c788jx:2018-2019学年高一数学人教A版必修4课件:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文

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【课标要求】 1.理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关 的问题.

自主学习 基础认识 |新知预习| 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 数量积 a· b=x1x2+y1y2 两个向量垂 a⊥b?x1x2+y1y2=0 直

2.三个重要公式

[化解疑难] 1.对数量积的坐标表示的理解 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和; (2)引入坐标运算后, 使得平面向量数量积的运算和两个向量的 坐标运算联系起来,从而使得向量的工具性作用更强; (3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题, 用向量的 坐标运算来实现几何问题的求解,数形结合的思想在数量积的应用 中将体现更多.

2.对向量模长公式的理解 (1)模长公式是数量积的坐标表示 a· b=x1x2+y1y2 的一种特例, 2 当 a=b 时,则可得|a|2=x2 + y 1 1; → → (2)若点 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),所以|AB → |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2, 即|AB|的实质是 A, B 两点间的距离或线段 AB 的长度,这也是模的几何意义.

(

|自我尝试| 1.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为 ) 3 3 A.-2 B.2 C.2 D.6

解析:依题意得 6-m=0,m=6,选 D. 答案:D

2.(2015· 新课标全国Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a +b)· a=( ) A.-1 B.0 C.1 D .2

解析:a=(1,-1),b=(-1,2),∴(2a+b)· a=(1,0)· (1,-1) =1. 答案:C

3. 已知向量 a=(2,1), b = ( -1 , k), a· (2a-b)=0, 则 k=( A.-12 B.-6 C.6 D.12

)

解析:2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由 a· (2a-b)=0,得 (2,1)· (5,2-k)=0,即 10+2-k=0,解得 k=12. 答案:D

4.若 a=(4,-3),|b|=1,且 a· b=5,则 b 的坐标为________.

解析:设 b=(x,y),

?x=4, ? ? 5 ?x,y?=5, ??4,-3?· 则? 2 2 解得? ? ? x +y =1, ?y=-3. 5 ? ?4 3? 答案:?5,-5? ? ?

课堂探究 互动讲练 类型一 数量积的坐标运算 [例 1] (1)(2015· 高考全国卷Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2), 则(2a+b)· a=( C ) A.-1 B .0 C.1 D.2 (2)若向量 a=(1,1), b=(2,5), c=(3, x)满足条件(8a-b)· c=30, 则 x=( C ) A.6 B.5 C.4 D.3

【解析】 (1)法一:因为 a=(1,-1),b=(-1,2), 所以 a2=2,a· b=-3, 从而(2a+b)· a=2a2+a· b=4-3=1. 法二:因为 a=(1,-1),b=(-1,2), 所以 2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0), 从而(2a+b)· a=(1,0)· (1,-1)=1,故选 C. (2)因为 a=(1,1),b=(2,5), 所以 8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又因为(8a-b)· c=30, 所以(6,3)· (3,x)=18+3x=30, 所以 x=4.

方法归纳 数量积坐标运算的两个途径 一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利 用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.

跟踪训练 1 (1)设向量 a=(1,-2),向量 b=(-3,4),向量 c =(3,2),则向量(a+2b)· c=( C ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 点 F 在 AD 2 → → → → 上,AF=2FD,则BE· CF=________. 3

解析:(1)依题意可知, a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), ∴(a+2b)· c=(-5,6)· (3,2)=-5×3+6×2=-3. (2)建立平面直角坐标系如图所示,则 A(0,2),E(2,1),D(2,2), ?4 ? → → B(0,0),C(2,0),因为AF=2FD,所以 F?3,2?. ? ? ? 4 → → ? 所以BE=(2,1),CF=?3,2? ? ? ? 2 ? ? -(2,0)= -3,2?, ? ? ? 2 ? → → ?- ,2? 所以BE· CF=(2,1)· ? 3 ? ? 2? 2 =2×?-3?+1×2=3. ? ?

类型二 平面向量的模 [例 2] (1)设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则|3a +b|等于( A ) A. 5 B. 6 C. 17 D. 26 (2) 已 知 |a| = 10 , b = (1,2) , 且 a· b = 10 , 则 a 的 坐 标 为 (10,0)或(-6,8) . _________________

【解析】 (1)因为 a∥b,所以 1· y-2×(-2)=0, 解得 y=-4,从而 3a+b=(1,2),|3a+b|= 5. ? ?x+2y=10 (2)设 a 的坐标为(x,y),由题意得? 2 2 ? ? x +y =10,
? ?x+2y=10 即? 2 2 ? ?x +y =100, ? ?x=10 解得? ? ?y=0, ? ?x=-6 或? ? ?y=8,

所以 a=(10,0)或 a=(-6,8).

[互动探究]

本例(1)条件不变,则|2a-b|=________.

【解析】 a=(1,2),b=(-2,-4), 所以 2a-b=(4,8), 所以|2a-b|=4 5. 【答案】 4 5

方法归纳 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的 问题. (2)坐标表示下的运算 若 a=(x,y),则 a· a=a2=|a|2=x2+y2, 于是有|a|= x2+y2.

跟踪训练 2 (1)已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a -(a· b)b,则|c|等于( ) A.4 2 B.2 5 C.8 D.8 2 (2)已知向量 a=(cosθ,sinθ),向量 b=(3,0),则|2a-b|的最大 值和最小值分别是( ) A.4 2,0 B.4,2 2 C.25,1 D.5,1 解析: (1)易得 a· b=2×(-1)+4×2=6, 所以 c=(2,4)-6(-1,2) =(8,-8),所以|c|= 82+?-8?2=8 2. (2) 由 于 |2a - b|2 = 4|a|2 + |b|2 - 4a· b = 13 - 12cosθ , 又 - 1≤cosθ≤1, 易知 1≤13-12cosθ≤25, 故|2a-b|的最大值和最小值 分别是 5,1,故选 D. 答案:(1)D (2)D

类型三 平面向量的夹角(垂直) [例 3] 已知平面向量 a=(3,4), b=(9, x), c=(4, y), 且 a ∥b , a⊥c. (1)求 b 与 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m,n 的夹角的大小.

【解】 (1)因为 a∥b,所以 3x=4×9,所以 x=12. 因为 a⊥c,所以 3×4+4y=0,所以 y=-3,所以 b=(9,12), c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设 m、n 的夹角为 θ, -3×7+?-4?×1 -25 m· n 2 则 cosθ=|m||n|= = =- 2 . ?-3?2+?-4?2× 72+12 25 2 3π 因为 θ∈[0,π],所以 θ= 4 , 3π 即 m,n 的夹角为 4 .

方法归纳 利用数量积求两向量夹角的步骤

跟踪训练 3 (1)已知 a, b 为平面向量, a=(4,3), 2a+b=(3,18), 则 a,b 夹角的余弦值等于( C ) 8 8 A.65 B.-65 16 16 C.65 D.-65 (2)已知 A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC 的形状是( A ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

解析:(1)设 a,b 的夹角为 θ,b=(x,y),则 2a+b=(8+x,6 ? ? ?8+x=3 ?x=-5 +y)=(3,18),所以? 解得? 故 b=(-5,12),所 ? ? ?6+y=18, ?y=12, a· b 16 以 cosθ=|a||b|=65.故选 C. → → → → → (2)由题设知AB=(8, -4), AC=(2,4), BC=(-6,8), 所以AB· AC → → =2×8+(-4)×4=0,即AB⊥AC.所以∠BAC=90° .故△ABC 是直 角三角形.

|素养提升| 1.向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题 注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要 混淆 , “a⊥b ? x1x2 + y1y2 = 0”可简记为“对应相乘和为 0”; “a∥b?x1y2-x2y1=0”可简记为“交叉相乘差为 0”. (2)可以解决的问题 应用公式可解决向量垂直,两条直线互相垂直等问题. 2.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆, 可以对比学习、记忆.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2).则 a∥b?x1y2 -x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0.

|巩固提升| 1 3? → ? 3 1? → ? 1. (2016· 丙卷(全国卷Ⅲ))已知向量BA=? , ?, BC=? , ?, 2 2 2? ? ? ? 2 则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120°

1 3 3 1 → → 2× 2 + 2 ×2 BA· BC 3 解析: 由题意得 cos∠ABC= = =2, 又 → → 1 ×1 |BA||BC| 0° ≤∠ABC≤180° ,所以∠ABC=30° . 答案:A

2.已知向量 a=(-1,x),b=(1,x),若 2b-a 与 a 垂直,则 | a | =( ) A.1 B. 2 C.2 D.4

解析:由题意得,2b-a= 2(1, x)-(-1, x)= (3, x), ∵(2b -a)⊥a, ∴-1×3+x2=0,即 x2=3,∴|a|= ?-1?2+3=2. 答案:C

3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边 → → → → 形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD· AC=________.

→ → → 解析:由四边形 ABCD 为平行四边形,知AC=AB+AD=(3, → → -1),故AD· AC=(2,1)· (3,-1)=5. 答案:5


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