高三总复习解析几何专题(师)

140920 解析几何专题与讲义
一、选择填空题 1、 “ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 2a ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 ? 0 平行”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2、已知双曲线的渐近线为 y ? ? 3x ,焦点坐标为(-4,0) , (4,0) ,则双曲线方程为(
2 2 A. x ? y ? 1 2 2 B. x ? y ? 1 2 2 C. x ? y ? 1



8

24

12

4

24

8

D.

x2 y2 ? ?1 4 12

3、直线 x+y-1=0 被圆(x+1)2+y2=3 截得的弦长等于( 4、圆心在曲线 y ?
2

) A.

2

B. 2

C.2 2 )

D. 4

3 ? x ? 0 ? 上,且与直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为( x
2

A. ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? 9

? ?

3? 2?

B. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? ?
2 2

2 2 ? 18 ? ? 16 ? ? C. ? x ?1? ? ? y ? 3? ? ? ? ?5? ?5?

2

2

D. x ? 3 ? y ? 3 ? 9 ( )

?

? ?
2

?

2

2 2 5.已知方程 x ? y ? 1(k ? R) 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是

k ?1

3? k

A. k ? 1或k ? 3

B. 1 ? k ? 3
2

C. k ? 1

D. k ? 3

6.设 F1、F2 分别是椭圆 E : x ?

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 与 E 相交于 A、B 两点,且 b2
)A.

AF2 , AB , BF2 成等差数列,则 AB 的长为(

2 3

B.1

C.

4 3

D.

5 3

x2 y2 7、已知 F 的椭圆 ( ? 1,0), F (1,0) ? ? 1 的两个焦点,若椭圆上一点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 4 ,则椭圆的离 1 2 a 2 b2

心率 e ?
2 2 A 是椭圆上的一点, AF2 ? AF O到 8、设椭圆 x 2 + y2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F2 , 1 ,原点 a b

直线 AF1 的距离为 1 OF1 ,则椭圆的离心率为(
2



A、 1

3

B、 3 - 1

C、

2 2

D、 2 - 1

9.点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点 A 到抛物线 a b
)A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于( 10、过双曲线

x2 y 2 a2 2 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) x ? y ? F ( ? c ,0)( c ? 0) 的左焦点 ,作圆 的切线,切点为 E,延长 a 2 b2 4
1 OF ? OP ,则双曲线的离心率为( 2

FE 交曲线右支于点 P,若 OE ?

?

?



A. 10

B.

10 5

C.

10 2

D. 2

解析几何解答题的基本步骤
解析几何在高考中经常是两小题一大题: 两小题经常是常规求值类型, 一大题中的第一小题也经常是常规求 值问题,故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理,常按照以 下七步骤: 一、设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别) 二、设交点坐标; (提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 三、则联立方程组,消元得到关键方程; (提醒:一定要考虑二次项系数与△>0) 四、则韦达定理; (提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 五、根据条件转化;常有以下类型: ①“以弦 AB 为直径的圆过点 0” ? OA ? OB ?

K1 ? K2 ? ?1 (提醒:需讨论 K 是否存在)

? OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
②“点在圆内、圆上、圆外问题” ? “直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于 0 问 题” ? x1 x2 ? y1 y2 >0; ③“等角、角平分、角互补问题” ? 斜率关系( K1 ? K 2

? 0 或 K1 ? K 2 ) ;

④“共线问题” (如: AQ ? ?QB ? 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法) ; (如:A、O、B 三点共线 ? 直线 OA 与 OB 斜率相等) ; ⑤“点、线对称问题” ? 坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题” ? 转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择) ; 六、则化简与计算; 七、则细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑; ②抛物线问题中二次项系数是否会出现 0.

二、解答题: 考点一、曲线(轨迹)方程的求法 常见的求轨迹方程的方法: (1)单动点的轨迹问题——直接法(五步曲)+ 待定系数法(定义法) ; (2)双动点的轨迹问题——代入法; (3)多动点的轨迹问题——参数法 + 交轨法。 例 1、设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )是椭圆

x y x y y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的两点,满足 ( 1 , 1 ) ? ( 2 , 2 ) ? 0 ,椭圆的离 2 b a b a x b
2

心率 e ?

3 , 短轴长为 2,0 为坐标原点. 2

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解析:本例(1)通过 e ?

3 , 2b ? 2 ,及 a, b, c 之间的关系可得椭圆的方程; (2)从方程入手,通过直 2

线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理; (3)要注意特殊与一般的关系,分直线的斜率存在与不存在 讨论。 答案: (1) 2b ? 2.b ? 1, e ?

c a 2 ? b2 3 ? ? ? a ? 2.e ? 3 a a 2

椭圆的方程为

y2 ? x2 ? 1 4

(2)设 AB 的方程为 y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? 2 3k ?1 ? ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? 2 由 ? y2 2 k ?4 k ?4 ? ? x ?1 ?4
由已知

0? ?

x1 x2 y1 y 2 1 k2 3k 3 ? ? x x ? ( kx ? 3 )( kx ? 3 ) ? ( 1 ? ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 1 2 2 2 4 4 4 4 b a

k2 ? 4 1 3k ? 2 3k 3 (? 2 )? ? 2 ? , 解得k ? ? 2 4 4 k ?4 k ?4 4
(3)当 A 为顶点时,B 必为顶点.S△AOB=1 当 A,B 不为顶点时,设 AB 的方程为 y=kx+b

? y ? kx ? b ? 2kb ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4
x1 x 2 ?
x1 x 2 ?

b2 ? 4 k2 ? 4
y1 y 2 (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? 0 ? x1 x 2 ? ? 0代入整理得: 4 4

1 1 | b | 4k 2 ? 4b 2 ? 16 2b 2 ? k 2 ? 4 S ? ? | b || x1 ? x2 |? | b | ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 |? 2 2 k2 ? 4

4k 2 ? ?1 2|b|
3

所以三角形的面积为定值. 点评:本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质,二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及 运用综合知识解决问题的能力。 练习 1、如图,ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD ? AB,Q 为 线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持 |PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程;(II) 过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M 、 N. 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,

EM ? ?1 MB , EN ? ?2 NB 证明: ?1 ? ?2 为定值.
【解析】 (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点, 建立平面直角坐标系,∵动点 P 在曲线 C 上运动 且保持|PA|+|PB|的值不变.且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 22 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. 3 分 ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴

a= 5 ,c=2,b=1? 4 分∴曲线 C 的方程为

x2 2 +y =15 分 5

【法 1】 (Ⅱ) :设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E(0, y0 ) , 易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ EM ? ?1 MB ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) . 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (
2 2

∴ x1 ?

y0 2?1 , y1 ? ? 7分 1 ? ?1 1 ? ?1

y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1, 5 1 ? ?1 1 ? ?1

去分母整理,得 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0 ???? 9 分 同理,由 EN ? ?2 NB 可得: ?2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 ? 0 ?? 10 分
2 2



?1 , ?2 是方程 x 2 ? 10x ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 的两个根 11 分∴ ?1 ? ?2 ? ?10 ??? 12 分

【法 2】 (Ⅱ) :设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E(0, y0 ) , 易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ?6 分
2 2 2 2 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得 (1 ? 5k ) x ? 20k x ? 20k ? 5 ? 0

∴ x1 ? x 2 ?

20k 2 20k 2 ? 5 x x ? , ?? 8 分 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

又 ∵ EM ? ?1 MB , 则 ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) .∴ ?1 ?
4

x1 , 2 ? x1

同理,由 EN ? ?2 NB ,∴ ?2 ? ∴ ?1 ? ?2 ?

x2 ???10 分 2 ? x2

x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ? ? ?10 ????????12 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2

考点二、圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线中的基本元素:长短轴,焦距,渐近线,离心率等,在自身多处综合就会演变成中档题,要求熟练 掌握其关系,灵活运用图形帮助分析。圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试 的重点内容,要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心. 例 2、如图,F 为双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 P 为双曲线 C 右支上一点,且位于 x 轴上方,M a 2 b2

为左准线上一点, O 为坐标原点 已知四边形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ) 当 ? ? 1 时, 经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、
M

y
P

B







AB ? 12 ,求此时的双曲线方程
分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应 义。 解:∵四边形 OFPM 是 又e ? ,∴ | OF |?| PM |? c ,作双曲线的右准线交 PM 于 H,则 | PM |?| PH | ?2

o

F

x

用 第 二定

a2 , c

| PF | ? | OF | ?c ?c 2 ?e2 2 ? ? ? ? , e ? ?e ? 2 ? 0 a2 a 2 c 2 ? 2a 2 e 2 ? 2 | PH | c?2 c?2 c c

2 2 (Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b ? 3a ,双曲线为

x2 y2 ? ? 1 四边形 OFPM 是菱形,所以直线 4a 2 3a 2
2 2

OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方程得: 9 x ? 48ax ? 60a ? 0 , 又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得:12 ? 2 (

9 48a 2 60a 2 2 ,解得 a ? ,则 ) ?4 4 9 9

b2 ?

x2 y 2 27 ? ? 1 为所求 ,所以 4 9 27 4

点评:本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。

考点三、 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解. 例 3、设 A, B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准 a 2 b2

线 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点, 若直线 AP, BP 分别与椭圆相
5

交于异于 A, B 的点 M 、N ,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内

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∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角,故点 B 在以 MN 为直径的圆内 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0)
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设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) ,依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半 2 2

径的差 BQ -

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 2 2 2 MN =( 1 -2) +( 1 ) - [(x1-x2) +(y1-y2) ] 4 4 2 2

=(x1-2) (x2-2)+y1y1 ○ 3 又直线 AP 的方程为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上,∴

6 y1 6 y2 ( 3 x2 ? 2) y1 ,即 y2= 4 ? ○ x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2
5 ○ 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内

x y 3 2 2 又点 M 在椭圆上,则 1 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 4 3
于是将○ 4 、○ 5 代入○ 3 ,化简后可得 BQ -
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2

2

2

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 4 4

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考点四、 直线与圆锥曲线位置关系问题 (1)求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特 别注意数形结合的办法。 (2)注意韦达定理的应用。 弦长公式:斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦 AB,若 A、B 两点的坐标分别是 A(x1,y1),B(x2,y2)则

AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? k 2 x1 ? x 2
6

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

? 1? k2

? a

(3)注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。 (4)有关中点弦问题 <1>已知直线与圆锥曲线方程,求弦的中点及与中点有关的问题,常用韦达定理。 有关弦的中点轨迹,中点弦所在直线方程,中点坐标问题,有时采用“差分法”可简化运算。 例 4 、已知双曲线 C : <2>

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F : (?2, 0),F : (2, 0), 点P (3, 7)在曲线 C 上 . a 2 b2

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, 若△OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程

x2 y2 ? 1 (0 <a2<4) 解:(Ⅰ)依题意,由 a +b =4,得双曲线方程为 2 ? ,将点(3, 7 )代入上式,得 2 a 4?a
2 2

9 7 x2 y2 2 2 ? ? 1 ? ? 1. . 解得 a =18 (舍去)或 a = 2 ,故所求双曲线方程为 a2 4 ? a2 2 2
(Ⅱ)解:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 2 2 得(1-k )x -4kx-6=0.∵直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,
2 ? ?k ? ?1, ?1 ? k ? 0, ? ∴? ∴k∈(- 3,?1 )∪(1, 3 ). ? 2 2 ? ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) >0, ?? 3<k< 3,

设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=
2 2 |EF|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ?

4k 6 , x1 x 2 ? , 于是 2 1? k 1? k 2

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
?

= 1? k

2

?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k 2

2 2 3?k2 |1? k 2 |

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k 2
?

,

∴SΔ OEF=

1 1 2 d ? | EF |? ? 2 2 1? k 2

1? k 2

?

2 2 3?k2 2 2 3?k2 ? . |1? k 2 | |1? k 2 |

若 SΔ OEF= 2 2 ,即

2 2 3?k2 ? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 k=± 2 , |1? k 2 |

满足②.故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y= 2 x ? 2 和 y ? ? 2 x ? 2.

考点五、圆锥曲线综合应用 平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征,所以这两者多有结合,在它们的知识点交汇处命题,也 是高考命题的一大亮点.直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新、经久不衰的一个考查重点,另外,圆锥曲
7

线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题等综合性问题也是高考的常考题型.解析几何题一般 来说计算量较大且有一定的技巧性,需要“精打细算”,近几年解析几何问题的难度有所降低,但仍是一个综合 性较强的问题,对考生的意志品质和数学机智都是一种考验,是高考试题中区分度较大的一个题目,有可能作为 今年高考的一个压轴题出现. 圆锥曲线的有关最值问题:圆锥曲线中的有关最值问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论 具有明显的几何意义, 一般可用图形性质来解决。 利用圆锥曲线的定义, 把到焦点的距离转化为到准线的距离<2> 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式) 求最值。 圆锥曲线的有关范围问题:设法得到不等式,通过解不等式求出范围,即: “求范围,找不等式” 。或者表示为 另一个变量的函数,利用求函数的值域求出范围; 圆锥曲线中的存在性问题:存在性问题,其一般解法是先假设命题存在,用待定系数法设出所求的曲线方程 或点的坐标,再根据合理的推理,若能推出题设中的系数,则存在性成立,否则,不成立. 例 5、已知椭圆 C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过 M(0, 1 ),N (1, ) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,(Ⅱ)直线

2 2

l : 3x ? 3 y ? 1 ? 0 交椭圆 C 与 A、B 两点,求证: MA ? MB ? MA ? MB
【解析】设椭圆 C 的方程为 ax2 ? by2 ? 1 由椭圆 C 过点 M(0, 1 ),N (1, ) 得:

2 2

1 1 ? ? x2 ?a ? b ?a ? ? y2 ?1 解得 椭圆 C 的方程为 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? b ?1 ? b ?1
?3 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? 2 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 消去 y 整理得 27x ? 12x ? 16 ? 0 ,由韦达定理得,则 2 ? y ? 1 ? ? 2

4 ? ? x1 ? x2 ? 9 由 MA ? MB ? MA ? MB 两边平方整理可得 MA ? MB ? 0 ? 16 ? x1 x2 ? ? 27 ?
只需证明 MA ? MB ? 0 , MA ? MB ? ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) (x1, y1 ?1 ) ( ? x2 , y2 ?1 )

1 1 1 1 ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 而 y1 y 2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 9 1 1 2 y1 ? y 2 ? x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x 2 ? 3 3 3 4 16 32 16 16 ? ?0 ?- ? MA ? MB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 27 27 9 3 9
故 MA ? MB ? MA ? MB 恒成立 三、课后巩固练习: 1.已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA、PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线, A、 B 是切点,
2 2

C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是(

). A. 2
8

B. 2

C. 2 2

D. 4

2. 设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A, B, C 为该抛物线上三点, 若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则| F A| ? |F B | |? F C| ( ) A.9 B.6 C.4 D.3

=

3.已知抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1 ,P 到直线 l 的距离为 d2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为( C. 5 2 ? 2
2

)A. 5 2 ? 2
2

B



5 2 ?1 2

D. 5 2 ? 1
2

4、 在直角坐标平面中, △ABC 的两个顶点为 A (0, -1) , B (0, 1) 平面内两点 G、 M 同时满足① GA ? GB ? GC ? 0 , ② | MA | = | MB | = | MC | ③ GM ∥ AB (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程 (2) 设 P、 Q、 R、 N 都在曲线 E 上 , 定点 F 的坐标为 ( 2 , 0) , 已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF ·RF = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值. 解析:本例(1)要熟悉用向量的方式表达点特征; (2)要把握好直线与椭圆的位置关系,弦长公式,灵活的运 算技巧是解决好本题的关键。 答案: (1)设 C ( x , y ), △ABC 的重心 ,

GA ? GB ? 2GO ,由①知 GC ? ?2GO ,? G 为
由②知 M 是△ABC 的外心,? M 在 x 轴上

?

G(

x y , ) 3 3

由③知 M(

x ,0) , 3
得 ( ) ?1 ?
2

由 | MC | ? | MA |

x 3

x ( x ? )2 ? y 2 3

x2 ? y 2 ? 1(x≠0) 化简整理得: 。 3 x2 ? y 2 ? 1的右焦点 (2)F( 2 ,0 )恰为 3
设 PQ 的斜率为 k≠0 且 k≠±

2 ,则直线 PQ 的方程为 y = k ( x - 2 ) 2

由?

? y ? k ( x ? 2) ? ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 2 2 ? ?x ? 3y ? 3 ? 0

6 2k 2 设 P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = , 3k 2 ? 1
则| PQ | = 1 ? k 2 · =

6k 2 ? 3 x1·x2 = 2 3k ? 1

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

1? k 2 · (

6 2k 2 2 6k 2 ? 3 ) ? 4 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
9

=

2 3(k 2 ? 1) 3k 2 ? 1
1 2 3(k 2 ? 1) 得 | RN | = k 3? k2

RN⊥PQ,把 k 换成 ?

1 ? S = | PQ | · | RN | 2
=

6(k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)(k 2 ? 3)
1 8 ) ? 10 ? 2 k 2?S

=2?

8 ) 1 2 3(k ? 2 ) ? 10 k

? 3(k 2 ? k2 ?

1 8 ≥2 , ? ≥16 2 k 2?S

3 ? ≤ S < 2 , (当 k = ±1 时取等号) 2
又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2 综上可得

3 ≤ S ≤ 2 2 3 2

? Smax = 2 , Smin =

点评:本题考查了向量的有关知识,椭圆与直线的基本关系,二次方程的根与系数的关系及不等式,转化的基 本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

5、已知椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,两焦点之间的距离为 4。 (I)求椭圆的标准方程; (II) 2 2 a b

过椭圆的右顶点作直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A、B 两点, (1)求证:OA⊥OB; (2)设 OA、OB 分别与椭圆相交 于点 D、E,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足为 M,证明|OM|为定值。

?2c ? 4, ?a ? 4 x2 y 2 ? 2 ? ? 1 …4 分 【解析】 (Ⅰ )由 ? c 1 得 ? ,故 b ? 12 .所以,所求椭圆的标准方程为 16 12 ? , ?c ? 2 ? ?a 2

(2)设 D?x3 , y3 ? 、
10

x2 y 2 ? 1 ,得 E?x4 , y4 ? ,直线 DE 的方程为 x ? ty ? ? ,代入 ? 16 12

?3t

2

? 4 y 2 ? 6t?y ? 3?2 ? 48 ? 0 .于是 y3 ? y4 ? ?

?

6t? 3?2 ? 48 , y y ? . 3 4 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4

从而 x3 x4 ? ?ty3 ? ? ??ty 4 ? ? ? ?

4?2 ? 48t 2 ? OD ? OE , 代入, 整理得 7?2 ? 48 t 2 ? 1 . ∴ ? x3 x4 ? y3 y4 ? 0 . 3t 2 ? 4

?

?

原点到直线 DE 的距离 d ?

?
1? t 2

?

4 21 为定值……(13 分) 7

x2 y 2 6 6、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积 a b 3


5 2 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.①若线段 AB 中点 3
1 7 ,求斜率 k 的值;②已知点 M ( ? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 2 3

的横坐标为 ?

【解析】 (Ⅰ)因为

x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c2 , ? ??2 分 2 a b a 3

5 x2 y 2 1 5 2 2 2 ? ? 1 ??4 分 。解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? 5 3 5 2 3 3
(Ⅱ) (1)将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y 2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ??6 分 5 5 3
2

6k 2 ??7 分 ? ? 36k ? 4(3k ? 1)(3k ? 5) ? 48k ? 20 ? 0 , x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1
4 2 2

因为 AB 中点的横坐标为 ?

1 6k 2 1 3 ? ? ,解得 k ? ? ,所以 ? 2 ????9 分 2 3k ? 1 2 3

(2)由(1)知 x1 ? x2 ? ? 所以 MA ? MB ? ( x1 ?

6k 2 3k 2 ? 5 x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ?????11 分 3 3 3 3 7 7 7 49 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k 2 ?12 分 3 3 3 9 4 3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 2 2 ? ( ? k )( ? ) ? ? k ? ? ? k 2 ? ?14 分 2 2 2 9 3k ? 1 3 3k ? 1 9 3k ? 1 9
11

? (1 ? k 2 )

12


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