 求 下 列 函 数 的 定 义 域 : ( 12 分 ) (1) (2) 18 、 已 知 在 映 射 的 作 用 下的像是,求在作用下的像和在

1

f(12

分) 作用下的原像。

19 、证明:函数是偶函数,且 在上是增加的。 (14 分) 20、对于二次

函数, (16 分) (1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点 坐标; (2)画出它的图像,并说明其图像由的图

像经过怎样平移得来; (3)求函数的最大值或最小值; (4) 分 析 函 数 的 单 调 性 。

R

21、设函

数 是 定 义 在 上 的 减 函 数 , 并 且 满 足 ,, (1)求的值, (2)如果, 求 x 的取值范围。 (16 分)

第三章 指数函数与对数

函数

- 35 -

§1 正整数指数函数 一. 教学目标: 1.知识与技能 (1)理解 正整数指数函数的概念和意义; ( 2)理解和掌握正整数指数 函数的图象和性质; (3)体会具体到一般数学讨论方式及数 形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 (1)让学生了解数学 来自生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题, 分析问题的能力. §2.1 指数概念的扩充
- 36 -

一.教学目标: 1.知识与技能: (1) (2)掌握分数指数幂

理解分数指数幂和根式的概念; 和根式之间的互化;

(3)掌握分数指数幂的运算性质;

(4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法: 通 过与初中所学的知识进行类比,分数指数幂的概念,进而学习 指数幂的性质. 3.情态与价值 (1)培养学生观察分析,抽

象的能力,渗透 “转化 ”的数学思想; ( 2)通过运算训练,养 成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数 学的简洁美和统一美. 二.重点、难点 1.教学重点: (1)分数 指数幂和根式概念的理解; (2)掌握并运用分数指数

幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂及根式概念的理解 教学过程: 一、复习 1.零指数、负整数指数的概念,以及它

们之间的关系 . 2. 浓缩后的 3 条法则是什么?怎样浓缩好? 二、新课引入与讲解 是的整数倍,那么 在初中已学过,若是大于 1 的整数,
- 37 -

若不是的整数倍,那么上式中右端的就是一个分数了 ( 引 入自然,合理)例如, 当=2,=3 时, ,显然不能用正整数指 在不是的整数倍时也适用, ,须回忆应分几

数幂来解释,所以必须对的分数指数

自然应把看成是根幂重新定义,为此规定,

种情况: 式的另一种记法,对于底为什么要使 1.零指数与负整 数的底均不能为零. 2.正分数指数幂,当指数的分子,分母互质 时,分母为奇数,底数可以为任意实数;分母为偶数时底数为 非负实数. 3.负分数指数幂,当指数的分子与分母互质时,分母 为奇数、底数不能为零,分母为偶数,底数为正实数.总之,当 正实数为底时,指数可为任意实数. 以上这几点均可举例说明.

关于运算法则仍然成立,可以通过特殊值加以验证,克服心理 障碍. 假如,设=,=验证第一条 ∵, ∴ 成立.

它不仅让学生从心理上承认在指数概念推广后,运算法则仍然 有效,同时也能启发学生在解繁杂根式运算时,用幂的运算法 则更为简便.
38 -

当时,

(、∈,且为既约分数); -

(、∈且为既约分数). 以后

这样当指数推广到分数指数幂

当,为有理数时,表示一个确定的实数.当,为

无理数时,是否 还表示一个确定的实数?答案是肯定的,它是 在的以值不足近似值为指数的所有幂与以 的以的过剩近似值

为指数的所有的幂中间的一个实数,这样就使中的可取一切实 数了.为学习指数函数做好了必要准备.由此得 可以验证

与证明;





其中, , 、为任意实数.

三、课堂练习 (1) (2) (3) - 39 (4) (5) (6) (7) (8)利用计算器计算(精确到 0.001) ①;

②; ③. (请同学按课本上的方式按键计算,如学生手中的计算 器按键方式不同,教师需给予辅导). 课堂小结: 1.分数指数

幂的概念,明确他是根式的一种写法 (记号). 2. 零的正分数指数 幂为零. 零的负分数指数幂无意义. 3. 5.对于计算结果,

不强求统一.没有特别时要求时一般用分数指数幂的形式表示, 但结果中不能同时含根号与分数指数,也不能即有分母又含有 负指数,系数一般不用负指数来表示. - 40 一.教学目标: 1.知识与技能: (1)理解分数指数幂和根式 的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (4)培养学生观

(3)掌握分数指数幂的运算性质;

察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法: 通过与初中所学的知 识进行类比,分 数指数幂的概念 ,进而学习指数 幂的性质 . 3.情态与价值 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透

“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学, 一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一 美. 二.重点、难点 1.教学重点: (1)分数指数幂和根式概念 的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 1.学

2.教学难点:分数指数幂及根式概念的理解 三.学法

法:讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 提问: 1.习初中



























无 namnm





什么叫实数? 有理数,无理数 统称实数.

a2 . 观 察 以 下 式 子 , 并 总 结 出 规 律 : > 0 108
① ② ③

1012 512343102524

5

④ 小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可 以写成分数作为指数的形式, (分数指数幂形式). 根式的被开 方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的 形式.如:

2 32
- 41 -

1

5 即: 为此,我们规 m

m n*m

定 正 数 的 分 数 指 数 幂 的 意 义 为 : 意 义 与 负 整 数 幂 的 意 义 相 同 即:

正数的定负分数指数幂的 m an 规定:0 的正分数指

数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 说明:规定 好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的, 分 数 指 数 幂 只 是 根 式 的 n111 一种新的写法,而不 是 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,

有理数指数幂是有意义的,整数指数幂 的 运 算 性 质 , 3.例题 ( 1 ).( 例 2 ) 求 值 解:

81338a (2) . (P,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式 (>0)
60

33

解: 14241
3

3222

分析:先把根式化 为分数指数幂,再由运算性质来运算. 课堂练习: 第 1,2,3,4 题 补充练习:
1 值 72. 若 (2) () 21. 计算:的结果
- 42 -

481a





3103a3 小结: 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定

的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的 . 指数的运算 性质 2 一.教学目标 1.知识与技能: (1)掌握根式与分数指数幂互化; (2)能熟练地运用 有理指数幂运算性质进行化简,求值. 2.过程与方法: 通过训练点评,让学生更能熟练指数幂 运算性质. 3.情感、态度、价值观 (1)培养学生观察、分析问题的能力; (2)培养学生严 谨的思维和科学正确的计算能力. 二.重点、难点: 1.重点:运用有理指数幂性质进行化简, 求值 . 2.难点:有理指数幂性质的灵活应用 . 三.学法与教具: 1.学法:讲授法、讨论法 . 2.教具:投影仪 四.教学设想: 1.复习分数指数幂的概念与其性质 2.例题讲解 例 1. (P, (1) 例 4)计算下列各式(式中字母都是正数) 60211511

8(mn)84(2) (先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答) 分析:四则运 算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运 算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序 . 我们看到(1)小题 是单项式的乘除运算; ( 2)小题是乘方形式的运算,它们应让如何 计算呢?

其实,第(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行 . 第(2)小题是乘方运 算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算 .

- 43 -

解: (1) 原式= 04ab 原式= (1) =a =4

(m)(n)84

(2)
61

= 例 2. (P 例 5)计算下列各式

2a(a(2)>0) 32a.a 分析:在第

(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但 把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,同样,第 (2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算 .

111
= =
6

解 :( 1 ) 原 式 =

231
=

1

=

1252a

(2)原式=

21

小结:运算的结果

不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指 数,也不能既有分母,又含有负指数. 课堂练习: 化简:
5

322

(1)

(2)

aaaa

(3) 归纳小结: 1. 熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简 的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数 指数幂后再计算. - 44 §3 指数函数的概念及图像和性质(共 3 课时) 一. 教学目标: 1.知识与技能 (1)理解指数函数的概念和意义;

1xx

(2)与的图象和性质;

2(3)理解和掌握指数

函数的图象和性质; ( 4 )指数函数底数 a 对图象的影响;

(5)底数 a 对指数函数单调性的影响,并利用它熟练比较几个 指数幂的大小 ( 6)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合 的思想; 2.情感、态度、价值观 (1)让学生了解数学来自生 活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析 问题的能力. 二.重、难点 重点: (1)指数函数的概念和性 质及其应用. (2)指数函数底数 a 对图象的影响; (3)利用 指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点: (1)利用 函数单调性比较指数幂的大小 ( 2)指数函数性质的归纳,概 括及其应用. 三、教法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨 论法. ②教具:多媒体. 四、教学过程 第一课时 讲授新课 指数 函数的定义 一般地,函数(>0 且≠1)叫做指数函

数,其中是自变量,函数的定义域为 R. 提问:在下列的关系式 中 , 哪 些 不 是 指 数 函 数 , 为 什 么 ?

2(1)
(4) (7)

(2) (5)

(3) (6)

(8) (>1,且) xaxa 小

结:根据指数函数的定义来判断说明:因为>0,是任意一个实 数时,是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R. - 45 -

当 意义

时,a 等于

若 先时,对于

x



时,a 无

等等,若<0,如

在实数范围内的函数值不存在. 且 若=1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足



a 为常数,象 y=2且



等,x 形式才能称为指数函数,不符

的形式 ,所以不是指数函数合 我们在学习函数的单调性 的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法 来研 a 究. 先来研究>1 的情况 下面我们通过用计

算机完成以下表格,并且用计算机画出函数的图象

1.00
1/8 4 1 2 42
x

y=2

y

-

-

----------

0x

再研究,0<<1 的情况,用计算机完成 2

以下表格并绘出函数的图象.
x

x

- 46 -

-

----------

0 x



的图象有什么关系?从图中我们看出 与 的图象关于)y 轴对称,通过图象 与 ()y 讨论:的图象关于轴对 利用电脑软件画出的

看出实质是上的 21x 点(-x,y)与 y=(上)点(-x,关于 y)轴 对称 y. 称,所以这两个函数是偶函数,对吗? 函数图象.
8

x
6 4 2 -10-5510

0

-2

-4

练习 p71 1,2 作业 p76 习题 3-3 A 组 2 课后反思:
-6 -8

第二课时 问题:1:从画出的图象中,你能发现函数 的图象与底数间有什么样的规律 上看(>1)与(0<<1)两函数图象的特征.
8

从图
- 47 -

xxy a(a

642

0

-10-5510-2-4-6

-8

问题 2:根据函数的图象研究函数的定

义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. ≠1) ,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系. 0<<1 +

xaay a 问题 3:指数函数(>0 且 aaaa0<<1 >1 >1

图象特征 函数性质

x 向轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R y 图象关于原点和轴不对称 非奇非偶函数
=1 自左向右, 自左

x 函数图象都在轴上方 函数的值域为 R0a 函数图象都过定点(0,1)

向右, 增函数 减函数 图象逐渐上升 图象逐渐下降 在第一象限内的图 在第一象限内的图

xxxxaa>0,>1 >0,<1 象纵坐标都大于 1 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 在第二象
限内的图

xxxxaa<0,<1 <0,>1 象纵坐标都小于 1 象纵坐标都大于 1 5.利用函数的单 xaa[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];[a,b]上,f(x)=a(1)在(>0 f(x f(x) 取 遍 所 有 正 数 当 且 仅 当 x
(2)若

调性,结合图象还可以看出: 且 ≠1 ) 值 域 是

x



xaaf(x af

a;(3)对于指数函数(>0 且≠1) ,总有 axxf(x)f(x)(4)当>1 时,若
a>1 0<a<1

<,则<; 1212x 指数函数的图象和性质 Y=a

- 48 -

2图2



定义域:R

值域: (0,+∞)



点(0,1) 性

当 x>0 时 y>1 当 x>0 时 0<y<1

当 x<0 时

0<y<1 当 x<0 时 y>1 质

是 R 上的增函数 是 R 上的减函数 例题
0.8 0.7

分析 例 1 比较下列各题中两个数的大小:
0.10.1 (2)

(1) 3,324/5 ,(2)

0.75,

0.75 例 2 (1)求使 4x>32 成立的 x 的集合;

已知 a>a 求实数 a 的取值范围. 练习 p73 A 组 4,5 课

1,2 作业 p77 习题 3-3 后 反 思 :

第三课时

(1) 提出问题 x 指数函数 y=a (a>0,a≠1) 底数 a 对

函数图象的影响, 我们通过两个实例来讨论 a>1 和 0<a<1 两种 情况。 (2)动手实践 动手实践一 : - 49 xx

在同一直角坐标系下画出 y=2 和 y=3 的图象, 比较两

个函数的增长快慢 一般地,a>b>1 时, xx(1)当 x<0 时,总有 a<b<1;
xx(2)当

x=0 时,总 a=b=1 有;

xx(3)当

x>0 时,总

a>b>1 有;

(4)指数函数的底数 a 越大,当 x>0 时,其函数 分别画出底数为 (a>0,a≠1),a 对函

值增长越快。 动手实践 二: 0.2,0.3,0.5,2,3,5 的指数函数图象. x 总结 y=a 数图象变化的影响。 结论: 越大;

(1)当 X>0 时,a 越大函数值 (2)当 a>1 函数

当 x<0 时,a 越大函数值越小。 当 x 逐渐增大时,

时指数函数是增函数, 值增大得越来越快; 当 x 逐渐增大时,

当 0<a<1 时指数函数是减函数, 函数值减小得越来越快。 例题分析

例 4 比较下列各题中两个数的大小: 0.61.6-2/3-3/5 (1) 1.8, 0.8 ; (2) (1/3) , 2 .
0.60(1)解

由指数函数性质知 1.8 >1.8 =1, 1.8> 0.8
-2/3

1.6 0

0.8

<0.8=1,所以 0.61.6 知(1/3) >1,
-3/5

(2) 解 由指数函数性质 (1/3) > 2
-x-x 例

2 <1,所以

-2/3-3/5

5 已知

-1<x<0,比较 3 , 0.5 的大小, 并说明理由。 解(法 1) 因为1<x<0 ,所以 0<-x<1。 而有 0<0.5<1 f(x)=x
-x -x -x 而

3>1,因此有 3>1

-x 又

0<0.5 <1,因



3>0.5a(法 2 )设 a=-x>0, 函数
-x -x

当 x>0 时 为增函数 ,而 3>0.5>0,故 f(3)>f(0.5)



3>0.5 小结:

在比较两个指数幂大小时,常利用指数函数和

幂函 数的单调性。相同底数比较指数,相同指数比较底数。 故 常用到中间量“1”。 练习 1,2 作业习题 3-3 B 组 1,2 课后反思:
- 50 -


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