高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 导数出手求切线不再愁素材 新人教A版2-2 精

导数出手,求切线不再愁 由导数的几何意义可知,函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ? ( x0 ) 就是曲线 y = f ( x) 在点 P( x0,f ( x0 )) 处的切线的斜率,此时切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .利用上述结论,可以 速求曲线的各种类型切线的方程,下面举例说明. 类型一:已知切点,求曲线的切线方程 例1 , ? 1) 处的切线方程为 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1 , ? 1) 处斜率 k ? f ?(1) ? ?3 ,故所求的切线方程为 解析:由 f ?( x) ? 3x2 ? 6x ,则在点 (1 y ? (?1) ? ?3( x ? 1) ,即 y ? ?3x ? 2 .应填 y ? ?3x ? 2 . 点评:此类题型较为简单,只须求出曲线的导数 f ?( x) ,并代入点斜式方程即可. 类型二:已知斜率,求曲线的切线方程 例 2 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,求 l 的方程. 4 解析:∵直线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,∴直线 l 的斜率 k = 4 . 设 P( x0,y0 ) 为切点,则切点处的导数值为 y?|x? x0 ? 4x03 ? 4 . ∴ x0 ? 1 .于是得到切点 P (1,1) . ∴切线 l 的方程为 y - 1 = 4( x - 1),即4 x - y - 3 = 0 . 点评:此类题型可利用斜率 k ? f ?( x0 )求出切点 P( x0,y0 ) ,再用点斜式方程加以解决. 类型三:已知过曲线上一点,求切线方程 例3 , ? 1) 的切线方程. 求过曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 上的点 M (1 解析:由 y ? x3 ? 3x2 ? 5 ,知 y? ? 3x2 ? 6 x . 设切点为 P( x0,y0 ) ,则切线的斜率为 y?|x? x0 ? 3x02 ? 6x0 . ∴曲线在点 P 处的切线方程为 y ? y0 ? (3x02 ? 6x0 )( x ? x0 ) . y ? ( x03 ? 3x02 ? 5) ? (3x02 ? 6x0 )( x ? x0 ) . , ? 1) ,于是有 ?1 ? ( x03 ? 3x02 ? 5) ? (3x02 ? 6x0 )(1 ? x0 ) . 又切线过点 (1 整理得 x03 ? 3x02 ? 2 ? 0,即( x0 ? 1)2 ( x0 ? 2) ? 0 . 1 ∴ x0 ? 1 ,或 x0 ? ?2 . 故所求切线方程为 9 x ? y ? 10 ? 0 ,或 y=-1. 点评: (1)要特别注意“在点M处的切线”与“过点M的切线”的区别,前者说明点M就 是切点,而后者仅能说明曲线的切线经过点M,M 也可能不是切点,两者不能混淆. (2)求过曲线上一点M的切线方程的策略是: 先设出切点 P( x0,f ( x0 )) , 再将点M的坐标 代入含参数 x0 的切线方程,解出 x0 ,即可求出切线方程. 类型四:已知过曲线外一点,求切线方程 例4 16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程. 已知函数 y ? x3 ? 3x ,过点 A(0, 16) 不在曲线上. 解析:曲线方程为 y ? x3 ? 3x ,点 A(0, 设切点为 M ( x0,y0 ) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x03 ? 3x0 . ∵ f ?( x0 ) ? 3( x02 ? 1) ,故切线的方程为 y ? y0 ? 3( x02 ? 1)( x ? x0 ) . 16) 在切线上,则有 16 ? ( x03 ? 3x0 ) ? 3( x02 ? 1)(0 ? x0 ) . 点 A(0, 化简得 x03 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 . ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 . ∴切点为 M (?2, 点评: 此类题的求解策略是,先判断点 A 是否在曲线上,若点 A 在曲线上,化为类型一 或类型三;若点 A 不在曲线上,,则应先设出切点并求之,便可得切线方程. 由上述例子可知,导数法求切线方程具有思路简单清晰,步骤简洁流畅等优点,可谓是 解决切线问题的一条捷径,建议熟练掌握! 2

相关文档

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数出手,求切线不再愁素材新人教A版选修2-2解析
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数出手,求切线不再愁素材新人教A版选修2-2讲解
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数出手,求切线不再愁素材新人教A版选修2-2剖析
高中数学 第一章 导数及其应用 1_1 变化率与导数 导数出手,求切线不再愁素材 新人教A版
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 导数概念及其运算教材解读素材 新人教A版2-2 精
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 导数概念及应用考点例析素材 新人教A版2-2 精
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的作用素材新人教A版选修2_2
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的概念的背景素材新人教A版选修2_2
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数出手,求切线不再愁素材新人教A版选修2-2课件
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数出手,求切线不再愁素材新人教A版选修2-2教案
电脑版