2015年高中数学 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题课课时跟踪检测 新人教A版必修4


2015 年高中数学 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题课课时 跟踪检测 新人教 A 版必修 4
一、选择题 1.如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,向量 a+b+c 可表示为 ( ) A.3e1-2e2 C.3e1+2e2 解析:a+b+c=3e1+2e2. 答案:C 2.已知向量 a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则 b 可能是( A.(4,8) C.(-4,-8) B.(8,4) D.(-4,8) ) B.-3e1-3e2 D.2e1+3e2

解析:∵a∥b,a=(1,-2),∴存在实数 λ ,使 b=λ a,结合选项可知,b 可以是(- 4,8). 答案:D 3.设向量 a=(m,n),b=(s,t),定义两个向量 a,b 之间的运算“⊕”为 a⊕b=(ms,

nt).若向量 p=(1,2),p⊕q=(-3,-4),则向量 q 等于(
A.(-3,2) C.(-3,-2) B.(3,-2) D.(-2,-3)

)

解析:设向量 q=(x,y),p⊕q=(x,2y)=(-3,-4),∴x=-3,y=-2,故向量 q =(-3,-2). 答案:C 4.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q= (b,c-a).若 p∥q,则角 C 的大小为( A. C. π 6 π 2 ) B. D. 2π 3 π 3

解析:∵p=(a+c,b),q=(b,c-a)且 p∥q, ∴(a+c)(c-a)-b·b=0,即 c =a +b , π ∴角 C 的大小为 . 2 答案:C 二、填空题
1
2 2 2

→ 1→ 5.已知点 M(3,-2),N(-5,-1),若MP= MN,则点 P 的坐标是________. 2 → 解析:令 P(x,y),则MP=(x-3,y+2), →

MN=(-8,1).
1 → 1→ ∵MP= MN,即(x-3,y+2)= (-8,1), 2 2

x-3=-4 ? ? ∴? 1 y+2= , ? 2 ?
3? ? 答案:?-1,- ? 2? ?

x=-1, ? ? 即? 3 y=- . ? 2 ?

3? ? ∴P?-1,- ?. 2? ?

→ 6.已知点 A(1,-2),若线段 AB 的中点坐标为(3,1)且AB与向量 a=(1,λ )共线,则 λ =________. → → 解析:由题意得,点 B 的坐标为(3×2-1,1×2+2)=(5,4),则AB=(4,6).又AB与 a 3 =(1,λ )共线,则 4λ -6=0,得 λ = . 2 3 答案: 2 → → → → → 7.若OP1=a,OP2=b,P1P=λ PP2(λ ≠-1),则用 a,b 表示OP为________. → → → → → 解析:∵OP=OP1+P1P=OP1+λ PP2 → → → → → → =OP1+λ (OP2-OP)=OP1+λ OP2-λ OP, → → → ∴(1+λ )OP=OP1+λ OP2, 1 → λ → 1 λ → ∴OP= OP1+ OP2= a+ b. 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 答案: 1 λ a+ b 1+λ 1+λ

三、解答题 8.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直 → → → → 线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,求 m+n 的值. 1 → → → 1 → → 1 解:设AB=a,AC=b,则AO= (AB+AC)= a+ b, 2 2 2 → → → → → → → → → → 又 AO = AM + MO = AM + λ MN = AM + λ ( AN - AM ) = (1 - λ ) AM + λ AN = ?1-λ ?

m

a + b. n
2

λ

1-λ 1 ? ? m =2 根据平面向量基本定理? λ 1 ? ? n =2

消去 λ 整理得 m+n=2.

9.已知△ABC 的两边 AB、AC 的中点分别为 M、N,在 BN 的延长 线上取点 P, 使 NP=BN, 在 CM 的延长线上取点 Q, 使 MQ=CM, 求证:

P、A、Q 三点共线.
→ → → → → → 证明:设AB=a、AC=b.由题意可知,AP=AB+BP=a+2 BN → → =a+2(AN-AB)

?1→ ? =a+2? AC-a?=a+b-2a=b-a; ?2 ?


AQ=AC+CQ=b+2CM=b+2(AM-AC)

→ →







?1→ ? =b+2? AB-b?=b+a-2b=a-b. ?2 ?
→ → → → 显然,AP=-AQ,所以AP,AQ共线. → → 又因为AP,AQ有公共起点 A. 故 P、A、Q 三点共线. → → → 10.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP=OA+tAB(t∈R),求: (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在二、四象限角平分线上?点 P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → → → 解:(1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t), 2 若点 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,t=- ; 3 若点 P 在二、四象限角平分线上,则 1 1+3t=-(2+3t),t=- ; 2
?1+3t<0, ? 若点 P 在第二象限,则需? ?2+3t>0 ?

2 1 ? - <t<- . 3 3

→ → → → (2)OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t),若四边形 OABP 为平行四边形,则OA=PB.
?3-3t=1, ? ? ? ?3-3t=2

无解,故四边形 OABP 不能成为平行四边形.

3


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