高中数学三角函数复习专题(1)

高中数学三角函数复习专题

一、知识点整理:

1、角的概念的推广: 正负,范围,象限角,坐标轴上的角;
2、角的集合的表示:
? ? ①终边为一射线的角的集合: ? ?x x ? 2k? ??, k ?Z?= ? | ? ? ? ? k ?360 , k ? Z

? ? ②终边为一直线的角的集合: ? x x ? k? ??, k ? Z ;

? ? ③两射线介定的区域上的角的集合: ? x 2k? ? ? ? x ? 2k? ??, k ?Z

? ? ④两直线介定的区域上的角的集合: ? x k? ? ? ? x ? k? ??, k ? Z ;
3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。

(2) 扇形的面积公式: S ? 1 lR 2

R 为圆弧的半径, l 为弧长。

(3) 三角函数定义:角? 中边上任意一点 P 为 (x, y) ,设| OP |? r 则:

sin ? ? y , cos? ? x , tan? ? y r= a2 ? b2

r

r

x

反过来,角? 的终边上到原点的距离为 r 的点 P 的坐标可写为:P?r cos?, r sin? ? 比

如:公式 cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin? sin ? 的证明

(4)特殊角的三角函数值

α

0

?

?

?

?

?

3?

2?

6

4

3

2

2

sinα 0

1

2

2

31

0

-1

0

2

2

cosα 1

3

21

0

-1 0

1

2

2

2

tanα 0

3

1

3

3

不存 在

0

不存 在

0

(5)三角函数符号规律:第一象限全正,二正三切四余弦。

(6)三角函数线:(判断正负、比较大小,解方程或不等式等)
如图,角? 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,
垂足为 M,则
过点 A(1,0)作 x 轴的切线,交角终边 OP 于点 T,则

y

T

P

A
。o M x

(7)同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan acota ?1

②商数关系: tan a ? sin a cosa

③平方关系: sin2 a ? cos2 a ? 1

(8)诱导公试

sin cos tan

三角函数值等于? 的同名三角函数值,前面

-?

- sin? + cos? - tan?

加上一个把? 看作锐角时,原三角函数值的

? -?

+ sin? - cos? - tan?

符号;即:函数名不变,符号看象限

? +? - sin? - cos? + tan?

2? -? - sin? + cos? - tan? 2k? +? + sin? + cos? + tan?

? ?? 2 ? ?? 2 3? ? ? 2 3? ? ? 2

sin con tan + cos? + sin? + cot? + cos? - sin? - cot? - cos? - sin? + cot? - cos? + sin? - cot?

三角函数值等于? 的异名三角函数值,前面 加上一个把? 看作锐角时,原三角函数值的
符号; 即:函数名改变,符号看象限:

比如

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

cos

? ??

? 4

?

x

? ??

?

cos

? ??

x

?

? 4

? ??

cos

? ??

x

?

? 4

? ??

?

sin

? ??

? 4

?

x

? ??

4.两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:
cos(? ? ? ) ? cosa cos? ? sin a sin ?
tan a(a ? ? ) ? tan a ? tan ? 1 ? tan a tan ?

s i na(? ? ) ? s i nac o ?s ? c o as s i n?
注:公.式.的.逆.用.或.者.变.形.

(2)二倍角公式:

sin 2a ? 2sin acosa

c o 2sa ? c o 2sa ? s i n2 a ? 1? 2s i n2 a ? 2c o 2sa ?1

tan

2a

?

1

2 ?

tan a tan2 a

(3)几个派生公式:

①辅助角公式: asin x ? bcosx ? a2 ? b2 sin(x ??) ? a2 ? b2 cos(x ??)

例如:sinα ±cosα =

2 sin ??? ? ? ?? = ? 4?

2

cos ??? ?

?

? 4

?? ?



sinα ± 3 cosα =2sin ??? ? ? ?? =2cos ??? ? ? ?? 等.

? 3?

? 3?

②降次公式: (sin ? ? cos? )2 ? 1? sin 2?

cos2 ? ? 1? cos 2? ,sin2 ? ? 1? cos 2?

2

2

③ tan? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1? tan? ? tan ? )

5、三角函数的图像和性质:(其中 k ? z )

三角函数

y ? sin x

定义域 值域
最小正周期 奇偶性
单调性
对称性

(-∞,+∞)
[-1,1]
T ? 2?


[2k? ? ? ,2k? ? ? ]

2

2

单调递增

[2k? ? ? ,2k? ? 3? ]

2

2

单调递减

x ? k? ? ? 2

(k? ,0)

y ? cosx
(-∞,+∞) [-1,1]
T ? 2?


y ? tan x
x ? k? ? ? 2
(-∞,+∞)
T ??


[(2k ?1)? ,2k? ] 单调递增
[(2k? , (2k ?1)? ] 单调递减

(k? ? ? ,k? ? ? )

2

2

单调递增

x ? k? (k? ? ? ,0)
2

( k? ,0) 2

零值点

x ? k?

x ? k? ? ? 2

x ? k?

最值点

x ? k? ? ? 2
ymax ? 1
x ? k? ? ? 2
ymin ? ?1

x ? 2k? ,

ymax ? 1 ;



x ? (2k ?1)? ,
ymin ? ?1

6、.函数 y ? Asin(?x ? ?) 的图像与性质:

(本节知识考察一般能化成形如 y ? Asin(?x ? ?) 图像及性质)

(1) 函数 y ? Asin(?x ? ?) 和 y ? Acos(?x ? ?) 的周期都是T ? 2? ?

(2) 函数 y ? Atan(?x ? ?) 和 y ? Acot(?x ? ?) 的周期都是T ? ? ?

(3) 五点法作 y ? Asin(?x ? ?) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、? 、? 、 3? 、2? 来求相应 x

2

2

的值以及对应的 y 值再描点作图。

(4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总

是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。(附上函

数平移伸缩变换):

函数的平移变换:

① y ? f (x) ? y ? f (x ? a)(a ? 0) 将 y ? f (x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位

(左加右减)

② y ? f (x) ? y ? f (x) ? b(b ? 0) 将 y ? f (x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位

(上加下减) 函数的伸缩变换:

① y ? f (x) ? y ? f (wx)(w ? 0) 将 y ? f (x) 图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的 1 倍 w
( w ? 1缩短, 0 ? w ? 1伸长)

② y ? f (x) ? y ? Af (x)(A ? 0) 将 y ? f (x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A 倍
( A ? 1伸长, 0 ? A ? 1缩短)
函数的对称变换:

① y ? f (x) ? y ? f (?x) ) 将 y ? f (x) 图像沿 y 轴翻折 180°(整体翻折)

(对三角函数来说:图像关于 y 轴对称)

② y ? f (x) ? y ? ? f (x) 将 y ? f (x) 图像沿 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称)
③ y ? f (x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f (x) 图像在 y 轴右侧保留,并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧(偶
函数局部翻折)

④ y ? f (x) ? y ? f (x) 保留 y ? f (x) 在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去(局部翻
动)

7、解三角形

?1? 正弦定理: a ? b ? c ? 2R ,
sin A sin B sin C

?

2

?

余弦定理:

???ba22 ??c2

? ? ?

b2 a2
a2

? ? ?

c2 c2
b2

? ? ?

2bc cos 2ac cos 2ab cos

A, B, C.

?

? ?cos ???cos ? ?cos

A B C

? ? ?

b2 a2 a2

? c2 ? a2 2bc ? c2 ? b2 2ac ? b2 ? c2

, , .

??

2ab

?3? 推论:正余弦定理的边角互换功能
① a ? 2Rsin A , b ? 2Rsin B , c ? 2RsinC

② sin A ? a , sin B ? b , sin C ? c

2R

2R

2R

③ a?b?c=

a?b?c

= 2R

sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

④ a : b : c ? sin A: sin B : sin C

(4)面积公式:S= 1 ab*sinC= 1 bc*sinA= 1 ca*sinB

2

2

2

二、练习题 1、 sin330? 等于

()

A. ? 3 2

B. ? 1 2

2、若 sin? ? 0 且 tan? ? 0是,则? 是

A.第一象限角 B. 第二象限角

C. 1 2

D. 3 2

()

C. 第三象限角 D. 第四象限角

3、如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长为

()

A.sin10.5

B.sin0.5

C.2sin0.5

D.tan0.5

4、在△ABC 中,“A>30°”是“sinA>12”的 A.仅充分条件 B.仅必要条件 C.充要条件

() D.既不充分也不必要条件

5、角? 的终边过点(- b,4),且cos? ? ? 3 ,则b 的值( ) 5

A、3 B、-3

C、 ? 3

D、5

6、已知 ?

??

??

? , sin(

??) ?

? 3 ,则

tan(?-?)的值为(



2

2

5

A. 3 4

B. 4 3

C. ? 3 4

7、 y ? (sin x ? cos x)2 ?1是

D. ? 4 3
()

A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

8、若动直线 x ? a 与函数 f (x) ? sin x 和 g(x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点,则

MN 的最大值为

()

A.1

B. 2

C. 3

D.2

9、为得到函数

y

?

cos

? ??

x

?

π 3

? ??

的图象,只需将函数

y

?

sin

x

的图像(



A.向左平移 π 个长度单位 6

B.向右平移 π 个长度单位 6

C.向左平移 5π 个长度单位 6

D.向右平移 5π 个长度单位 6

10、正弦型函数在一个周期内的图象如图所示,则该函数的表达式是(

)

?

?

y

A. y = 2sin(x? )

B. y = 2sin(x + )

2

4

4

? π o 3?

x

4

4

C. y = 2sin ( 2x ? ? ) 8

? D. y = 2sin (2x + )
8

11、函数 y ? ? cos(x ? ? ) 的单调递增区间是( ) 23

A.

???2k?

?

4 3

?

,2k?

?

2 3

?

???(k

?

Z)

B.

???4k?

?

4 3

? ,4k?

?

2 3

?

???(k

?

Z

)

C.

???2k?

?

2 3

?

,2k?

?

8 3

?

???(k

?

Z)

D.

???4k?

?

2 3

?

,4k?

?

8? 3

???(k

?

Z

)

12、在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 A ? ? , a ? 3,b ? 1 ,则 c ? ( ) 3

A.1

B.2

C. 3 ? 1

D. 3

13、在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为( )

A. 3 2 2

B. 3 3 2

C. 3

D. 3 3

2

14、 在 △ABC 中,已知 sin2 B ? sin2 C ? sin2 A ? 3 sin Asin C ,则 ?B 的大小为 ( )

A. 150? B. 30? C. 120?

D. 60?

15、?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,

则 cos B ?

(

)

A. 1 4

B. 3 4

C. 2 4

D. 2 3

16、若 sin? ? cos? ? 2 ,则 sin? cos? ?

.

17、已知函数 f (x) 是周期为 6 的奇函数,且 f (?1) ? 1 ,则 f (?5) ?



18、在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆

x2 y2

sinA+sinC

25+ 9 =1 上,则 sinB =________.

19、函数 y ? 1? 2 cos x ? lg(2sin x ? 3) 的定义域 ___________

20、已知 f (x) ? sin n? (n ? N *),则f(1)? f(2)? f (3) ? f (4)...? f (100) ? _________ 4

21、关于函数

π f(x)=4sin(2x+3

)

(x∈R),其中正确的命题序号是___________.

(1)y=f(x )的表达式可改写为

π y=4cos(2x-6

);

(2)y=f(x )是以 2π 为最小正周期的周期函数;

(3)y=f(x ) 的图象关于点(-π6 ,0)对称;

(4)y=f(x )

的图象关于直线

π x=-6

对称;

22、给出下列四个命题,则其中正确命题的序号为 _________

(1)存在一个△ABC,使得 sinA+cosA=1

(2)在△ABC 中,A>B ? sinA>sinB
(3)终边在 y 轴上的角的集合是{? | ? ? k? , k ? Z } 2
(4)在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象与函数 y=x 的图象有三个公共点
(5)函数 y ? sin(x ? ? ) 在[0,? ]上是减函数
2

23、在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且满足 cos A ? 2 5 , 25
AB ? AC ? 3 . (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ?1,求 a 的值.

24、已知函数 f (x) =2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ?1(x ? R) .

(Ⅰ)求函数

f

(x)

的最小正周期及在区间

???0,

? 2

? ??

上的最大值和最小值;

(Ⅱ)若

f

(x0 )

?

6 5



x0

?

?? ?? 4

,? 2

? ??

,求 cos 22x0
0

的值.

0

9

0

4

参考答案:1-5BCABA 6-10BDBCB 11-15CBBAB

16、 1 2

5 17、-1 18、 4

19、[? ? ? 2k? , 4? ? 2k? ]

3

3

20、1? 2

21、(1)(3) 22、(1)(2)(4)

23、(1)由 cos A ? 2

5

得 sin

A 2

?

25

5 5

,

cos

A

?

3 5

,

sin

A

?

4 5

因 AB ? AC ? 3 ,所以 bc=5,故 S?ABC ? 2

(2)由(1)bc=5,且 c=1,所以 b=5, 由余弦定理易得 a ? 2 5 24、(Ⅰ)解:由 f (x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ?1,得 f (x) ? 3(2sin x cos x) ? (2cos2 x ?1) ? 3 sin 2x ? cos 2x ? 2sin(2x ? ? ) .
6
所以 函数 f (x) 的最小正周期为? .

因为

f

(x)

?

2

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

在区间

???0,

? 6

? ??

上为增函数,在区间

?? ?? 6

,

? 2

? ??

上为减函数,又

f

(0)

? 1,

f

?? ?? 6

? ??

?

2,

f

? ??

? 2

? ??

?

?1 ,所以函数

f

(x)

在区间 ???0,

? 2

? ??

上的最大值为

2,最小值为-1.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知

f

(x0 )

?

2 sin

? ??

2

x0

?

? 6

? ??

.

又因为

f

(x0 )

?

6 5

,所以

sin

? ??

2

x0

?

? 6

? ??

?

3 5

.



x0

?

?? ?? 4

,

? 2

? ??

,得

2 x0

?

? 6

?

? 2? ?? 3

,

7? 6

? ??

.


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