【最新】高考数学一轮复习 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切课件 理 苏教版


第 5讲
1.考查利用两角和差公式、二倍角公式进行三角函数 式的化简与求值. 2.考查利用三角公式进行简单的恒等变换.

两角和与差的正弦、余 弦和正切

【2014年高考会这样考】

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

抓住3个考点

二倍角的正弦、余弦、正切公式 有关公式的逆用、变形等

助学微博 考点自测

考向一 三角函数式的化简

【例1】 【训练1】

突破3个考向

考向二 三角函数的求值或求角问题【例2】 【训练2】 考向三
三角变换的简单应用 【例3】 【训练3】

揭秘3年高考 活页限时训练

三角函数求值问题

A级

B级

选择题 ?1、 ? 填空题 ? 2、 解答题 ?3、 ?

?1、 选择题 ? 填空题 ? 2、 ?3、 解答题 ?

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
cosαcosβ± sinαsinβ cos(α?β)=_____________________ sinαcosβ± cosαsinβ sin(α± β)=_____________________ tan α± tan β tan(α± β)=_____________________. 1?tan αtan β

考点梳理

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α=__________________ ; 2sinαcosβ 2 2 2 2 2cos α 1 1-2sin α ; cos α -sin α cos 2α=___________=_________=_________ tan α± tan β tan 2α=__________________. 1?tan αtan β

(1)tan α± tan β=tan(α± β)(______________) 1?tanαtanβ ; 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α=____________ ,sin2α=_________ ; 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2 ,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ? π? ? ? sin α± cos α= 2sin?α± 4? ? ?

助学微博 拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β); 一个技巧 α+ β α- β α- β α=(α+β)-β;β= - ; 2 2 2 ? ? ? ? β α ? ? ? ? α + + β =? ?-? ?. 2 2 ? ? ? ?
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的 角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目 的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴 近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有: “常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、 “分解与组合”、“配方与平方”等.

三个变换

3 1.(2013· 合肥模拟)已知 cos α= ,α 5

考点自测

? π? ? 1+ 2cos?2α-4 ? ? ? ? 是第一象限角,则 = ? ? π ? sin? ?α+ 2 ? ? ?

2 7 14 2 ( ).A. B. C. D.- 5 5 5 5 2.(2012· 重庆)设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β) 的值为( ).A.-3 B.-1 C.1 D.3 ?π ? 1 7 1 1 7 ? ? + θ 3. (2011· 辽宁)设 sin? 则 sin 2θ=( ). A. - B. - C. D. ?= , 9 9 9 9 ?4 ? 3 ?π ? 1 ?π β? ? β? π π 3 ? ? ? ? ? 4. (2011· 浙江)若 0<α< , - <β<0, cos?4+α?= , cos?4-2?= , 则 cos?α+2? ? 2 2 3 ? ? 3 ? ? ? ? 3 3 5 3 6 等于( ).A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5.tan 20° +tan 40° + 3tan 20°tan 40° =________.
单击题号显示结果 答案显示 单击图标显示详解

1 C

2 A

3 A

4 C

5 3

【审题视点 】 ? θ θ θ -cos ? ?1+sin θ+cos θ?? ?sin ? 2 2? (1)把角 θ 变为 入 ? 2 【例 1】?(1)化简 (0<θ<π). 2+2cos θ 合理使用公式. (2)化简[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° . 手, ? θ θ θ ?? θ θ? (2)切化弦,通分, ?2sin cos +2cos2 ??sin -cos ?
解(1) 原式=?
2 ?? 2 2? 2θ 4cos 2 θ ? 2θ ? θ -cos ·cos θ ?sin -cos2 ? 2 2 2? θ? = . 因为 0<θ<π, =cos · ? θ? ? θ? 2 ?cos ? ?cos ? 2? 2? ? ? θ π θ 所以 0< < , 所以 cos >0, 所以原式=-cos θ. 2 2 2 ? ? cos 10° + 3sin 10° ?· 2· (2)原式=?2sin 50° sin 80° +sin 10° · cos 10° ? ? 2 2

考向一 三角函数式的化简 ?

利用公式把非特殊 角化为特殊角

【方法锦囊 】 三角函数式的化简
一看角,二看名, 三看式子结构与特 征.

要遵循“三看”原则,

3 2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] =2 2sin(50° +10° )= 2 2 × = 6 2

1 3 ? ? cos 10° + sin 10° ? ? 2 2 = ?2sin 50° ? +2sin 10° · cos 10° ? ?

2cos 10° =

考向一 三角函数式的化简
【训练 1】 化简下列各式: ? ?3π ?? 1 1 1 1 ? ? ?? (1) - + cos 2α?α∈? 2 ,2π??=____. 2 2 2 2 ? ? ?? 2 2 cos α-sin α (2) ?π ? ?π ?=________. ? ? 2? (2) 2 2 - α - α 2tan? cos ?4 ? ?4 ? cos α - sin α ? ? ? ?
解(1)

原式=

1 1 - 2 2

1 1 2 = - cos α= 2 2 1 1 = - cos α = 2 2 ? ? ? ? α α sin ? =? = sin . ? ? 2? 2 ?

? π 1+cos 2α 2sin -α? ? ? ? 4 π ? ? 2? 2 - α · cos ? ? ? 4 π ? ? ? - α cos ? 1 1 4 2 2? - |cos α| cos α-sin α 2 2 = ? ? ? ? π π ? ? ? 1-cos α 2sin? -α?cos? -α? ? 4 4 ? ? ? ? 2 cos 2α cos 2α = ? ?= =1. ?π ? cos 2 α -2α? sin? ?2 ? ? ?

原式=

? ? ? ? ? ? ? ?

?α ? π α π π β ? ? - β ∴ cos ∴- < -β< , <α- <π, ?2 ?= 4 2 2 4 2 ? ?
? β? ? sin?α-2? ?= ? ?
2?

? β? π 【例 2】? (1)已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2? 2 ? ? 1 ?α ? 2 =- ,sin?2 -β?= ,求 cos(α+β)的值; 9 ? ? 3 π 解(1) ∵0<β<2<α<π,

考向二 三角函数的求值或求角问题

α+ β ? β? ? (1) 拆 分 角 : = ?α-2? ?- 2 ? ? ?α ? ? ? 利用平方关系分别求各 ?2 -β?,
? ?

【审题视点 】

角的正弦、余弦.

1-sin

2?α

?

? ? - β ?2 ?= ? ?

5 , 3

?? ? ?? α+β β? β? ? ?α ?? ?? ? 4 5 1-cos ?α-2?= ,∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? 9 ? ? ?? ?? ? ? ? ?α ? ? ?α ? ? 1? β? β? 5 4 5 2 7 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =cos?α-2?cos?2 -β?+sin?α-2?sin?2 -β?=?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

∴cos(α+β)= 2cos

2α+β

49×5 239 -1=- . -1 =2× 729 729 2

考向二 三角函数的求值或求角问题

【审题视点 【方法锦囊 】 】
? ? ? ?

β α); ? (4)解这类问题的一般步骤: ?α+ ? ?β (2)2 α - β = ( α - 【例 2】?(2)已知 α,β∈(0,π),且 α - (1) 注 意 变 角 ? - ?2 -β? = 2? ? ? ? ? ①求角的某一个三角函数 1 1 α=(α-β)+β. tan(α-β)= , tan β=- , 求 2α-β 的值.α+β , 可 先 求 cos α+β 或 sin 2 7 值; 2 2 解(2) ∵tan α=tan[(α-β)+β] α+β ②确定角的范围; 的值.(2)先由 tan α=tan[(α 1 1 2 ③根据角的范围写出所求 - tan?α-β?+tan β -β)+β], 求 tan α 的值, 再求 tan 2 7 1 = = >0, 的角. 2α 的值,这种方法的优点是可确 1-tan?α-β?tan β = 1 1 3 1+ × 定 2α 的取值范围.(3)通过求角 2 7 的某种三角函数值来求角,在选 2tan α π ∴0<α< ,又∵tan 2α= 2 取函数时,遵照以下原则:①已 2 1 - tan α 1 知正切函数值,选正切函数;② 2× 3 3 已知正、余弦函数值,选正弦或 π = ? ?1? =4>0, ∴0<2α< ,∴tan(2α-β) π? ? ? ?2 2 余弦函数;若角的范围是?0,2 ? ?, 1-?3? ? ? ? ? tan 2α-tan β 1 选正、余弦皆可;若角的范围是 ∵ tan β =- <0, = 7 (0 , π) ,选余弦较好;若角的范 1+tan 2αtan β ? π π? 3π π ? ∴2α-β=- . 围为? ∴ <β<π,-π<2α-β<0, ?- 2 , 2 ?,选正弦较好. 4 ? ? 2

考向二 三角函数的求值或求角问题
1 13 π 【训练 2】已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< , 7 14 2 (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β.

解析(1)

1 π 4 3 ∵cos α= ,0<α< , 7 2 ∴sin α= 7 , ∴tan α=4 3,

8 3 2×4 3 2tan α =- . ∴tan 2α= = 2 47 1-tan α 1-48 π π (2) ∵0<β<α< , ∴0<α-β< , ∴sin(α-β)=3 3, 2 2 14
∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

1 13 4 3 3 3 1 π = × + × = , ∴ β= . 7 14 7 14 2 3

考向三 三角变换的简单应用
【例 3】?已知
? ? 1 ? 2 π? ? π? ? ? ? ? ? f(x)= 1+tan x sin x-2sin x+4 · sin x-4 ?. ? ? ? ? ? ?

【审题视点 】
(1) 化简 f(x),由 tan α= 2 代入求 f(α);
π?
?

(1)若 tan α=2,求 f(α)的值; ?π π? (2)若 x∈?12,2 ?,求 f(x)的取值范围. ? ?

解析(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin?x+4 ?· cos?x+4 ?
? ? ?
? 1-cos 2x 1 π? = + sin 2x+sin?2x+2 ? 2 2 ? ? 1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x =1(sin 2x+cos 2x)+1. 2 2 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 由 tan α=2,得 2 2 2tan α 4 2sin αcos α = = . 2 sin 2α= 2 2 5 tan α + 1 sin α+cos α
2 cos2α-sin2α 1-tan α 3 = =- . cos 2α= 2 2 5 sin α+cos2α 1+tan α

?

π?

?

1 1 3 所以,f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = . 2 2 5

考向三 三角变换的简单应用
【例 3】?已知
? ? 1 ? 2 π? ? π? ? ? ? ? ? f(x)= 1+tan x sin x-2sin x+4 · sin x-4 ?. ? ? ? ? ? ?

【审题视点 】
(2)化成 f(x)= Asin(ωx + φ) + b 的形式,求 f(x)的 取值范围. 【方法锦囊】
(1) 将 f(x) 化 简 是 解 题的关键,本题中巧 妙 运 用 “1” 的 代 换 技 巧,将 sin 2α,cos 2α 化为正切 tan α,为第 (1)问铺平道路. (2)把形如 y=asin x+ bcos x 化 为 y = a2+b2sin(x+φ),可 进一步研究函数的周 期、单调性、最值与 对称性.

1 1 解(2)由(1)得 f(x)=2(sin 2x+cos 2x)+2 π? 1 2 ? = sin?2x+4 ?+ . 2 ? ? 2

(1)若 tan α=2,求 f(α)的值; ?π π? (2)若 x∈?12,2 ?,求 f(x)的取值范围. ? ?



?π π? x∈?12,2 ?, ? ?

5π π 5 得 ≤2x+ ≤ π. 12 4 4 ? π? 2 ∴- ≤sin?2x+4 ?≤1, 2 ? ?
2+1 0≤f(x)≤ , 2

所以

? f(x)的取值范围是? ?0, ?

2+1? ? 2 ? ?

考向三 三角变换的简单应用
【训练 3】 (2013· 石家庄质检)设函数

?πx π? ? 2πx - f(x)=sin? - 2cos . ?3 6? 6 ? ?

(2)因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的 3 πx 解析(1) 由题意知 f(x)= sin - 图象关于直线 x=2 对称, 2 3 ?πx π? 3 πx ? ? - = 3· sin y ? f ( x) ?3 ?-1, cos -1 3 ? ? 2 3 y ? g( x ) 2π 所以 y=f(x)的最小正周期 T= =6. 所以当 x∈[0,1]时,y=g(x)的最大值 π 即为 x∈[3,4]时,y=f(x)的最大值. π π π π 3 由 2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ ,k∈Z, ? π π ? ?2 ? 2 3 3 2 π , π x - ∈ 当 x∈[3,4]时, 3 ?, 1 5 3 ? ?3 ? 得 6k- ≤x≤6k+ ,k∈Z, ? ? ?π 2 2 1? π? 3? ? ? ? ? ? f(x)∈?-1,2? 所 以 y = f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 sin?3x-3 ?∈?0, 2 ?, ?, ? ? ? ? ? ? ? ? 1 5? ? 1 ?6k-2,6k+2?,k∈Z. 此时 y = g ( x ) 的最大值为 . ? ? 2

(1)求 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,求当 x∈[0,1]时, 函数 y=g(x)的最大值.

揭秘3年高考
热点突破10——三角函数求值问题
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,以 两角和与差的三角函数公式及二倍角为基础,求三角 函数的值是考查的重点,选择题、填空题、解答题均 有可能,难度不大.

?1? 5π? π? 【规范解答 】? ? ? ? 16 ? π 2cos?5 5β- 6 ?+6 ?= , ? ? ? ? 17 (1)∵f(x)=2cos?ωx+6 ?, ω>0 的最小正周期 T ? ? ? π? 3 8 ? ? α + 即 cos =- , cos β = , 2π 1 2 5 17 ? ? =10π= ω ,∴ω= . 5 ?1 ? π? π? 于是 sin α=3,cos α=4,sin β=15, 5 5 17 (2)由(1)知 f(x)=2cos?5x+6 ?,而 α,β∈?0,2 ?, ? ? ? ? ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsin β ? 5π? 5π? 16 6 ? f?5α+ 3 ?=- ,f?5β- 6 ?= , 5 ? ? ? ? 17 4 8 3 15 13 ?1? ? ? = × - × =- . 5π π 6 ? ? ? 5 17 5 17 85 ? 5 α + ∴2cos?5 =- , 3 ?+ 6 ? 5 ? ? ?

【真题探究】? (2012· 广东)已知函数 f(x) ? ? ? ? π ? =2cos?ωx+6? (其中 ω>0,x∈R)的最小正 ? ? ? 周期为 10 π.(1)求 ω 的值; ? ? ? ? ? ? ? ? π 5 6 ? ? ? ? (2) 设 α , β ∈ ?0,2? , f ?5α+3π? = - , 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 5 16 ? ? f?5β-6π?= ,求 cos(α+β)的值. 17 ? ?

揭秘3年高考

【教你审题 【反思 】 】

(1) 处理这类问题的关键在于 (1)由 T=10π 可得 ω 的值. 灵活运用相关公式实施变形, ? 5 ? ? 需抓住公式结构、角的结构展 (2)解题关键是化简 f?5α+ π? 3 ? ? ? 开联想,从而确定解题思路. 5 ? 6 ? ? ? 16 5 β - π =- ,f = , (2) 误记公式、错用公式成为 6 ? 5 ? ? ? 17 这类解答题出错的主因. 求 cos α,cos β 的值.

揭秘3年高考
【试一试】 (2011· 广东)已知函数 (2)设
? ? π? π? 10 6 ? ? ? α,β∈?0, ?,f?3α+ ? = , f (3 β + 2π) = ,求 2? ? 2? 5 ? ? 13 ?1 π? ? f(x)=2sin? x- ? ,x∈R,(1)求 6? ?3 ? ?5π? ? f? ? 4 ?的值; ? ?

cos(α+β)的值.

解析:

?5π? ?1 5π π? ? ? ? × - (1)f? 4 ?=2sin? ?3 4 6? ? ? ? ?

? π? ? ∵α,β∈?0, 2 ? ?, ? ?

?5? π ?2 12 ∴cos α= 1-? =2sin = 2; ?13? =13, 4 ? ? ? ?3? 10 π? ? ? 10 ? ?2 4 (2)由 f?3α+ ?= , 得 2sin α=13, sin β= 1 - ? ?= , 2 ? 13 ? 5 ?5? 5 6 即 sin α= , 由 f(3β+2π)= , ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 5 13 12 3 5 4 16 ? 3 π? ? ? 6 = × - × 得 2sin?β+2 ?= , 从而 cos β=5, 13 5 13 5 =65. ? ? 5

A级 基础演练
一、选择题

题号
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1 D

2 D

3 A

4 B

? ?π ? π? sin 20° 1 + cos 2θcos 2α 4 1 ? cos 20° ? ?0< θ< ?, 43 . (2013· 东北三校 ) 已知 sin). θ+= cos 则 sin θ- cos -θ?=3= .若 tan ,则 ( θ= )3 . 1. ( ?4 2 . (2013· 汕头调研 ) 若 = ,则 tan 2 α 等于 4 1+sin 2θ 2α ? ? ? 50° ? cos 2 sin 3 2 3 24 1 14 5 5 A . 3 B .- 3 C. D .- θ 的值为( ). 4 A. B4 .- C. D.- 3 3 3 3 ( ). A. B .- C. D.- 2 1 4 4 3 3 ? ? 1 - tan θ π A. 2 2 D. 12 ?B. ? 4 C. 16 - θ 2 2 解析 ∵ tan = = 3 ,∴ tan θ =- . ? ? 解析 ∵sin θ= ,∴ ) =1+sin 2θ= , 2 (sin θ+cos θ2 1 + tan θ ?4 θ+ ? cos 3 9 1+ cos 2 α 40° 2cos α 40° cos α 1 2 sin sin 1 2 2 解析 = θπ == . 1 = ,θ cos - sin θ -tan cos 2θ 7 解析 原式= = 2 sin 2sin α cos α sin α ∴ = 2α 2 = 2 sin θ-cos θ 2sin 40° 2 ∴ 2θ2 = 0< θ50° < ,∴ sin θ <cos θ .∴ 1sin +sin θ 9,又 sin22cos θ+ 2sin θ cos θ + cos θ tan θ+2tan θ+1 4 2tan α 4 4 答案 D 1 ∴1 tan 2 =- , - α= 2,∴ tan 2 = 2 2α= 3 B =- 4 ?sin θ-cos θ? =- 11 - sin 2θα =- .4 答案 - tan 1 - 3 = =3. 答案 A 1 故选 -1D. +1

4

A级 基础演练
二、填空题

题号
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5
± 3

6

17 2 50

π? 4 π ?π 2π? π? 3 ? 2 ? ? sin?α+ ?= . 解析∵α 为锐角且 cos α+ ,∴α+ ∈? , ,∴ ?= ?π 1+ 2cos x - 1 ? 2 6 5 6 6 3 6? 5 ? ? ? ? ? 解析 f ( x ) = + sin x + a sin x + ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? ? ? x 4 π π π π π π? π ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 α + - ∴sin?2α+ ?=sin? ? =sin 2 -cos 2?α+ ?sin ?? ?α+ ? cos 6? 12? 6 4 6? 4 ? ? ? 2 4 ?? π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = sin x ? cos ? ? a sin ?x+ π?x+? π+ 2? ? ? 2? 4 ? π? ? ? ? ? = 2sin?α+ ?cos ?2cos ?α+ ?- 1? ?α+ ? - ?? ? ? 6? ? 2? ? ? π? 6 ? ? ? ? π6 π ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ?+ ? + ? a sin = 2sin x x + = ( 2 + a )sin x + 4?2 ? 7 2 17 2 ? ?. 17 2 3 4 ?2? 4?? ? ?12 2 4- 4? ? ? ?答案 = 2× × - ? ?2×?? = . ? - 1?= 5 5 2? 25 50 50 50 ?5 ? 2 ?
? ? ?

? ? 4 π? 1 + cos 2 x ? 2 π?? ? ? 65 . (2012· cos α+ ,则 ?a ?= x + .设 f(江苏 x)=)设 α? 为锐角,若 + sin x + sin ? 5 ?的最大值为 2+3, 6 ? ? ? 4? ? ?π ? ? ? π2sin ? -x? ? ? ?2 ________ ? sin?2α+ ?的值为 . 12 ? ? 则常数 a=________. ? ? ? ? ? ?

依题意有 2+a = 2+3,∴a=± 3.

A级 基础演练

三、解答题
2x

7

8

x x 1 7.(12 分)已知函数 f(x)=cos -sin cos - . 2 2 2 2 3 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域;(2)若 f(α)= ,求 sin 2α 的值. 10 x x 1 1 1 1 2x 解 (1)由已知, f(x)=cos -sin cos - = (1+cos x)- sin x- 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? π? 2 2? = cos?x+4 ?.所以 f(x)的最小正周期为 2π,值域为?- , ?. 2 2 2? ? ? ?
? π? 3 2 π? 3 2 ? (2)由(1)知,f(α)= cos?α+ 4 ?= ,所以 cos?α+ 4?= . 2 10 ? ? ? ? 5 ? ? ?π ? π? ? ? 所以 sin 2α=-cos?2+2α?=-cos?2?α+ 4?? ? ? ?? ? ? ? ? π? 18 7 2 ? ? =1-2cos α+ 4 =1- = . 25 25 ? ?

A级 基础演练
+2cos2x-1,x∈R.

三、解答题

7

8

8.(13 分)(2012· 天津)已知函数

? ? π? π? ? ? ? f(x)=sin 2x+3 +sin 2x-3 ? ? ? ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-4,4 ?上的最大值和最小值. ? ? π π π π 解 (1)f(x)=sin 2x· cos +cos 2x· sin +sin 2x· cos -cos 2x· sin +cos 3 3 3 3 ? π? 2π ? ? 2x=sin 2x+cos 2x= 2sin 2x+4 .所以,f(x)的最小正周期 T= =π. 2 ? ?
? π π? ?π π? ? ? (2) 因为 f(x) 在区间 -4,8 上是增函数,在区间 ?8,4 ? 上是减函 ? ? ? ? ? π? ?π? ?π? ? π π? 数.又 f?-4 ?=-1,f?8 ?= 2,f?4 ?=1,故函数 f(x)在区间?-4,4 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

上的最大值为 2,最小值为-1.

B级 能力突破
一、选择题

题号 点击题号出答案 单击显:题干/详解

1 C

2 D

? π? 1 1 ?1? ? π ?∈ ? ?0, ? 2 .已知 cos α = , cos( α + β ) =- ,且 α , β ,则 ? 1. (2013· 榆林模拟 tan β=lg?a?, 且α β= , 2+ 3 )若 tan α=lg(10a) 3, ? 4 ? ?? 1 1 1 23 1 1 cos( α-a β)的值为 的值等于 ). .1 A.- B. C.- D. 则实数 ( ( ).A B. 2 C . 1 或 D . 1 或 10 2 27 10 10 3

? π? 1 2 2 4 2 ?1? ? ? 0 , 解析 ∵cos α= ,α∈ ,∴sin?2α , ?= 2 ?,∴sin α=lg3 3 9 ? 10 a ? + lg ? ? ? tan α+tan β ?a? 解析 tan( α+β)=1? = 7 1 2 2 ?1?=1 1 - tan α tan β cos 2α=- .又 cos(α+β)=- ,α+ ∈(0,π),∴sin( α?+β)= . 9 3 3 1-lg?10a?· lg? ?a? ? ? ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(1 α+β) 2 ?lg = 0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . ? a ? lg ? a1 ? 0,所以 7+ 4 2 2 lg2a= 23 10 =?-9?×?-3?+ × = . 答案 D 9 3 27 ? ? ? ? 答案 C

B级 能力突破
二、填空题

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3

10 13

4

3π - 4

2 4.(2013· 九江模拟 3a+cos 1=2 0( ? ? )方程 x + ? 3ax+ 12 π? αa>2)的两根为 tan A, ?π ? ? ? 3.已知 cos? -α?= ? π,α ? ?0, ?,则 ? ?= ________. π∈ ? ? 4? π ?4 ? ? 13 ? ? tan B,且 A,B∈?- , ?,则 A+B= ________. sin ? + α? ? 2 2? ?4 ? ? ? 2 tan B=-3a<- 126,tan A· 12 2 , ?π ? 解析 由题意知 tan A + tan B = 3 a + 1>7 解析 ∵cos? -α?= (cos α+sin α)= ,∴sin α+cos α= , 2 13 13 ?4 ? ∴tan A<0,tan B <0, 288 119 50 1+2sin αcos tan α=A+ , 2sin α cos α = , 1 - 2sin α cos α = , tan B -3 a 169 169 169 tan(A+B )= ? = =1. ? 1 - tan A tan B 1 - ? 3 a + 1 ? π? 5 2 ? 又∵α∈?0 ,∴ cos α>sin α,∴ α- ?, 4 ? cos ? sin α= 13 , π? π? π ? ? ? ? ? ? ∵A,B∈?- , 2 ?,∴A , B ∈ - , 0 2 ? 2 ?, 2 2 cos α - sin α ? ? ? cos 2α ? 10 10 = = 2(cos α - sin α ) = . 答案 3π ? ? π 13 13 2 2 ? ? ∴ A + B ∈ ( - π , 0) , ∴ A + B =- . sin? +α? sin α+ cos α 4 ?4 ? 2 2

B级 能力突破

三、解答题

5

6

? ? π? π? 3 5 3 ? ? ? ? 5.(12 分)已知 sin α+cos α= ,α∈?0,4 ?,sin?β-4 ?= , 5 5 ? ? ? ? ?π π? ? β∈?4,2 ? ?.(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值;(2)求 cos(α+2β)的值. ? ?

9 9 解 (1)由题意得(sin α+cos α) = ,即 1+sin 2α= , 5 5 ? π? 4 ? ∴sin 2α= .又 2α∈?0,2 ? ?, 5 ? ? 3 2 ∴cos 2α= 1-sin 2α= , 5 sin 2α 4 ∴tan 2α= = . cos 2α 3
2

B级 能力突破

三、解答题

5

6

?π π? ? ? π? π? π? π ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 (2)∵ β∈? , ?, β- ∈ ?0, ?, sin?β- ?= ,∴cos?β- ?= ,于是 2? 4? 4? 5 4? 5 4 ? ?4 ? ? ? ? ? ? π? π? π? π? ? ? ? ? ? ? 24 ? sin 2?β- ?=2sin?β- ?cos?β- ?= . 又 sin 2?β- ? =-cos 2β, 4? 4? ? 4 ? 25 4? ? ? ? ? ?π ? 24 7 ? ? ∴cos 2β=- ,又 2β∈?2,π?,∴sin 2β= , 25 25 ? ? ? 1+cos 2α 4 π? 2 5 5 ? 2 又 cos α= = ,α∈?0, ? ,∴ cos α = , sin α = . ? 4 2 5 5 5 ? ? ? 2 5 ? 5 7 ? 24? ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β= ×?-25?- × 5 5 25 ? ?

? ? π? π? 3 5 3 ? ? ? ? 5.(12 分)已知 sin α+cos α= ,α∈?0,4 ?,sin?β-4 ?= , 5 5 ? ? ? ? ?π π? ? β∈?4,2 ? ?.(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值;(2)求 cos(α+2β)的值. ? ?

11 5 =- . 25

B级 能力突破

三、解答题

5

6

ωx + 3sin ωx 2 -3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象 的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为 正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; ? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- 3 ,3?,求 f(x0+1)的值. 5 ? ? 6.(13 分)(2012· 四川)函数 f(x)=6cos2

(1)由已知可得,f(x)=3cos ωx+ 3sin ωx ? π? ? =2 3sin?ωx+ ? ?, 3 ? ? 又正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4, 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 ω =8,ω= . 4 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 解

B级 能力突破

三、解答题

5

6

?πx π? 8 3 8 3 0 ? ? (2)因为 f(x0)= ,由(1)有 f(x0)=2 3sin? 4 + 3 ?= , 5 5 ? ? ?πx π? 4 0 ? ? 即 sin? 4 +3 ?= . 5 ? ? ? 10 2? π? πx0 π ? ? ? ? π 由 x0∈?- , ?,知 + ∈?- , ? , 3 3? 4 3 ? 2 2? ? ? ?πx ?4? π? 0 ? ? ? ?2 3 所以 cos? 4 + 3 ?= 1-?5? = . 5 ? ? ? ? ??πx ?πx π π? π? π? 0 0 ? ? ? ?? 故 f(x0+1)=2 3sin? + + ?=2 3sin?? + ?+ ? ? 4 3? 4 3 4 ? 4 ? ? ? ? ? ?πx ?πx π? π? π π? 0 0 ? ? ? ? ? =2 3?sin? 4 +3 ?cos +cos? 4 +3 ?sin ? 4 4? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2? ?4 ? 7 6 =2 3×? × + × ?= . 5 5 2 5 2 ? ?

考点自测详解
3 4 1.解析 ∵cos α= 且 α 是第一象限角,∴sin α= , 5 5 7 24 1+cos 2α+sin 2α 1-25+25 14 原式= = = . 答案 C cos α 3 5 5 2.解析 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· tan β=2,tan(α+β) tan α+tan β = =-3,选 A. 答案 A 1-tan αtan β ?π ? ? ? ?1? 7 ? ? ? ? ?2 2?π 3.解析 sin 2θ=-cos?2+2θ?=2sin ?4+θ?-1=2×?3? -1=- . 9 ? ? ? ? ? ? 答案 A
返回 自测

?π ? 1 π π π 3π ? 4.解析 ∵0<α< ,∴ <α+ < . ∵cos? +α? ?= , 4 2 4 4 4 ? ? 3 ?π ? 2 2 ? ∴sin?4+α? . ?= 3 ? ? ?π β? ?π β? π π π β π 3 6 ? ? ? ? - - ∵- <β<0,∴ < - < .∵cos? ,∴sin? . ?= ?= 2 4 4 2 2 3 3 ?4 2 ? ?4 2 ? ??π ? ? ?π β?? ?π ? ?π β? β? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? - ∴cos?α+2?=cos??4+α?-?4-2??=cos?4+α?cos? ?4 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?π ? ?π β? 1 3 2 2 6 5 3 ? ? ? ? +sin?4+α?sin?4 -2 ?= × + × = . 答案 C 3 3 3 3 9 ? ? ? ? tan 20° +tan 40° 5.解析 ∵tan 60° =tan(20° +40° )= , 1-tan 20° tan 40° ∴tan 20° +tan 40° =tan 60° (1-tan 20° tan 40° ) = 3- 3tan 20° · tan 40° ,∴原式= 3- 3tan 20° tan 40° 返回 自测 + 3tan 20° tan 40° = 3.答案 3

考点自测详解


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